ディオファントス近似

数論において、ディオファントス近似は、実数を有理数で近似する研究であり、アレクサンドリアのディオファントスにちなんで名付けられました。

最初の問題は、実数を有理数でどの程度近似できるかを知ることでした。この問題では、有理数p / q が実数αの「良い」近似値であるとは、 p / q を分母が小さい別の有理数に置き換えても、 p / qとαの差の絶対値が減少しない場合です。この問題は、18 世紀に単純な連分数によって解決されました。

与えられた数の「最良」近似がわかったら、この分野の主な問題は、分母の関数として表される上記の差の明確な上限と下限を見つけることです。これらの境界は近似する実数の性質に依存するようです。有理数を別の有理数で近似する場合の下限は、代数的数の下限よりも大きく、代数的数自体はすべての実数の下限よりも大きくなります。したがって、代数的数の境界よりも適切に近似できる実数は、間違いなく超越数です。

この知識により、リウヴィルは1844 年に初めて明示的な超越数を生み出すことができました。その後、πとeが超越数であることの証明も同様の方法で得られました。

ディオファントス近似と超越数論は、多くの定理と方法を共有する非常に近い分野です。ディオファントス近似は、ディオファントス方程式の研究にも重要な応用があります。

2022年のフィールズ賞は、ディオファントス近似に関する研究で ジェームズ・メイナードに授与されました。

実数αが与えられたとき、 αの最良ディオファントス近似を定義する方法は2つある。最初の定義では、^[1]有理数p / qはαの最良ディオファントス近似である。

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,}$

0 < q ′ ≤  qを満たす、p / qとは異なるすべての有理数p' / q'に対して。

2番目の定義では、^{[2] [3]}上記の不等式は次のように置き換えられる。

${\displaystyle \left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.}$

2番目の定義の最良近似は1番目の定義の最良近似でもあるが、その逆は一般には当てはまらない。^[4]

連分数論により、実数の近似値を計算することが可能です。2番目の定義では、それらは通常の連分数としての実数の収束値です。 ^{[3] [4] [5]最初の定義では、}半収束値 も考慮する必要があります。^[1]

例えば、定数e = 2.718281828459045235...は（通常の）連分数表現を持つ。

${\displaystyle [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].}$

2番目の定義に対する最良の近似値は

${\displaystyle 3,{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {87}{32}},\ldots \,,}$

一方、最初の定義では、

${\displaystyle 3,{\tfrac {5}{2}},{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {49}{18}},{\tfrac {68}{25}},{\tfrac {87}{32}},{\tfrac {106}{39}},\ldots \,.}$

実数αを有理数p / qで近似した場合の精度の明らかな尺度は、次のとおりです。ただし、この量は、 pとqの絶対値を増やすことで、いつでも任意に小さくすることができます。したがって、近似の精度は通常、この量を分母qの何らかの関数φ (通常はその負の累乗) と比較することで推定されます。${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$

このような比較では、精度の上限または下限が必要になる場合があります。下限は通常、「実数のサブセットのすべての要素αとすべての有理数p / qに対して、次の式が成り立つ」などの定理によって説明されます。場合によっては、「すべての有理数」が「有限の数を除くすべての有理数」に置き換えられることがあります。これは、φにαに依存する定数を掛けることに相当します。 ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)}$

上限については、収束関数によって提供される「最良の」ディオファントス近似のすべてが、望ましい精度を持つとは限らないことを考慮する必要があります。したがって、定理は「実数のサブセットのすべての要素αに対して、次のような有理数p / qが無限に存在する」という形をとります。 ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)}$

近似不可能な数とは、正の定数cが存在し、すべての有理数p / qに対して次式が成り立つような数xである。

${\displaystyle \left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .}$

近似しにくい数とは、まさに部分商が有界な数である。^[6]

同様に、ある数値が近似不可能なのは、そのマルコフ定数が有限であり、その単純連分数が有界である 場合のみです。

有理数は、すべての正の整数iに対して、 によって明らかに完全に近似できます。 ${\textstyle \alpha ={\frac {a}{b}}}$${\textstyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {i\,a}{i\,b}}}$

もし私たちが ${\textstyle {\frac {p}{q}}\not =\alpha ={\frac {a}{b}}\,,}$

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}},}$

は正の整数なので 1 より小さくはありません。したがって、近似値の精度は無理数に比べて悪くなります (次のセクションを参照) 。${\displaystyle |aq-bp|}$

前述の証明では、鳩の巣原理の変形、つまり 0 でない非負整数は 1 より小さくない、が使用されていることに注意する必要があります。この一見些細なことは、ディオファントス近似の下限値の証明のほとんどすべて、最も洗練されたものでも使用されています。

要約すると、有理数はそれ自身では完全に近似されますが、他の有理数では不完全に近似されます。

1840年代に、ジョセフ・リウヴィルは代数的数の近似に対する最初の下限値を得た。xが有理数上のn次の無理数的数であるとき、定数c ( x ) > 0が存在し、

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}}$

q > 0であるすべての整数pとqに対して成り立ちます。

この結果により、彼は超越数の最初の証明例であるリウヴィル定数を生み出すことができた。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots \,,}$

どの次数n を選択しても、リウヴィルの定理を満たしません。

ディオファントス近似と超越数論のつながりは今日まで続いています。証明手法の多くは、この 2 つの領域で共有されています。

1世紀以上にわたって、リウヴィルの定理を改良する多くの努力がなされてきました。定理の境界を改良するたびに、より多くの超越数が証明できるようになります。主な改良は、アクセル・トゥー （1909）、シーゲル （1921）、フリーマン・ダイソン （1947）、クラウス・ロス（1955）によるもので  、最終的にトゥー・シーゲル・ロスの定理につながりました。xが無理数代数的で、ε > 0である場合、正の実数c（x、ε）が存在し、

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}}$

q > 0となる任意の整数pとqに対して成り立ちます。

ある意味では、この結果は最適です。なぜなら、 ε = 0の場合、定理は偽となるからです。 これは、以下で説明する上限から直接導かれる結果です。

その後、ヴォルフガング・M・シュミットはこれを同時近似の場合に一般化し、次のことを証明した。x 1 _、 ...、x _nが代数的数で、1、x ₁、...、x _{n が}有理数に対して線形独立であり、εが任意の正の実数である場合、有理数n組（p ₁ / q、...、p _n / q）は有限個しか存在せず、

${\displaystyle \left|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.}$

繰り返しますが、この結果は指数から ε を削除できないという意味で最適です。

前述の下限はすべて有効ではありません。つまり、証明では、ステートメントで暗示されている定数を計算する方法がまったく提供されていないということです。つまり、結果やその証明を使用して、関連するディオファントス方程式の解のサイズの境界を取得することはできません。ただし、これらの手法と結果は、多くの場合、そのような方程式の解の数を制限するために使用できます。

しかしながら、フェルドマンによるベイカーの定理の改良は有効な境界を提供している。xが有理数上のn次の代数的数であるならば、 c ( x ) > 0および0 <  d ( x ) <  nという 効果的に計算可能な定数が存在し、

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)}}}}$

すべての有理数整数に当てはまります。

しかし、ベイカーの定理のすべての有効バージョンと同様に、定数dと 1/ c は非常に大きいため、この有効な結果は実際には使用できません。

ディオファントス近似の上限に関する最初の重要な結果はディリクレの近似定理であり、 これは任意の無理数αに対して、${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.}$

これは、Thue-Siegel-Roth の定理の記述において εを抑制することはできないことを直ちに意味します。

アドルフ・フルヴィッツ（1891）^[7]はこの 結果を補強し、あらゆる無理数αに対して、${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.}$

したがって、は任意の無理数のディオファントス近似の上限です。この結果の定数は、いくつかの無理数を除外しない限り、それ以上改善されない可能性があります (以下を参照)。 ${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}}$

エミール・ボレル（1903）^[8]は、実際には、任意の無理数αと、αの連続する3つの収束点が与えられた場合、少なくとも1つはフルヴィッツの定理で与えられた不等式を満たす必要があることを示した。

定義: 2つの実数が同値であるとは^{[9] [10]、}次の条件を満たす整数が存在する場合をいう: ${\displaystyle x,y}$${\displaystyle a,b,c,d\;}$${\displaystyle ad-bc=\pm 1\;}$

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.}$

したがって、同値性は、実数上の整数メビウス変換、または整数上の可逆な 2 × 2 行列の集合であるモジュラー群 のメンバーによって定義されます。各有理数は 0 に等しいため、有理数はこの関係の同値類です。 ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )}$

この同値性は、次のセレットの定理で示されるように、通常の連分数表現上で読み取ることができます。

定理：2つの無理数xとyが同値であるのは、2つの正の整数hとkが存在し、 xとyの通常の連分数表現が

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,\\y&=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,\end{aligned}}}$

満足する

${\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i}}$

任意の非負整数iに対して。^[11]

したがって、有限の初期シーケンスを除いて、同値な数は同じ連分数表現を持ちます。

同値の数は、同じマルコフ定数を持つという意味で、同じ程度に近似可能です。

上で述べたように、ボレルの定理の定数は、 1891年にアドルフ・フルヴィッツによって示されたように 、改善されない可能性がある。^{[12] を}黄金比と する。すると、任意の実数定数cに対して、有理数p / qは有限個しか存在せず、${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle c>{\sqrt {5}}\;}$

${\displaystyle \left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.}$

したがって、 と同値な数を除外した場合にのみ改善が達成できる。より正確には、 ^{[13] [14]}と同値でない すべての無理数 に対して、となる 分数が無限に存在する。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.}$

より多くの同値類を連続的に排除することで（次に と同値な数を除外する必要がある）、下限はさらに拡大することができる。このようにして生成される値はラグランジュ数であり、ラグランジュスペクトルの一部である。これらは数3に収束し、マルコフ数と関連している。^{[15] [16]}${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

が非増加である正の整数上の正の実数値関数（すなわち、正のシーケンス）であるとします。実数x（必ずしも代数的ではない）は、無限個の有理数 p / qが存在し、 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle q\psi (q)}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.}$

1926 年にアレクサンドル・ヒンチンは、級数が発散する場合、ほぼすべての実数 (ルベーグ測度の意味で)は-近似可能であり、級数が収束する場合、ほぼすべての実数は-近似不可能であることを証明しました。この定理とその関連を取り巻くアイデアの輪は、計量ディオファントス近似、またはディオファントス近似の計量理論(ディオファントス幾何学の高さの「計量」と混同しないでください)、または計量数論として知られています。 ${\textstyle \sum _{q}\psi (q)}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$

ダフィンとシェーファー（1941）は、ヒンチンの結果の一般化を証明し、一般的な、必ずしも減少しない数列に対するヒンチンの二分法の類似物に関する、現在ダフィン・シェーファー予想として知られているものを提起した。ベレスネビッチとヴェラーニ（2006）は、ダフィン・シェーファー予想のハウスドルフ測度類似物が、より弱い先験的である元のダフィン・シェーファー予想と同等であることを証明した。2019年7月、ディミトリス・コウクロプロスとジェームズ・メイナードは、予想の証明を発表した。^{[17] [18]}${\displaystyle \psi }$

ヒンチンの定理を適用できる関数の重要な例は、関数（c  > 1 は実数）です。この関数では、関連する級数が収束するため、ヒンチンの定理によれば、ほぼすべての点は-近似可能ではありません。したがって、 -近似可能な数の集合は、ルベーグ測度 0 の実数直線の部分集合を形成します。V . ジャルニクとAS ベシコヴィッチによるジャルニク-ベシコヴィッチの定理によれば、この集合のハウスドルフ次元は に等しいとされています。^[19]特に、いくつかについて -近似可能な数の集合（非常によく近似可能な数の集合として知られる）はハウスドルフ次元が 1 であるのに対し、すべてについて -近似可能な数の集合（リウヴィル数の集合として知られる）はハウスドルフ次元が 0 です。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi _{c}(q)=q^{-c}}$${\displaystyle \psi _{c}}$${\displaystyle \psi _{c}}$${\displaystyle 1/c}$${\displaystyle \psi _{c}}$${\displaystyle c>1}$${\displaystyle \psi _{c}}$${\displaystyle c>1}$

もう 1 つの重要な例は、関数 です。ここで、 は実数です。この関数では、関連する級数が発散するため、ヒンチンの定理によれば、ほとんどすべての数は-近似可能です。これは、そのようなすべての数は よく近似可能であるということと同じです。ここで、数は、悪く近似できない場合は よく近似可能と呼ばれます。したがって、ヤルニック-ベシコヴィッチの定理の適切な類似物は、悪く近似可能な数の集合のハウスドルフ次元に関するものである必要があります。実際、V. ヤルニックは、この集合のハウスドルフ次元が 1 に等しいことを証明しました。この結果は、 WM シュミットによって改善され、悪く近似可能な数の集合は非圧縮性 であることが示されました。つまり、 が双リプシッツ写像のシーケンスである場合、すべて悪く近似可能な数xの集合のハウスドルフ次元は 1 です。シュミットはヤルニクの定理を高次元に一般化したが、これはヤルニクの議論が連分数の装置に依存した本質的に 1 次元のものであったため、重要な成果であった。 ${\displaystyle \psi _{\varepsilon }(q)=\varepsilon q^{-1}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \psi _{\varepsilon }}$${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots }$

徹底的に発展してきたもう一つのテーマは、を法とする一様分布の理論です。実数列a ₁、a _{2 、... を取り、その}小数部 を考えます。つまり、より抽象的に、 内の列、つまり円 を考えます。円上の任意の区間Iについて、ある整数Nまでの区間に含まれる列の要素の割合を調べ、それをIが占める円周の割合と比較します。一様分布とは、極限において、N が増加するにつれて、区間上のヒットの割合が「期待される」値に近づくことを意味します。ヘルマン・ワイルは、これが列から形成される指数和の境界と同等であることを示す基本的な結果を証明しました。これは、ディオファントス近似の結果が、誤差項の境界において 解析的数論全体で発生する、指数和の一般的な問題と密接に関連していることを示しました。${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

一様分布に関連して、分布の不規則性というトピックがあり、これは組み合わせ的な性質を持っています。

Grotschel、Lovasz、Schrijverは、個々の実数と実数の集合の両方に対して、近似的に最良のディオファントス近似値を求めるアルゴリズムを説明しています。後者の問題は同時ディオファントス近似値と呼ばれます。^{[20] ：第5.2節}

ディオファントス近似には、リトルウッド予想や孤独なランナー予想など、単純に述べられた未解決の問題がまだ残っています。また、連分数展開において無制限の係数を持つ代数的数が存在するかどうかも不明です。

1990年に京都で開催された国際数学会議の全体講演で、グリゴリー・マルギュリスは、半単純リー群の部分群の作用の動的性質とエルゴード的性質を用いて数論的結果を証明できる、エルゴード理論に根ざした広範なプログラムを概説した。D. クラインボック、G. マルギュリスとその協力者たちの研究は、ディオファントス近似における古典的な問題に対するこの新しいアプローチの威力を実証した。その注目すべき成功の中には、数十年前のオッペンハイム予想のマルギュリスによる証明と、その後のダニとマルギュリス、エスキン–マルギュリス–モーゼスによる拡張、およびクラインボックとマルギュリスによる多様体上のディオファントス近似におけるベイカー予想とスプリンジュク予想の証明がある。この枠組みの中で、計量ディオファントス近似における アレクサンドル・ヒンチンの上記の結果のさまざまな一般化も得られています。

• ダベンポート・シュミットの定理
• ダフィン・シェーファー定理
• ハイルブロンセット
• 矛盾の少ないシーケンス

• ディオファントス近似: 歴史的調査 2012-02-14 にWayback Machineにアーカイブされました。Michel Waldschmidtによるディオファントス法入門コースより。
• 「ディオファントス近似」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]