数論

数論（古い用法では算術または高等算術）は、純粋数学の一分野であり、主に整数と算術関数の研究に特化しています。ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウス（1777年 - 1855年）は、「数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である」と述べました。^[1]数論学者は、素数だけでなく、整数から構成される数学的対象（たとえば有理数）または整数の一般化として定義される数学的対象（たとえば代数的整数）の特性を研究します。

整数は、それ自体として、または方程式の解として考えることができます (ディオファントス幾何学)。数論の問題は、整数、素数、またはその他の数論的オブジェクトの特性を何らかの方法でエンコードする解析的オブジェクト (たとえば、リーマンゼータ関数) の研究を通じて最もよく理解されることがよくあります (解析的数論)。また、実数を有理数との関係で、たとえば、後者によって近似されたものとして研究することもできます(ディオファントス近似)。

数論の古い用語はarithmeticです。20 世紀初頭までに、この用語はnumber theoryに取って代わられました。^{[注 1] (} arithmeticという単語は、一般の人々には「基本的な計算」の意味で使用されていますが、数理論理学ではPeano 算術、コンピュータ サイエンスでは浮動小数点算術など、他の意味も獲得しています。)数論に対するarithmeticという用語の使用は、おそらく部分的にはフランスの影響によるもので、20 世紀後半にいくらか定着しました。^{[注 2]}特に、形容詞としてはnumber-theoreticよりもarithmeticalが一般的に好まれます。

算術に関する最も古い歴史的発見は、表の断片である。壊れた粘土板プリンプトン 322 (メソポタミア、ラルサ、紀元前 1800 年頃) には、「ピタゴラスの三つ組」、つまり となる整数のリストが含まれている。三つ組は数が多すぎて大きすぎるため、力ずくで求めることは不可能である。最初の列の見出しには、「対角線のタキルトゥムから幅が減算され...」と書かれている。 ^[2]${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

この表のレイアウトは、現代の言葉で言えば、次のアイデンティティに相当する方法で構築されたことを示唆している^[3]。

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},}$

これは古代バビロニアの日常的な演習に暗黙的に含まれている。^[4]他の方法が使用された場合、^[5] 3つの組は最初に構築され、次に によって並べ替えられ、おそらくアプリケーションを念頭に置いて、たとえば「表」として実際に使用するために行われた。 ${\displaystyle c/a}$

これらの応用がどのようなものであったか、あるいはそもそもあったのかどうかは不明である。例えば、バビロニアの天文学は後になってようやく本格的に普及した。むしろ、この表は学校の問題の数値例の源泉であったと示唆されている。^{[6] [注 3]}

バビロニアの数論の証拠はプリンプトン322の粘土板にのみ残っているが、一部の著者はバビロニア代数学は非常に発達しており、現代の初等代数学の基礎を含んでいたと主張している。^[7]後期新プラトン主義の資料^[8]には、ピタゴラスがバビロニア人から数学を学んだと記されている。それよりずっと古い資料^[9]には、タレスとピタゴラスがエジプトを旅して学んだと記されている。

ユークリッドの『原論』第9巻の命題21～34は、ピタゴラスの教えの影響を受けている可能性が高い。^[10]これは非常に単純な内容（「奇数×偶数は偶数である」、「奇数が偶数を測る［＝割り切る］場合、それはまたその半分を測る［＝割り切る］」）であるが、無理数が無理数 であることを証明するために必要なすべてである。^[11]ピタゴラスの神秘主義者は、奇数と偶数を非常に重要視した。^[12]無理数が無理数である ことの発見は、初期のピタゴラス学派（テオドロス以前）によるものとされている。^[13]この発見は、（現代の言葉で言えば）数が無理数になり得ることを明らかにすることで、数学史上最初の根本的な危機を引き起こしたようである。その証明または暴露は、ピタゴラス派から追放または分裂したヒッパソスによるものとされることもある。 ^[14]これにより、一方では数（整数と有理数、つまり算術の対象）と、他方では長さと比率（有理数であろうとなかろうと実数と同一視される）との区別が余儀なくされました。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

ピタゴラスの伝統では、いわゆる多角数や図形数についても語られていました。^[15]平方数や立方数などは、三角数や五角数などよりも自然であると現在では考えられていますが、三角数と五角数の合計の研究は近世（ 17世紀から19世紀初頭）には実りあるものとなりました。

中国の剰余定理は孫子の算経（紀元3、4、5世紀）の練習問題^{[16]に登場します。 [17]}（孫子の解答では重要なステップが一つ省略されています。^{[注 4]これは後に}アーリヤバッタのクッタカによって解決された問題です。下記参照。）この結果は後に一般化され、秦九紹の1247年の数学九部論 [18] で大衍術と呼ばれる完全な解答が示され、19^世紀初頭にイギリスの宣教師アレクサンダー・ワイリーによって英訳されました。^[19]

中国の数学にも数値神秘主義は存在するが^{[注 5]}、ピタゴラス派の数学とは異なり、何の成果も生まなかったようだ。

いくつかの断片を除けば、古代ギリシャの数学は、同時代の非数学者の報告書、または初期ヘレニズム時代の数学の著作を通じて私たちに知られています。^[20]数論の場合、これは主にそれぞれプラトンとユークリッドを意味します。

アジアの数学はギリシャやヘレニズム時代の学問に影響を与えましたが、ギリシャの数学もまた土着の伝統であるようです。

エウセビオス『ピタゴラス伝』第 10 章第 4 章にはピタゴラスについて次のように記されています。

「実際、ピタゴラスは、各国の知恵を熱心に研究する一方で、マギや僧侶から指導を受けながら、バビロン、エジプト、ペルシア全土を訪問した。さらに、彼はバラモン（インドの哲学者）のもとで学んだと伝えられている。そして、ある者からは占星術を学び、他の者からは幾何学、算術、音楽を学び、また他の国々からは様々なものを学び、ギリシャの賢者からは何も学ばなかった。彼らは貧困と知恵の欠乏に縛られていたからである。それどころか、彼は海外から得た学問をギリシャ人に教える著者となった。」^[21]

アリストテレスはプラトンの哲学はピタゴラス派の教えに忠実に従っていると主張した^[22]。そしてキケロもこの主張を繰り返している。 「プラトンはピタゴラス派のすべてを学んだと言われている」 ^[23]。

プラトンは数学に強い関心を持ち、算術と計算を明確に区別していました。(プラトンが算術という言葉で意味していたのは、算術や数論が意味するものではなく、部分的には数についての理論化でした。)テオドロスが無理数であることを証明したことは、プラトンの対話篇の 1 つ、すなわち「テアイテトス」を通して知られています。テアイテトスは、プラトンと同様にテオドロスの弟子であり、異なる種類の通約不可能数の区別に取り組み、したがって数体系の研究の先駆者であったと言えます。(パプスは、ユークリッドの「原論」第 10 巻は、テアイテトスの著作に大きく基づいていると 述べています。)${\displaystyle {\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}}$

ユークリッドは『原論』の一部を素数と割り切れる可能性に充てました。これらは明らかに数論に属し、数論の基礎となるテーマです（ユークリッドの『原論』第 VII 巻から第 IX 巻）。特に、彼は 2 つの数の最大公約数を計算するアルゴリズム（ユークリッドの互除法、原論、命題 VII.2）と、素数が無限であることの最初の証明（原論、命題 IX.20）を与えました。

1773年、レッシングは図書館員として働いていたときに原稿から見つけた警句を出版した。それはアルキメデスがエラトステネスに送った手紙であると主張していた。^{[24] [25]その警句は}アルキメデスの牛問題として知られるようになった問題を提示した 。その解決法（原稿には存在しない）には不定二次方程式（後にペル方程式と誤って名付けられることになる方程式に帰着する）を解くことが必要である。知られている限りでは、そのような方程式を最初にうまく扱ったのはインド学派である。アルキメデス自身が解法を持っていたかどうかは不明である。

アレクサンドリアのディオファントスについてはほとんど知られていない。彼はおそらく紀元後3世紀、つまりユークリッドの500年後に生きていた。ディオファントスの『算術』 13巻のうち6巻がギリシャ語原文で現存し、さらに4巻がアラビア語訳で現存している。『算術』は、通常はまたは の形式をとる多項式方程式の連立に対する有理解を求める問題を集大成したものである。したがって、今日では、ディオファントス方程式は有理解または整数解が求められる 多項式方程式である。${\displaystyle f(x,y)=z^{2}}$${\displaystyle f(x,y,z)=w^{2}}$

ギリシャの天文学はおそらく三角法を導入するほどインドの学問に影響を与えたが^[26]、それ以外の点ではインドの数学は土着の伝統であると思われる。^[27]特に、ユークリッドの『原論』が18世紀以前にインドに到達したという証拠はない。^[28]

アーリヤバタ（紀元476年 - 550年）は、同時合同のペアは、彼がクッタカ（粉砕器）と呼んだ方法で解けることを示した。^[29]これはユークリッドの互除法（の一般化）に近い手順であり、おそらくインドで独自に発見された。^[30]アーリヤバタは天文学的計算への応用を念頭に置いていたと思われる。^[26]${\displaystyle n\equiv a_{1}{\bmod {m}}_{1}}$${\displaystyle n\equiv a_{2}{\bmod {m}}_{2}}$

ブラフマグプタ（628年）は不定二次方程式の体系的な研究を始めた。特にペル方程式という誤った名前が付けられた方程式は、アルキメデスが最初に興味を持ったと考えられ、西洋ではフェルマーとオイラーの時代まで解かれていなかった。後のサンスクリットの著者はブラフマグプタの専門用語を使ってそれに倣った。ペル方程式を解くための一般的な手順（チャクラヴァラ、つまり「巡回法」）は、最終的にジャヤデーヴァ（11世紀に引用されたが、彼の作品はそれ以外は失われている）によって発見された。現存する最古の説明はバースカラ2世のビージャガニタ（12世紀）に見られる。^[31]

インドの数学は18世紀後半までヨーロッパではほとんど知られていなかった。^[32]ブラフマグプタとバースカラの著作は1817年にヘンリー・コールブルックによって英語に翻訳された。^[33]

9世紀初頭、カリフのアル・マムーンは多くのギリシャの数学書と少なくとも1つのサンスクリットの著作（シンド語、これはブラフマグプタのブラフマスフタシッダーンタである可能性もある^[34]し、そうでない可能性もある^[35]）の翻訳を命じた。ディオファントスの主著である算術書はクスタ・イブン・ルカ（820-912）によってアラビア語に翻訳された。アル・ファクリ（アル・カラジー著、953-1029年頃）の論文の一部は、ある程度これに基いている。ラシッド・ロシュディによると、アル・カラジーと同時代のイブン・アル・ハイサムは^{[36] 、後に}ウィルソンの定理と呼ばれるものを知っていた。

フィボナッチが北アフリカとコンスタンティノープルを旅して研究した等差数列の平方に関する論文を除けば、中世の西ヨーロッパでは数論と呼べるものは何もなかった。ルネサンス後期に、古代ギリシャの著作の再研究のおかげで、ヨーロッパでは状況が変わり始めた。きっかけとなったのは、ディオファントスの『算術』のテキスト改訂とラテン語への翻訳であった。^[37]

ピエール・ド・フェルマー（1607–1665）は、著作を出版することはなかった。特に、数論に関する研究は、数学者に宛てた手紙と私的な欄外のメモにほぼ完全に収められている。^[38]彼はメモや手紙の中で証明をほとんど書いていない。この分野にモデルがなかったからだ。^[39]

フェルマーは生涯を通じてこの分野に次のような貢献をしました。

• フェルマーの最初の関心事の一つは完全数（ユークリッド『原論』第9巻に登場）と友愛数であった。^{[注 6]これらのテーマは彼を整数の}約数の研究へと導き、それは当初から当時の数学界との接触をもたらした書簡（1636年以降）の主題の一つであった。^[40]
• 1638年、フェルマーは証明なしに、すべての整数は4つの平方数以下の和として表すことができると主張した。^[41]
• フェルマーの小定理（1640年）：^[42] aが素数pで割り切れない場合、^[注7]${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}.}$
• もしaとbが互いに素であれば、は4を法として−1と合同ないかなる素数でも割り切れない。^[43]そして4を法として1と合同なすべての素数は の形で表すことができる。^{[44]これら2つの命題も1640年にさかのぼる。1659年、フェルマーはホイヘンスに対して、後者の命題を}無限降下法で証明したと述べた。^[45]${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$
• 1657年、フェルマーはイギリスの数学者にこの問題を解く課題を提起した。その問題はウォリスとブラウンカーによって数か月で解決された。^[46]フェルマーは彼らの解法が妥当だと考えたが、彼らが証明のないアルゴリズムを提示したことを指摘した（フェルマーは知らなかったが、ジャヤデーヴァとバースカラも同様であった）。彼は証明は無限降下法で見つけられると述べた。${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$
• フェルマーはディオファントスに関する観察（Obs. XLV）^[47]の付録で、整数には非自明な解は存在しないと述べ、（無限降下法によって）証明した。フェルマーはまた、整数には非自明な解は存在しないこと、そしてこれは無限降下法によっても証明できることを通信員に伝えた。^[48]知られている最初の証明はオイラー（1753年、実際には無限降下法による）によるものである。^[49]${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$
• フェルマーは、すべてのに対して の解は存在しないことを示したと主張した (フェルマーの最終定理) 。この主張は、彼が書いたディオファントスの写本の余白の注釈に記載されている。${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$${\displaystyle n\geq 3}$

レオンハルト・オイラー（1707–1783）の数論への興味は、1729年に友人のアマチュア^{[注 8]} ゴールドバッハがフェルマーの数論に関するいくつかの研究を紹介したときに初めて刺激された。^{[50] [51]}これは、フェルマーが同時代の人々の関心をこの分野に引き付けることにあまり成功しなかったため、現代数論の「復活」と呼ばれている。 ^{[ 52]}オイラーの数論に関する著作には、次のものがある。^[53]

• フェルマーの主張の証明。これには、フェルマーの小定理（オイラーによって非素数モジュライに一般化された）、のときかつ に限り であるという事実、すべての整数は 4 つの平方の和であるという証明に向けた初期の作業（最初の完全な証明はジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ（1770）によるもので、すぐにオイラー自身によって改良された^[55]）、 の非ゼロ整数解が存在しない（フェルマーの最終定理のn=4の場合を意味し、 n=3の場合もオイラーは関連する方法で証明した）。${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {4}}}$${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}$
• ペル方程式は、オイラーによって最初に誤って命名されました。 ^[56]彼は連分数とペル方程式の関係について書きました^{。 [57]}
• 解析的数論への第一歩。四平方数の和、分割、五角数、素数の分布に関する研究で、オイラーは数論における解析（特に無限級数）の使用を開拓した。彼は複素解析が発達する前に生きていたため、彼の研究のほとんどは冪級数の形式的な操作に限定されている。しかし、後にリーマンゼータ関数と呼ばれることになるものに関する非常に注目すべき（ただし完全に厳密ではない）初期の研究を行った。^[58]
• 二次形式。フェルマーに倣って、オイラーはどの素数が の形式で表現できるかという問題についてさらに研究を進め、その一部は二次の相互法則を予見するものとなった。^{[59] [60] [61]}${\displaystyle x^{2}+Ny^{2}}$
• ディオファントス方程式。オイラーは種数0と1のディオファントス方程式のいくつかに取り組んだ。^{[62] [63]}特に、彼はディオファントスの研究を研究し、それを体系化しようとしたが、そのような努力をする時期はまだ来ていなかった。代数幾何学はまだ初期段階にあった。 ^{[64]彼はディオファントス問題と}楕円積分の間に関連があることに気付いており、^[64]その研究は彼自身が始めたものだった。

ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ（1736年 - 1813年）は、フェルマーとオイラーの研究と観察の一部、例えば四平方定理や、誤って「ペル方程式」と名付けられた基本理論（この方程式のアルゴリズムによる解法はフェルマーと同時代の人々、さらにそれ以前にはジャヤデーヴァとバースカラ2世によって発見されていた）の完全な証明を初めて与えた人物である。また、彼は（ とは対照的に）二次形式を完全な一般性で研究し、それらの同値関係を定義し、それらを簡約形式にする方法などを示した。 ${\displaystyle mX^{2}+nY^{2}}$

アドリアン＝マリー・ルジャンドル（1752–1833）は、二次の相互法則を初めて提唱した人物である。また、素数定理や等差数列に関するディリクレの定理に相当するものを予想した。彼は方程式の完全な取り扱いを与え^[66]、後にガウスによって完全に発展させられる方向に沿って二次形式に取り組んだ。^[67]晩年、彼はフェルマーの最終定理を初めて証明した人物である（ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレの研究を補完し、彼とソフィー・ジェルマンの功績を認めた）。^[68]${\displaystyle axe^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$${\displaystyle n=5}$

カール・フリードリヒ・ガウス（1777-1855）は著書『算術論』 （1798年）で、二次の相互法則を証明し、二次形式の理論（特にその構成の定義）を展開した。また、基本的な記法（合同）を導入し、素数判定を含む計算問題に1節を割いた。^{[69] 『}算術論』の最後の節では、単位根と数論 の関係を確立した。

第7節で扱われる円周の理論は、それ自体は算術に属するものではなく、その原理は高等算術からのみ引き出されるものである。^[70]

このようにして、ガウスはエヴァリスト・ガロアの研究と代数的整数論の両方への最初の進出を果たしたと言えるでしょう。

19 世紀初頭から、次のような展開が徐々に起こりました。

• 数論（あるいは高等算術）を研究分野として自覚するようになったこと。 ^[71]
• 複素解析、群論、ガロア理論など、現代の基礎的な数論に必要な現代数学の多くを発展させ、解析の厳密化と代数の抽象化をさらに進めました。
• 数論を現代の下位分野、特に解析的数論と代数的数論に大まかに分類したもの。

代数的数論は相互性と円分法の研究から始まったと言えるが、抽象代数学と初期のイデアル論および付値論の発展によって真価を発揮するようになった。下記参照。解析的数論の従来の出発点は等差数列に関するディリクレの定理（1837）^{[72] [73]}であり、その証明ではL 関数が導入され、漸近解析と実変数に関する極限過程が含まれていた。^{[74]数論における解析的アイデアの最初の使用は、実際にはオイラー（1730 年代） [75] [76]}にまで遡り、オイラーは形式的な冪級数と非厳密な（または暗黙の）極限議論を使用した。複素解析が数論で使用されるようになったのはもっと後のことで、ゼータ関数に関するベルンハルト・リーマン（1859）の研究が標準的な出発点である。^[77]ヤコビの四平方定理（1839年）は、それより古いもので、当初は異なる流れに属していたが、今では解析的数論（モジュラー形式）において主導的な役割を果たしている。^[78]

各サブフィールドの歴史については、以下の各セクションで簡単に説明します。より詳しい説明については、各サブフィールドのメイン記事を参照してください。各分野の最も興味深い疑問の多くは未解決のままであり、現在も活発に研究が進められています。

初等的という用語は、一般に複素解析を使用しない方法を示します。たとえば、素数定理は1896年に複素解析を使用して初めて証明されましたが、初等的な証明は1949年にエルデシュとセルバーグによってのみ見つかりました。^[79]この用語はいくぶん曖昧です。たとえば、複素タウバー定理（たとえば、ウィーナー–池原）に基づく証明は、複素解析そのものではなくフーリエ解析を使用しているにもかかわらず、非常に啓発的ではあるが初等的ではないと見なされることがよくあります。ここでも他の場所でも、初等的な証明は、ほとんどの読者にとって、初等的でない証明よりも長くて難しい場合があります。

数論は、その成果の多くが一般の人にも説明できる分野であるという評判がある。同時に、これらの成果の証明は、特に理解しやすいわけではない。その理由の1つは、証明に用いられるツールの範囲が、数学の中でも異例なほどに広いためである。^[80]

解析的数論は次のように定義される。

• ツールの観点から見ると、実解析と複素解析のツールによる整数の研究などである。^[72 ]
• 関心の点では、数論における恒等式ではなく、大きさと密度の推定の研究として。^[81]

ふるい理論^{[注 9]}など、一般的に解析的数論の一部であると考えられているいくつかの主題は、最初の定義よりも2番目の定義でより適切にカバーされています。たとえば、ふるい理論の一部は解析をほとんど使用しませんが^{[注 10]}、解析的数論に属します。

解析的整数論の問題の例としては、素数定理、ゴールドバッハ予想（または双子素数予想、ハーディ・リトルウッド予想）、ウォーリング問題、リーマン予想などがある。解析的整数論の最も重要なツールとしては、円周法、ふるい法、L関数（またはそれらの特性の研究）などがある。モジュラー形式（およびより一般的には保型形式）の理論も、解析的整数論のツールボックスの中でますます中心的な位置を占めている。^[82]

代数的数について解析的な質問をし、解析的手段を使ってそのような質問に答えることがあります。このようにして、代数的数論と解析的数論は交差します。たとえば、素イデアル（代数的数の分野における素数の一般化）を定義し、ある大きさまでの素イデアルがいくつあるかを尋ねることができます。この質問は、この分野の根底にある重要な解析的対象であるリーマンゼータ関数の一般化であるデデキントゼータ関数を調べることによって答えることができます。 ^{[83]これは、解析的数論における一般的な手順の例です。つまり、適切に構築された複素数値関数の解析的動作から、}シーケンス（ここでは素イデアルまたは素数）の分布に関する情報を導き出すことです。^[84]

代数的数とは、有理係数を持つ多項式方程式の解である複素数である。例えば、（と）のすべての解は代数的数である。代数的数の体は代数的数体、または短く数体とも呼ばれる。代数的数論は代数的数体を研究する。^[85]したがって、解析的数論と代数的数論は重なり合う可能性があり、実際に重なり合っている。前者はその方法によって定義され、後者は研究対象によって定義される。 ${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0}$

最も単純な種類の数体（すなわち、二次体）は、すでにガウスによって研究されていたと主張することもできる。なぜなら、『算術論』における二次形式の議論は、二次体のイデアルと ノルムという観点から言い換えることができるからである。（二次体は、という形式のすべての数から成り、 と は有理数であり、 は 平方根が有理数でない固定された有理数である。）さらに言えば、11世紀のチャクラヴァラ法は、現代の言葉で言えば、実二次数体の単位を見つけるアルゴリズムに相当する。しかし、バースカラもガウスも数体そのものを知らなかった。 ${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle d}$

この主題の基礎は、理想数、イデアル理論、付値理論が導入された19世紀後半に確立されました。これらは、代数体における一意の因数分解の欠如に対処するための3つの補完的な方法です。（たとえば、有理数とによって生成される体では、数はと の 両方として因数分解できます。 、、およびは すべて既約であり、 したがって、素朴な意味で、整数間の素数に類似しています。）理想数の開発（クンマーによる）の最初の推進力は、高次相互法則^[86] 、つまり二次相互法則の一般化の研究から生まれたようです。 ${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 6=2\cdot 3}$${\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}$

数体は、より小さな数体の拡大として研究されることが多い。体L が体Kの拡大であるとは、L が体K を含む場合である。(たとえば、複素数Cは実数Rの拡大であり、実数R は有理数Qの拡大である。) 与えられた数体の可能な拡大を分類することは、難しく、部分的に未解決の問題である。アーベル拡大、つまり、K 上の L のガロア群 [注 11] Gal( L / K ) がアーベル群となるような K の拡大は、比較的よく理解さ^れている。その分類は類体理論のプログラムの対象であり、これは 19 世紀後半に (部分的にクロネッカーとアイゼンシュタインによって) 開始され、大部分は 1900 年から 1950 年にかけて実行された。

代数的整数論の活発な研究領域の一例として、岩澤理論が挙げられます。数学における現在の主要な大規模研究計画の 1 つであるラングランズ計画は、類体理論を数体の非可換拡大に一般化する試みとして説明されることがあります。

ディオファントス幾何学の中心的な問題は、ディオファントス方程式に解が存在するかどうか、また存在する場合はその数を決定することです。方程式の解を幾何学的オブジェクトとして考えるというアプローチが取られます。

たとえば、2 変数の方程式は平面上の曲線を定義します。より一般的には、2 つ以上の変数の方程式または方程式系は、n次元空間内の曲線、面、または他の同様のオブジェクトを定義します。ディオファントス幾何学では、曲線または面上に有理点(すべての座標が有理数である点) または 整数点(すべての座標が整数である点) があるかどうかが問われます。そのような点がある場合、次のステップは、それらの数と分布状況を問うことです。この方向での基本的な質問は、特定の曲線または面上に有限個または無限個の有理点があるかどうかです。

ここで例を挙げるとわかりやすいでしょう。ピタゴラス方程式 を考えてみましょう。 その有理数解、つまり xとyが両方とも有理数となるような解を知りたいとします。これは のすべての整数解を求めるのと同じです。後者の方程式の任意の解は、前者の解 を与えます。これはまた、(原点を中心とする半径 1 の円) によって表される曲線上の有理数座標を持つすべての点を求めるのと同じです。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$${\displaystyle x=a/c}$${\displaystyle y=b/c}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

方程式に関する問題を曲線上の点という観点から言い換えるのは適切である。代数曲線上の有理点または整数点（つまり、 2変数の多項式である方程式の有理解または整数解）の数が有限であるかどうかは、曲線の種数に大きく依存する。 ^{[注 12]}このアプローチの主な成果は、ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明であり、この証明には他の幾何学的概念も同様に重要である。 ${\displaystyle f(x,y)=0}$${\displaystyle f}$

また、これと密接に関連しているディオファントス近似という分野もあります。これは、数が与えられたときに、それを有理数でどの程度近似できるかを判断するものです。有理数を記述するために必要なスペースの量に対して適切な近似値を求めます。つまり、 が大きい場合、( を用いて) を適切な近似値とします。この問題は、が代数的数である場合に特に重要です。を適切に近似できない場合、方程式の中には整数解や有理数解を持たないものがあります。さらに、いくつかの概念 (特に高さの概念) は、ディオファントス幾何学とディオファントス近似の研究の両方で重要です。この問題は、超越数論においても特に重要です。つまり、ある数がどの代数的数よりも適切に近似できる場合、その数は超越数です。この議論によって、πとe は超越数であることが示されました。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle a/q}$${\displaystyle \gcd(a,q)=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |xa/q|<{\frac {1}{q^{c}}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ディオファントス幾何学を、代数的整数論における特定の疑問に答えるためのグラフィカルな手法の集合である数の幾何学と混同してはならない。しかし、数論幾何学は、ディオファントス幾何学という用語が扱う領域とほぼ同じ領域を指す現代的な用語である。数論幾何学という用語は、ディオファントス近似の手法よりも、現代の代数幾何学（たとえば、ファルティングスの定理）とのつながりを強調したい場合に最もよく使用されると言える。

以下の分野は、古い資料に基づいているとしても、20 世紀半ばより前に遡るものではありません。たとえば、以下で説明するように、数論のアルゴリズムには長い歴史があり、証明の正式な概念よりも古いと言えます。しかし、計算可能性に関する現代の研究は1930 年代と 1940 年代に始まったばかりで、計算複雑性理論が登場したのは 1970 年代です。

確率的数論は、次のような質問から始まります。1から 100 万までの整数n をランダムに選びます。それが素数である可能性はどれくらいでしょうか? (これは、1 から 100 万までの間に素数がいくつあるかを尋ねる別の方法です)。平均して、 nには素因数がいくつありますか? 平均よりもはるかに多い、またははるかに少ない約数または素因数がある確率はどれくらいですか?

確率的数論の多くは、ほぼ相互に独立しているが完全には独立していない変数の研究の重要な特殊なケースと見ることができます。たとえば、1 から 100 万までのランダムな整数が 2 で割り切れるという事象と、それが 3 で割り切れるという事象は、ほぼ独立していますが、完全には独立していません。

確率的組合せ論は、起こる確率が必ず起こる確率よりも高いという事実を利用していると言われることがあります。同様に、確率的数論の多くの応用は、珍しいことはまれであるという事実にかかっていると言っても過言ではありません。特定の代数的対象 (たとえば、特定の方程式の有理数または整数解) が、ある合理的に定義された分布の末尾にあることが示されれば、それらの数はほとんどないということになります。これは、確率的記述から導かれる非常に具体的な非確率的記述です。 ${\displaystyle 0}$

時には、厳密でない確率的アプローチは、多くのヒューリスティックなアルゴリズムや未解決の問題、特にクラメールの予想につながることがあります。

算術的組合せ論は、次のような質問から始まります。かなり「厚い」無限集合 には、等差数列、、 などの要素が多数含まれますか? 大きな整数を の要素の和として表すことは可能でしょうか? ${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a+b,a+2b,a+3b,\ldots ,a+10b}$${\displaystyle A}$

これらの疑問は、算術的組合せ論の特徴である。これは現在融合しつつある分野であり、加法的な数論（素数や平方数など、算術的に重要な特定の集合を扱う）と、おそらく数の幾何学の一部、および急速に発展しているいくつかの新しい資料を包含している。増加と分配の問題に焦点を当てていることは、エルゴード理論、有限群論、モデル理論、およびその他の分野とのつながりが発展していることの理由の1つである。加法的な組合せ論という用語も使用されているが、研究対象の集合は整数の集合である必要はなく、非可換群のサブセットである必要があり、これには伝統的に加算記号ではなく乗算記号が使用される。それらは環のサブセットであることも可能であり、その場合はと·の増加を比較することができる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A+A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

アルゴリズムという言葉は、アル・ホリズミーの一部の読者にしか遡りませんが、解決方法の注意深い説明は証明よりも古いものです。そのような方法 (つまり、アルゴリズム) は、古代エジプト、バビロニア、ヴェーダ、中国のあらゆる認識可能な数学と同じくらい古いものですが、証明は古典期のギリシャ人によってのみ登場しました。

初期の例としては、現在ユークリッドの互除法と呼ばれているものがあります。その基本的な形式 (つまり、最大公約数を計算するアルゴリズム)は、『原論』第 7 巻の命題 2 に正しさの証明とともに登場します。しかし、数論でよく使用される形式 (つまり、方程式の整数解を求めるアルゴリズム、または同じく、中国の剰余定理によって存在が保​​証されている量を求めるアルゴリズム) では、正しさの証明なしに、 Āryabhaṭa (紀元 5 世紀から 6 世紀)の著作にkuṭṭaka (「粉砕機」) と呼ばれるアルゴリズムとして初めて登場します。 ${\displaystyle ax+by=c}$

主な疑問は 2 つあります。「これは計算できますか?」と「迅速に計算できますか?」です。数値が素数かどうかをテストしたり、素数でない場合は素因数に分割したりすることは誰でもできますが、これを迅速に行うかどうかは別の問題です。素数かどうかをテストするための高速アルゴリズムは現在知られていますが、多くの研究 (理論的および実際的) にもかかわらず、因数分解のための真に高速なアルゴリズムは存在しません。

計算の難しさは役に立つことがあります。メッセージを暗号化するための最新のプロトコル(たとえば、RSA ) は、誰もが知っている関数に依存していますが、その逆関数は選ばれた少数の人しか知らず、自分で考え出すには時間がかかりすぎます。たとえば、これらの関数の逆関数は、特定の大きな整数を因数分解した場合にのみ計算できる場合があります。数論以外の多くの困難な計算問題は知られていますが、現在機能している暗号化プロトコルのほとんどは、数論上のいくつかの問題の難しさに基づいています。

全く計算できないものもあるかもしれない。実際、これはいくつかの例で証明できる。例えば、1970年にヒルベルトの第10問題の解決策として、すべてのディオファントス方程式を解くことができるチューリングマシンは存在しないことが証明された。 ^[87]特に、これは計算可能に列挙可能な公理の集合が与えられた場合、その公理から始めても方程式の集合が整数解を持つかどうかの証明がないディオファントス方程式が存在することを意味する。（つまり、整数解が存在しないディオファントス方程式である。なぜなら、少なくとも1つの解を持つディオファントス方程式が与えられた場合、その解自体が解が存在するという事実の証明を提供するからである。特定のディオファントス方程式がこの種の方程式であると証明することはできない。そうすると、その方程式に解がないことになるからである。）

数論学者レナード・ディクソン（1874-1954）は「数論がいかなる応用によっても汚されていないことに感謝せよ」と述べた。そのような見解は数論にはもはや当てはまらない。^[88] 1974年、ドナルド・クヌースは「初等数論のほぼすべての定理は、コンピュータに高速数値計算を行わせるという問題に関連して、自然で動機づけられた形で生じる」と述べた。 [ ^{89]初等数論は、}コンピュータ科学者向けの離散数学のコース で教えられている。数値解析における連続体への応用もある。^[90]

数論は現在、次のような多様な分野にわたるいくつかの現代的な応用を持っています。

• 暗号化：RSAなどの公開鍵暗号化方式は、大きな合成数を素因数分解することの難しさに基づいています。^[91]
• コンピュータサイエンス：離散フーリエ変換を効率的に計算するために使用される高速フーリエ変換（FFT）アルゴリズムは、信号処理やデータ分析において重要な用途を持っています。^[92]
• 物理学：リーマン予想は素数の分布と関連があり、物理学における潜在的な意味について研究されてきた。^[93]
• 誤り訂正符号：有限体理論と代数幾何学は効率的な誤り訂正符号の構築に利用されてきた。^[94]
• 通信：携帯電話ネットワークの設計には、解析的数論の一部であるモジュラー形式の理論の知識が必要である。 ^[95]
• 音階の研究：現代の西洋音楽のほとんどの基礎となっている「平均律」の概念は、オクターブを12の等しい部分に分割することを含んでいます。^[96]これは数論、特に2の12乗根の性質を用いて研究されてきました。

アメリカ数学会はコール数論賞を授与しています。また、数論はフェルマー賞の対象となる 3 つの数学分野の 1 つです。

• 代数関数体
• 有限体
• p進数
• 数論アルゴリズムの一覧

• この記事には、 Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Licenseに基づいてライセンスされているが、 GFDLに基づいてライセンスされていないCitizendium の記事「Number theory」の資料が組み込まれています。

このテーマに関する最も人気のある入門書は次の 2 つです。

• GH Hardy ; EM Wright (2008) [1938]. 数論入門（DR Heath-BrownとJH Silvermanによる改訂、第6版）。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-921986-5. 2016年3月2日閲覧。
• Vinogradov, IM (2003) [1954].数論の要素（1954年版の再版）. ミネオラ、ニューヨーク：Dover Publications.

ハーディとライトの著書は包括的な古典ですが、著者が初歩的な方法論にこだわっているため、わかりやすさが損なわれることがあります (Apostol 1981)。ヴィノグラドフの本の最大の魅力は、ヴィノグラドフ自身の研究関心にすぐにつながる一連の問題にあります。テキスト自体は非常に基本的で、最小限に抑えられています。その他の人気のある入門書は次のとおりです。

• Ivan M. Niven、Herbert S. Zuckerman、Hugh L. Montgomery ( 2008 ) [1960]。数論入門（1991年第5版の再版）。John Wiley & Sons。ISBN 978-81-265-1811-1. 2016年2月28日閲覧。
• ケネス・H・ローゼン（2010年）。『初等数論』（第6版）。ピアソン・エデュケーション。ISBN 978-0-321-71775-7. 2016年2月28日閲覧。

2 冊目の教科書として人気のある選択肢は次のとおりです。

• Borevich, AI ; Shafarevich, Igor R. (1966). 数論. 純粋および応用数学. 第20巻. ボストン、マサチューセッツ州: Academic Press . ISBN 978-0-12-117850-5MR  0195803 。
• セール、ジャン＝ピエール（1996）[1973]。算数のコース。数学の大学院テキスト。第7巻。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-90040-7。

• 数学百科事典における数論の項目
• 数論ウェブ