レナード・ユージーン・ディクソン

レナード・ユージン・ディクソン（1874年1月22日 - 1954年1月17日）はアメリカの数学者。抽象代数学、特に有限体と古典群の理論におけるアメリカ初の研究者の一人であり、全3巻からなる数論の歴史書『数論の歴史』でも知られる。シカゴ大学数学科 のLEディクソン講師職は彼にちなんで名付けられている。

ディクソンは、父親が銀行家、商人、不動産投資家であったクリーバーンで育ったことから、自分をテキサス人だと考えていた。彼はテキサス大学オースティン校に入学し、そこでジョージ・ブルース・ハルステッドが彼に数学の勉強を勧めた。ディクソンはハルステッドの指導の下、1893年に理学士号、1894年に理学修士号を取得した。ディクソンは最初、ハルステッド自身の専門である幾何学を専攻した。^[2]

シカゴ大学とハーバード大学はどちらもディクソンを博士課程の学生として迎え入れ、ディクソンは当初ハーバード大学の申し出を受け入れたが、シカゴ大学への進学を選択した。1896年、ディクソンはわずか22歳で、EHムーアの指導の下、 「素数の文字のべき乗の置換の解析的表現と線型群の考察」と題する論文で、シカゴ大学初の数学博士号を授与された。

ディクソンはその後ライプツィヒとパリに行き、それぞれソフス・リーとカミーユ・ジョーダンのもとで学んだ。米国に戻ると、彼はカリフォルニア大学の講師になった。1899年、25歳という異例の若さで、ディクソンはテキサス大学の准教授に任命された。シカゴ大学は1900年に彼に職を提供することで応じ、彼はそこで残りのキャリアを過ごした。シカゴ大学では、彼は53本の博士論文を指導した。彼の最も優秀な学生はおそらくA・A・アルバートだろう。彼は1914年、1918年、1922年にカリフォルニア大学の客員教授を務めた。1939年、彼は引退するためにテキサスに戻った。

ディクソンは1902年にスーザン・マクロード・デイビスと結婚し、キャンベルとエレノアという2人の子供をもうけた。

ディクソンは1913年に米国科学アカデミーに選出され、アメリカ哲学協会、アメリカ芸術科学アカデミー、ロンドン数学協会、フランス科学アカデミー、チェコ数学者連合の会員でもあった。ディクソンは代数の算術に関する研究で1924年にアメリカ科学振興協会が創設した賞の初代受賞者となった。ハーバード大学（1936年）とプリンストン大学（1941年）から名誉博士号を授与された。

ディクソンは1917年から1918年にかけてアメリカ数学会の会長を務めた 。1918年12月の会長演説「戦争の観点から見た数学」では、アメリカの数学がイギリス、フランス、ドイツの数学に及ばないと批判した。

「数学の十分な準備が不足しているために、何千人もの若者が陸軍や海軍の仕事で深刻な障害を負うことが再び起こらないようにしなければならない。」

1928年、彼は著書『代数と数論』により、AMSが毎年授与するコール代数学賞の初代受賞者にもなった。

ディクソンは厳しい人だったようだ。

「ディクソンは厳しい性格で、自分の考えを率直に話す傾向があり、他人の仕事に対する賞賛を控えていた。…彼はブリッジとビリヤードに真剣に熱中し、どちらのゲームでも負けるのが嫌いだったと伝えられている。」^[3]

「彼は簡潔で洗練されていない講義を行い、学生に厳しい口調で話した。…しかし、ディクソンは数学の苦手な学生に対して寛容ではなかったため、たとえ個人的な意図がなかったとしても、彼の発言は厳しいものになる可能性があった。彼は学生に自信を持たせようとはしなかった。」^[4]

「ディクソンは博士課程の学生に突然死の試練を与えた。彼は博士論文の問題よりも短い予備的な問題を与え、学生がそれを3か月以内に解くことができれば、ディクソンは大学院生の研究を指導することに同意した。それができない場合、学生は他の場所で指導教員を探さなければならなかった。」^[4]

ディクソンはアメリカの数学、特に抽象代数学に大きな影響を与えました。彼の数学的業績は 18 冊の本と 250 本以上の論文から成ります。レナード・ユージン・ディクソンの数学論文集は6 巻の大冊にあたります。

1901年、ディクソンは博士論文の改訂と拡張である最初の著書『ガロア体理論の解説を付した線型群』を出版した。当時、アメリカには定評のある科学出版社がなかったため、この本はライプツィヒのテウブナー社が出版した。ディクソンはそれまでの5年間ですでに43の研究論文を発表しており、7本を除くすべてが有限線型群に関するものだった。パーシャル（1991）はこの本を次のように評している。

「ディクソンは、ジョーダンが行ったように単に素体GF( p )上ではなく、一般有限体GF( p ⁿ ) 上の、古典線型群の統一的かつ完全な一般理論を提示しました。そして、彼はこれを、これらの基礎となる体のよく発達した理論を背景に行いました。…彼の本は、数学の文献における有限体の初めての体系的な扱いを表しています。」

この本の付録には、当時知られていた 10 億未満の位数を持つ非可換単純群がリストされています。彼は 56 のうち 53 を 100 万未満の位数を持つものとしてリストしました。残りの 3 つは 1960 年、1965 年、および 1967 年に発見されました。

ディクソンは有限体に関する研究を行い、ジョセフ・ウェダーバーンとカルタンによって提唱された線型結合代数の理論を拡張した。

彼は群のモジュラー不変量の研究を始めた。

1905年、当時カーネギーフェローシップでシカゴにいたウェダーバーンは、すべての有限除算代数は可換であるという定理（現在ウェダーバーンの定理として知られている）の3つの証明を含む論文を発表した。証明はすべて、有限除算代数Aの加法群と乗法群A * =  A  − {0}の相互作用を巧みに利用していた。カレン・パーシャルは、これら3つの証明の最初のものに、当時は気づかなかったギャップがあることを指摘した。ディクソンもこの結果の証明を見つけたが、ウェダーバーンの最初の証明が正しいと信じていたため、ディクソンはウェダーバーンの優先権を認めた。しかしディクソンは、ウェダーバーンが2番目と3番目の証明を構築したのはディクソンの証明を見た後だったことにも言及した。彼女は、最初の正しい証明はディクソンの功績であると結論付けた。^[5]

ディクソンはウェダーバーンの定理に対する反例を探して非結合的代数を研究するようになり、一連の論文で体上のすべての可能な3次元および4次元（非結合的）除算代数を発見した。

1919年、ディクソンは四元数から始まる倍加法によってケイリー数を構築した。^{[6]彼の方法は、1922年に}AAアルバートによって の倍加法でを生成し、 の倍加法でを生成するまで拡張され、この手順は現在では合成代数のケイリー・ディクソン構成として知られている。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

ディクソンは、加法数論の研究において、ヴィノグラドフの結果を用いて理想的なウォーリング定理を導き出し、数論における多くの興味深い結果を証明した。彼は、さらに次の条件の下 でウォーリング問題を証明した。${\displaystyle k\geq 7}$

${\displaystyle (3^{k}+1)/(2^{k}-1)\leq [1.5^{k}]+1}$

彼の前にそれを証明したスバヤ・シヴァサンカラナラーヤナ・ピライとは別に。^[7]${\displaystyle k\geq 6}$

3 巻から成る数論の歴史(1919-23) は、現在でも広く参照されており、割り切れることと素数であること、ディオファントス解析、および2 次形式以上の形式を扱っています。この作品には解釈がほとんどなく、説明されている結果を文脈化しようともしていませんが、2 次相互法則と高次の相互法則を除いて、数学の黎明期から 1920 年代までの重要な数論的アイデアが基本的にすべて含まれています。これらのトピックに関する計画されていた第 4 巻は書かれませんでした。AA Albert は、この 3 巻の作品は「より普通の人にとっては、それだけで一生の仕事になるだろう」と述べています。

• ディクソン、レナード・ユージン（1958）[1901]、マグナス、ウィルヘルム（編）、線型群：ガロア体理論の解説付き、ドーバー・フェニックス・エディションズ、ニューヨーク：ドーバー・パブリケーションズ、ISBN 978-0-486-49548-4、MR  0104735^{[8] [9]} ( online hathitrust. BG Teubner's Sammlung von lehrbüchern auf dem gebiete der mathematischen wissenschaften mit einschluss ihrer anwendungen. Bd. VI. BG Teubner. 1901.）
• ディクソン、レナード・ユージン（1903）[1903]、代数方程式論入門、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ^[10]（オンラインhathitrust。J.Wiley＆Sons。1903年。）
• ディクソン、レナード・ユージン (2010) [1914]、線形代数、ケンブリッジ数学および数理物理学論文集の再版、第16号、ナウブ・プレス、ISBN 978-1-178-36805-5、MR  0118745^[11]
• ディクソン、レナード・ユージン (2010) [1914]、代数的不変量、コーネル大学図書館、ISBN 978-1-4297-0042-9^[12]
• ディクソン、レナード・ユージン（2004）[1914]、不変量と数論について、ドーバー・フェニックス・エディション、ニューヨーク：ドーバー・パブリケーションズ、ISBN 978-0-486-43828-3、MR  0201389^[13]
• ディクソン、レナード・ユージン（2009）[1914]、方程式の基本理論、コーネル大学図書館、ISBN 978-1-112-27988-1
• ディクソン、レナード・ユージン（2005）[1919]、数論の歴史。第1巻：割り切れるかどうかと素数かどうか。ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-44232-7、MR  0245499^[14]
• ディクソン、レナード・ユージン（2005）[1920]、数論の歴史。第2巻：ディオファントス解析、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-44233-4、MR  0245500^[15]
• ディクソン、レナード・ユージン（2005）[1923]、数論の歴史。第3巻：二次形式および高次形式、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-44234-1、MR  0245501
• ディクソン、レナード・ユージン（2009）[1922]、方程式理論の初歩、ミシガン大学図書館
• ディクソン、レナード・ユージン（1960）[1923]、代数とその算術、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-60616-3、MR  0111764^[16]
• 1926.現代代数理論^[17]
• 1923年、1928年。代数的数。米国国立研究評議会への他の研究者との報告書。
• 1929年数論入門^[18]
• 1930年数論研究^[19]
• 1935年。（ GA Blissと）「エリアキム・ヘイスティングス・ムーアの伝記回想録1862–1932」。
• 1935年ウォーリング問題に関する研究
• 1938年（ハンス・フレデリック・ブリッヒフェルト、ジョージ・エイブラム・ミラー共著）有限群の理論と応用
• 1938.代数とその算術（1923年第1版）
• 1939年現代初等数論
• 1939年方程式理論の新入門
• 実用的な応用を伴う平面三角法
• ディクソン、レナード・ユージン（1975）、アルバート、A.エイドリアン（編）、レナード・ユージン・ディクソン数学論文集、第I巻～第VI巻、ニューヨーク：AMSチェルシー出版、ISBN 978-0-8284-0273-6、MR  0749229 MR0441665​

• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「レナード ユージン ディクソン」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• 数学系譜プロジェクトのレナード・ユージーン・ディクソン
• プロジェクト・グーテンベルクのレナード・ユージン・ディクソンの作品
• インターネット アーカイブにあるレナード ユージーン ディクソンの著作またはディクソンに関する作品