分布（数論）

代数学と数論において、超関数は有限集合の系上の積分に類似したアーベル群への関数であり、したがって一般化関数という意味での超関数の代数的類似物です。

超関数の元々の例は、名前のない関数φがQ / Z上で^[1]を満たすものとして現れる。

${\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}\phi \left(x+{\frac {r}{N}}\right)=\phi (Nx)\ .}$

このような分布は通常の分布と呼ばれます。^[2]また、岩澤理論のp進積分理論 でも現れます。^[3]

... → X _{n +1} → X _n → ...を自然数でインデックス付けされた全射を持つ有限集合の射影システムとし、 X をその射影極限とする。各X _{n に}離散位相を与え、 X がコンパクトになるようにする。φ = (φ _n ) をアーベル群V内の値を取り、射影システムと互換性のある X _n上の関数の族とする。

${\displaystyle w(m,n)\sum _{y\mapsto x}\phi (y)=\phi (x)}$

ある重み関数 wに対して、族 φ は射影システムX上の超関数になります。

X上の関数fは「局所的に定数」、またはX _nを介して因数分解される場合は「ステップ関数」です。ステップ関数のφに対する積分は次のように定義できます。

${\displaystyle \int f\,d\phi =\sum _{x\in X_{n}}f(x)\phi _{n}(x)\ .}$

この定義は、割り切れる順で順序付けられた正の整数でインデックス付けされた射影システムなど、より一般的な射影システムに拡張されます。重要な特殊なケースとして、割り切れる順で順序付けられた正の整数でインデックス付けされた射影システムZ / n ‌ Zを考えます。これを、極限Q / Zを持つシステム (1/ n ) Z / Zと同一視します。

Rのxについて、⟨ x ⟩は0 ≤ ⟨ x ⟩ < 1に正規化されたxの小数部を表し、{ x }は0 < { x } ≤ 1に正規化された小数部を表すものとします。

フルヴィッツゼータ関数の乗法定理

${\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }(n+a)^{-s}}$

分布関係を与える

${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa)\ .}$

したがって、与えられたsに対して、マップはQ / Z上の超関数になります。 ${\displaystyle t\mapsto \zeta (s,\{t\})}$

ベルヌーイ多項式 B _{n は}次のように定義される 。

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose nk}b_{k}x^{nk}\ ,}$

n ≥ 0、ここでb _kはベルヌーイ数であり、 生成関数は

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^ {n}}{n!}}\ .}$

これらは分配関係を満たす

${\displaystyle B_{k}(x)=n^{k-1}\sum _{a=0}^{n-1}b_{k}\left({\frac {x+a}{n}}\right)\ .}$

したがって地図

${\displaystyle \phi _{n}:{\frac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q} }$

定義

${\displaystyle \phi _{n}:x\mapsto n^{k-1}B_{k}(\langle x\rangle )}$

分布である。^[4]

円分単位は分配関係を満たす。aをpと素なQ / Zの元とし、g _aをexp(2πi a )−1と表記する。するとa ≠ 0に対して^[5]

${\displaystyle \prod _{pb=a}g_{b}=g_{a}\ .}$

あるアーベル群V内の値を持つZ上の分布を考慮し、可能な「普遍的な」または最も一般的な分布を探します。

h を体Fに値をとるQ / Z上の通常の分布とする。G ( N ) をZ / N ‌ Zの乗法群とし、G ( N )上の任意の関数fに対して、 fをG ( N )からゼロにすることで、fをZ / N ‌ Z上の関数に拡張する。群代数F [ G ( N )] の元を次のように定義する。

${\displaystyle g_{N}(r)={\frac {1}{|G(N)|}}\sum _{a\in G(N)}h\left({\left\langle {\frac {ra}{N}}\right\rangle }\right)\sigma _{a}^{-1}\ .}$

群代数は極限Xを持つ射影システムを形成します。すると関数g _{N は}Xに値を持つQ / Z上の分布、つまりhに関連付けられたスティッケルバーガー分布を形成します。

X上の超関数 φ の値群VがQ _p上有限な局所体K 、またはより一般的にはK上の有限次元 p進バナッハ空間W（付値 |·| ）内の値を取る特別な場合について考える。 |φ| がXのコンパクトな開集合上で有界であるとき、 φ を測度と呼ぶ。^[6] D をKの整数環とし、L をWの格子、つまりK ⊗ L = WとなるWの自由D部分加群と する。尺度を除けば、測度はLに値を持つとみなされることがある。

D をpと素な固定整数とし、システムZ / p ⁿ Dの極限Z _Dを考えます。固有値λ _pがpと素であるHecke演算子T ^pの任意の固有関数を考えます。Z _Dの測度を導出する手順について説明します。

pおよびDと素な整数Nを固定します。Fを、分母がNと互いに素である有理数上のすべての関数のD加群とします。Nを割り切れない任意の素数lに対して、ヘッケ演算子T _{l を}次のように 定義します。

${\displaystyle (T_{l}f)\left({\frac {a}{b}}\right)=f\left({\frac {la}{b}}\right)+\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {a+kb}{lb}}\right)-\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {k}{l}}\right)\ .}$

f をT _pの固有関数とし、固有値はDにおいてλ _pとする。二次方程式X ²  − λ _p X  +  p  = 0 の根は π ₁、 π ₂で、 π ₁は単位元、 π _{2 は}pで割り切れる。a 0  = 2、a ₁ = π ₁ +π ₂ =  λ _pと 数列を定義する_。

${\displaystyle a_{k+2}=\lambda _{p}a_{k+1}-pa_{k}\ ,}$

となることによって

${\displaystyle a_{k}=\pi _{1}^{k}+\pi _{2}^{k}\ .}$

• ダニエル・S・クバート;ラング、セルジュ(1981)。モジュラーユニット。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften。 Vol. 244.シュプリンガー・フェルラーグISBN 0-387-90517-0.ZBL0492.12002  。​
• ラング、セルジュ(1990)。円分体 I および II。数学の大学院テキスト。第121巻 (第 2 版) 。Springer Verlag。ISBN 3-540-96671-4.ZBL0704.11038  。​
• マズル、B. ;スウィナートン・ダイアー、P. (1974)。 「ヴェイユ曲線の算術」。数学の発明。25：1-61。土井：10.1007/BF01389997。Zbl  0281.14016。