初歩的な証明

数学において、初等証明とは、基本的な手法のみを用いる数学的証明のことである。より具体的には、数論において、複素解析を用いない証明を指す。かつては、素数定理のような特定の定理は、「より高度な」数学的定理や手法を用いなければ証明できないと考えられていた。しかし、時が経つにつれ、これらの定理の多くは、初等的な手法のみを用いて再証明されるようになった。

何が初等的であるかについては一般的に合意はないものの、この用語は数学用語としてよく使われる。初等的な証明は、必ずしも理解しやすいとか自明であるという意味で単純であるとは限らない。実際、初等的な証明の中には非常に複雑なものもあり、特に重要な命題が関係している場合はその傾向が顕著である。^{[ 1 ]}

初等的証明と非初等的証明の区別は、素数定理に関して特に重要視されてきた。この定理は、1896年にジャック・アダマールとシャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレ＝プッサンによって複素解析を用いて初めて証明された。^{[ 2 ]}その後、多くの数学者がこの定理の初等的証明を構築しようと試みたが、成功しなかった。GHハーディは強い懸念を表明し、結果の本質的な「深さ」が初等的証明を排除すると考えていた。

素数定理の初等的な証明は知られておらず、そもそも証明を期待するのが妥当かどうか疑問に思う人もいるだろう。この定理は、解析関数に関する定理、すなわちリーマンのゼータ関数がある直線上に根を持たないという定理とほぼ同等であることが分かっている。関数論に根本的に依存しないこのような定理の証明は、私には極めてありそうもない。数学の定理が特定の方法で証明できないと断言するのは軽率だが、一つだけはっきりしていることがある。私たちは理論の論理についてある種の見解を持っており、いくつかの定理は「奥深く」あり、他の定理は表面に近いと考えている。もし誰かが素数定理の初等的な証明を提示すれば、これらの見解が間違っていること、この分野が私たちが想定していたような形でまとまっていないこと、そして教科書を捨てて理論を書き直す時が来たことを示すことになるだろう。

しかし、1948年にアトレ・セルベルグは新しい方法を生み出し、彼とポール・エルデシュは素数定理の初等的な証明を見つけた。^{[ 3 ]}

ハーヴェイ・フリードマンは、「数学年報に掲載された定理のうち、その記述が有限な数学的対象のみを含むもの（つまり、論理学者が算術的命題と呼ぶもの）はすべて、初等算術で証明できる」と予想した。^{[ 4 ]}この予想で言及されている初等算術の形式は、整数算術と数学的帰納法に関する少数の公理によって形式化できる。例えば、この予想によれば、フェルマーの最終定理は初等的な証明を持つはずである。ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明は初等的ではない。しかし、反復指数関数の存在など、この理論では証明できない算術に関する他の単純な命題もある。