超越数論

超越数論は、超越数（有理係数を持つ多項式方程式の解ではない数）を定性的および定量的に 研究する数論の分野です。

代数学の基本定理によれば、有理係数を持つ非定数多項式（または、分母を消去して整数係数を持つ多項式）がある場合、その多項式は複素数に根を持つことになります。つまり、有理係数を持つ任意の非定数多項式に対して、となる複素数が存在します。超越理論は、逆の質問に関係しています。複素数 が与えられたとき、となる有理係数の多項式は存在しますか。そのような多項式が存在しない場合、その数は超越数と呼ばれます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle P(\alpha )=0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle P}$${\displaystyle P(\alpha )=0?}$

より一般的には、この理論は数の代数的独立性を扱います。数集合 {α ₁ , α ₂ , …, α _n } は、 K体 上で代数的に独立しているとは、 Kに係数を持つn変数の非ゼロ多項式Pが存在せず、 P (α ₁ , α ₂ , …, α _n ) = 0となる場合を指します。したがって、与えられた数が超越数であるかどうかを調べることは、実際にはn  = 1 で体K が有理数体である場合の代数的独立性の特殊なケースです。

関連する概念として、指数や対数、代数演算など、数値の 閉形式表現が存在するかどうかというものがあります。「閉形式」にはさまざまな定義があり、閉形式に関する質問は、多くの場合、超越性に関する質問に還元できます。

代数的でないオブジェクトを指すのに超越的という用語が使われるようになったのは、ゴットフリート・ライプニッツが正弦関数が代数関数ではないことを証明した17世紀まで遡ります。^[1] 特定の数のクラスが超越的であるかどうかという問題は、1748年まで遡ります。 ^[2]この年、オイラーは、ある有理数cに対してbがb  =  a ^cという形式でない限り、有理数aとbに対して数log _a bは代数的ではないと主張しました。 ^[3]

オイラーの主張は20世紀まで証明されなかったが、彼の主張のほぼ100年後にジョゼフ・リウヴィルは代数的でない数の存在を証明することに成功した。これはそれまで確実に知られていなかったことである。^[4] 1840年代の彼のこの問題に関する最初の論文では、超越数を構成するために単純な連分数を使用する議論の概要が示されていた。その後、1850年代に、彼は数が代数的であるための必要条件、したがって数が超越数であるための十分条件を示した。 ^[5] この超越基準も必要であるほど強力ではなく、実際、数eが超越数であることを検出できなかった。しかし、彼の研究は、現在彼に敬意を表して リウヴィル数として知られる、より大きな超越数クラスを提供した。

リウヴィルの基準は、基本的に代数的数は有理数で十分に近似できないというものです。したがって、ある数が有理数で十分に近似できる場合、その数は超越数でなければなりません。リウヴィルの研究における「十分に近似できる」の正確な意味は、特定の指数に関係しています。彼は、αが次数d ≥ 2の代数的数であり 、εが0より大きい任意の数である場合、式

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}}$

は有限個の有理数p / qによってのみ満たされます。これを超越性の基準として使用することは簡単ではありません。なぜなら、任意のd ≥ 2に対して無限個の解p / qが存在するかどうかを確認する必要があるからです 。

20世紀には、アクセル・トゥー[ ^6] 、カール・シーゲル^[7]、クラウス・ロス^[8]らの研究により、リウヴィルの研究における指数がd  + εからd /2 + 1 + εに削減され、最終的には1955年に2 + εに削減されました。この結果はトゥー・シーゲル・ロスの定理として知られ、指数2 + εを2に置き換えると結果はもはや正しくなくなるため、一見すると最良の定理です。しかし、セルジュ・ラングはロスの結果の改良を予想し、特に右辺の分母のq ^2+εを に削減できると予想しました。 ${\displaystyle q^{2}(\log q)^{1+\epsilon }}$

ロスの研究は事実上、リウヴィルによって始められた研究に終止符を打ち、彼の定理によって数学者はシャンパーノウン定数など、さらに多くの数の超越性を証明できるようになりました。しかし、この定理はまだすべての超越数を検出できるほど強力ではなく、eやπを含む多くの有名な定数は、上記の意味ではあまりよく近似できないか、近似可能であることが知られていません。^[9]

幸いなことに、19 世紀にはeの代数的性質、ひいてはオイラーの恒等式を通して π の代数的性質を扱う他の方法が開拓されました。この研究は、いわゆる補助関数の使用を中心に行われました。これらは、検討中の点に通常多くの零点を持つ関数です。ここでの「多くの零点」は、多くの異なる零点、または 1 つの零点だけであっても高い多重度を持つ関数、あるいはすべて高い多重度を持つ多くの零点を意味します。 シャルル・エルミートは、 1873 年にの超越性を証明すべく、各自然数について関数を近似する補助関数を使用しました。 ^[10]彼の研究は、1880 年代にフェルディナント・フォン・リンデマン によって発展させられ^[11]、e ^{α が}非零代数数 α に対して超越的であることを証明しました。特に、eπiは代数的であるためπは超越的であることが証明され、^{したがって円}を二乗することが可能かどうかという古代の問題に否定的な答えが出た。 カール・ワイエルシュトラスは彼らの研究をさらに発展させ、最終的に1885年にリンデマン・ワイエルシュトラスの定理を証明した。 ^[12]${\displaystyle e^{kx}}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle e}$

1900年、ダヴィト・ヒルベルトは有名な問題集を出した。そのうちの7番目で、ヒルベルトの評価では最も難しい問題の一つは、aとbが代数的数で、aが0でも1でもなく、bが無理数であるときの、 a ^bの形式の数の超越性に関するものだった。1930年代にアレクサンダー・ゲルフォン^[13]とテオドール・シュナイダー^[14]は、ジーゲルの補題によって存在が認められた非明示的な補助関数を用いて、そのような数はすべて超越数であることを証明した。この結果、ゲルフォン・シュナイダーの定理は、 e ^πやゲルフォン・シュナイダー定数などの数の超越性を証明した。

この分野における次の大きな成果は1960年代にアラン・ベイカーがゲルフォンドが提起した対数線形形式に関する問題の解決に進展をもたらした時であった。ゲルフォンド自身は、量の非自明な下限値を見つけることに成功した。

${\displaystyle |\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|\,}$

ここで、4 つの未知数はすべて代数的であり、α は 0 でも 1 でもなく、β は無理数である。しかし、3 つ以上の対数の和について同様の下限を見つけることは、ゲルフォンドにはできなかった。ベイカーの定理の証明にはそのような下限が含まれており、その過程でガウスの類数問題を類数 1 に対して解決した。この研究は、ディオファントス方程式の解決に役立ったとして、ベイカーにフィールズ賞をもたらした。純粋に超越数論の観点から、ベイカーは、α ₁、...、α _nが代数的数であり、いずれも 0 でも 1 でもなく、β ₁、...、β _{n が}代数的数であり、1、β ₁、...、β _{n が}有理数に対して 線形独立である場合、数

${\displaystyle \alpha _{1}^{\beta _{1}}\alpha _{2}^{\beta _{2}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}}$

超越的である。^[15]

1870年代にゲオルク・カントールは集合論の発展に着手し、1874年に代数的数は自然数の集合と一対一に対応できること、したがって超越数の集合は無数でなければならないことを証明する論文を発表した。^[16] その後、1891年にカントールはより馴染みのある対角線論法を使って同じ結果を証明した。^[17] カントールの結果は純粋に存在論的であり、したがって単一の超越数を構成するのに使用できないとよく引用されるが、^{[18] [19]}前述の両論文の証明は超越数を構成する方法を示している。^[20]

カントールは超越数の豊富さを証明するために集合論を使用したが、最近の発展は超越数論における未解決の問題を証明するためにモデル理論を使用する試みである。その問題は、体の 超越度を決定することである。

${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}})}$

は有理数に対して線型独立な 複素数x ₁ , ..., x _nに対して成り立つ。Stephen Schanuel は、 その答えは少なくともnであると予想したが、証明は知られていない。しかし 2004 年にBoris Zilber は、モデル理論的手法を使用して、加算、乗算、累乗の演算を備えた複素数と非常によく似た動作をする構造を作成した論文を発表した。さらに、この抽象構造では Schanuel の予想が実際に成り立っている。[21] 残念ながら、この構造が実際に前述の演算を備えた複素数と同じであることはまだわかっていない。複素数と非常によく似た動作をするが Schanuel の予想が成り立た^ない 他の抽象構造が存在する可能性がある。Zilber は問題の構造がCであることを証明するいくつかの基準を提供したが、いわゆる強い指数閉包公理を証明することはできなかった。この公理の最も単純なケースはその後証明されましたが^[22]、この公理が完全な一般性で成り立つことを証明することが、この予想の証明を完了するために必要です。

数学のこの分野における典型的な問題は、与えられた数が超越数であるかどうかを判定することです。カントールは、基数論を用いて、代数的数は可算数しか存在せず、したがってほとんどすべての数が超越数であることを示しました。したがって、超越数は典型的なケースを表します。それでも、与えられた数が超越数である (または単に無理数である) ことを証明するのは非常に難しい場合があります。

このため、超越理論はより定量的なアプローチをとることが多い。したがって、特定の複素数 α が与えられた場合、α が代数的数にどれだけ近いかを問うことができる。たとえば、数 α が代数的であると仮定した場合、その数は非常に高い次数、または非常に大きな係数を持つ最小の多項式を持つ必要があることを示すことができるか? 最終的に、有限次数または係数のサイズが十分でないことを示すことができれば、その数は超越的である必要がある。数 α が超越的であるためには、整数係数を持つすべての非ゼロ多項式Pに対してP (α) ≠ 0 である必要があるため、この問題は、次の形式の下限値を見つけることでアプローチできる。

${\displaystyle |P(a)|>F(A,d)}$

ここで、右辺はPの係数の大きさの測度Aとその次数dに依存する正の関数であり、これらの下限はすべてのP ≠ 0 に適用されます。このような境界は超越測度と呼ばれます。

d = 1の場合は、 「古典的な」ディオファントス近似 であり、下限を求める。

${\displaystyle |ax+b|}$。

超越理論とディオファントス近似の方法には多くの共通点があります。どちらも補助関数の概念を使用します。

ゲルフォン・シュナイダーの定理は、 1900年から1950年にかけての超越理論における大きな進歩でした。1960年代には、代数的数の対数の線形形式に関するアラン・ベイカーの方法が超越理論を復活させ、数多くの古典的問題やディオファントス方程式に応用されました。

クルト・マーラーは1932年に超越数をS、T、Uという3つのクラスに分割した。^[23]これらのクラスの定義は、上記の リウヴィル数 の概念の拡張に基づいている。

リウヴィル数を定義する 1 つの方法は、与えられた実数 x が線形多項式 | qx  −  p | を正確に 0 にすることなく、それらをどれだけ小さくするかを考えることです。ここで、 p、q は整数であり、 | p |、| q | は正の整数 Hで制限されます。

これらの多項式が取る最小の非ゼロ絶対値を とし、次の値を取るものとします 。${\displaystyle m(x,1,H)}$

${\displaystyle \omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega (x,1,H).}$

ω( x , 1) は、実数 xの無理数の尺度と呼ばれることが多い。有理数の場合、 ω( x , 1) = 0 であり、無理実数の場合は少なくとも 1 である。リウヴィル数は、無理数の尺度が無限であると定義される。ロスの定理によれば、無理実代数は無理数の尺度が 1 である。

次に、複素数xにおける多項式の値を考えます。これらの多項式は整数係数を持ち、次数は最大でn、高さは最大でHです( n、Hは正の整数)。

を、そのような多項式が で取る最小の非ゼロ絶対値とし、 を取るものとします。 ${\displaystyle m(x,n,H)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega (x,n,H).}$

これが最小の正の整数 nに対して無限大であると仮定します。この場合の複素数x は、次数nの U 数と呼ばれます。

今、私たちは定義することができます

${\displaystyle \omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\,\omega (x,n).}$

ω( x ) は、 xの 超越性の尺度と呼ばれることがよくあります。 ω( x、n ) が有界である場合、 ω( x ) は有限であり、xはS 数と呼ばれます。 ω( x、n ) が有限だが有界でない場合、x はT 数と呼ばれます。x が 代数的であるためには、 ω( x ) = 0 である必要があります。

リウヴィル数は明らかにU数の部分集合である。 ウィリアム・ルヴェックは1953年に任意の次数のU数を構築した。^[24]リウヴィル数、つまりU数は無数集合である。それらは測度0の集合である。^[25]

T数もまた測度0の集合を構成する。^[26]その存在を示すのに約35年かかった。 1968年にヴォルフガング・M・シュミットは例が存在することを示した。しかし、ほぼすべての複素数はS数である。^[27]マーラーは指数関数がすべての非ゼロ代数的数をS数に送ることを証明した：^{[28] [29]}これはeがS数であることを示しており、 πの超越性の証明を与える。この数πはU数ではないことが知られている。^[30] 他の多くの超越数は未分類のままである。

2つの数x、y は、2つの不定数に整数係数を持つ非ゼロ多項式Pが存在し、 P ( x、  y ) = 0となる場合、代数的に従属していると呼ばれます。代数的に従属している2つの複素数は同じマーラー類に属するという強力な定理があります。^{[24] [31]これにより、リウヴィル数と}eまたは π の 和などの新しい超越数を構築できます。

記号 S はおそらくマーラーの師であるカール・ルートヴィヒ・ジーゲルの名前を表し、T と U はその次の 2 文字です。

1939年にユルジェン・コクスマは代数的数による近似に基づく別の分類法を提案した。^{[23] [32]}

複素数xを次数 ≤ n、高さ ≤  Hの代数数で 近似することを考えます。α をこの有限集合の代数数とし、| x − α| が最小の正の値を持つようにします 。ω*( x , H , n ) と ω*( x , n ) を次のように定義します。

${\displaystyle |x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.}$

${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega ^{*}(x,n,H).}$

最小の正の整数nに対してω*( x , n ) が無限大である場合、x はn次 U* 数と呼ばれます。

ω*( x , n )が有界であり0に収束しない場合、x はS*数と呼ばれる。

ω*( x , n )が0に収束する場合、数xはA*数と呼ばれます。

ω*( x , n )がすべて有限だが有界でない場合、x はT*数と呼ばれる。

コクスマの分類とマーラーの分類は、超越数を同じクラスに分けるという点で同等である。^[32] A *数は代数的数である。^[27]

させて

${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}.}$

λのn乗根（リウヴィル数）はn次のU数であることが示される。^[33]

この構成は、次数nの U 数の無数族を作成するように改良することができます。Zを、 λ の上の級数における 10 のその他すべての累乗からなる集合とします。Z のすべての部分集合の集合は無数です。λ の級数から Z のいずれかの部分集合を削除すると、無数に異なるリウヴィル数が作成され、そのn乗根は次数nの U 数になります。

数列{ω( x ,  n )}の最大値は型と呼ばれる。ほぼすべての実数は型1のS数であり、これは実S数に対して最小である。ほぼすべての複素数は型1/2のS数であり、これも最小である。ほぼすべての数の主張はマーラーによって予想され、1965年にウラジミール・スプリンジュクによって証明された。^[34]

ゲルフォン・シュナイダーの定理は、多数の数が超越数であることを証明しましたが、このクラスはまだ可算です。よく知られている多くの数学定数は、超越数であるかどうかはまだわかっておらず、場合によっては、有理数か無理数かさえわかっていません。部分的なリストは、こちらでご覧いただけます。

超越理論における大きな問題は、個々の要素が超越的であることを示すだけでなく、特定の数の集合が代数的に独立であることを示すことです。したがって、eとπが超越的であることはわかっていますが、 e  +  πが超越的であることや、この 2 つの他の組み合わせが超越的であることを意味するわけではありません ( e ^π、ゲルフォンドの定数は超越的であることがわかっています)。もう 1 つの大きな問題は、指数関数に関連しない数を扱うことです。超越理論の主な結果は、eと対数関数を中心に展開される傾向があり、これは、これら 2 つのオブジェクトで基本的な方法で表現できない数を扱うために、まったく新しい方法が必要になる傾向があることを意味します。

シャヌエルの予想は代数的独立性を扱うため、これらの問題の最初の問題をある程度解決し、e + πが超越的であることを確かに確認するだろう。しかし、それは依然として指数関数を中心に展開されるため、アペリーの定数やオイラー・マスケローニ定数などの数を必ずしも扱うわけではない。もう一つの極めて難しい未解決の問題は、いわゆる定数問題または恒等問題である。^[35]

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