保型形式

調和解析と数論において、保型形式とは、位相群 Gから複素数(または複素ベクトル空間)への、位相群の離散部分群の作用の下で不変である行儀の良い関数です。保型形式は、ユークリッド空間における周期関数の考え方を一般位相群に一般化したものです。 ${\displaystyle \Gamma \subset G}$

モジュラー形式は、離散部分群がモジュラー群またはその合同部分群の1つである、群SL(2, R )またはPSL(2, R )上で定義される正則保型形式です。この意味で、保型形式の理論はモジュラー形式の理論の拡張です。より一般的には、合同部分群の族全体を一度に処理する方法として、アデリックアプローチを使用できます。この観点から、代数群Gと代数数体Fに対する群G ( A _F ) 上の保型形式は、 G ( F )の下で不変であり、特定の滑らかさと成長条件を満たす、 G ( A _F )上の複素数値関数です。

ポアンカレは三角関数と楕円関数の一般化として保型形式を初めて発見した。ラングランズ予想を通じて、保型形式は現代の数論において重要な役割を果たしている。^[1]

数学では、複素解析多様体 に作用する群に対して保型因子の概念が生じます。群が複素解析多様体 に作用するとします。すると、 はから複素数 への正則関数の空間にも作用します。関数は、次が成り立つ場合、 保型形式と呼ばれます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(g\cdot x)=j_{g}(x)f(x)}$

ここで、 はどこでもゼロでない正則関数です。同様に、保型形式は、 の作用に対してその約数が不変である関数です。 ${\displaystyle j_{g}(x)}$${\displaystyle G}$

保型形式の保型性の因子は関数です。保型関数は、 が恒等関数 である保型形式です。${\displaystyle f}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$

保型形式は、3種類の条件に従う、 G上の関数F （ベクトル値の場合には、 ある固定された有限次元ベクトル空間V内の値を持つ）です。

1. 与えられた自己同型係数jに従って要素による平行移動で変換する。${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$
2. G上の特定のカシミール作用素の固有関数であること、および
3. 「中程度の成長」の漸近条件を満たす高さ関数。

これらのうち最初の条件により、 F は に対してF ( g ) とF ( γg )を関連付ける興味深い関数方程式を満たします。ベクトル値の場合、この指定には、成分に作用して成分を「ねじる」有限次元群表現ρ を含めることができます。カシミール演算子条件は、一部のラプラシアン^{[引用が必要]が}F を固有関数として持つことを規定しています。これにより、F が優れた解析特性を持つことが保証されますが、実際に複素解析関数であるかどうかは、特定のケースに依存します。3 番目の条件は、 G /Γ がコンパクトではなく、尖点を持つ場合を処理することです。 ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

この定式化には、Γ に対する自己同型因子 jの一般的な概念が必要であり、これは群コホモロジーの言語における1-コサイクルの一種です。j の値は複素数、または実際には複素正方行列であり、ベクトル値の自己同型形式の可能性に対応しています。自己同型因子に課されるコサイクル条件は、 jがヤコビ行列から導出されるときに連鎖律によって日常的にチェックできるものです。

類体理論を用いた、より直接的だが技術的に高度な定義では、保型形式とそれに対応する関数を、基礎となる大域体拡大へのガロア群の埋め込みとして構築します。この定式化では、保型形式は、アルティンの相互法則の下でイデル類群から写像する、ある種の有限不変量です。ここで、そのL 関数の解析構造により、さまざまな代数幾何学的特性を持つ一般化が可能になり、結果としてラングランズ プログラムが得られます。簡単に言えば、この一般的な観点からの保型形式は、最も抽象的な意味で数体の不変性を定量化する解析関数であり、したがってその基本構造の「原始性」を示しています。これにより、事実上あらゆる数値構造の不変構造を分析するための強力な数学的ツールが可能になります。

明示的な非抽象状態の保型形式の例を得ることは困難ですが、いくつかは直接解析的な性質を持っています。

-アーベル群としての特定の体拡大上のアイゼンシュタイン級数（典型的なモジュラー形式）。

-クラス体理論オブジェクトとしてのディリクレ L 関数の特定の一般化。

- 一般に、イデアル類群（またはイデアル）に対して不変であるガロア群上の関手としての任意の調和解析オブジェクト。

一般原理として、保型形式は抽象構造上の解析関数として考えることができ、その素イデアル （または抽象化された既約基本表現）の一般化された類似物に関して不変です。前述のように、保型関数は、保型構造上のゼータ関数類似物によって構築されたモジュラー形式（したがって楕円曲線）の一般化と見なすことができます。最も単純な意味では、保型形式は、対称性の特性により、一般リー群上で定義されたモジュラー形式です。したがって、簡単に言えば、構造のその主要な「形態」に関する不変性を解析する一般的な関数です。

この非常に一般的な設定が提案される前 (1960 年頃) には、モジュラー形式以外の保型形式の大幅な発展がすでに行われていた。 Γフックス群の場合は、1900 年より前にすでに注目されていた (下記参照)。ヒルベルト モジュラー形式(ヒルベルト-ブルーメンタール形式とも呼ばれる) はそのすぐ後に提案されたが、完全な理論の登場には長い時間がかかった。Gがシンプレクティック群であるジーゲル モジュラー形式は、モジュライ空間とシータ関数を考慮することで自然に生まれた。 戦後、複数の複素変数への関心が高まったことで、形式が実際に複素解析的である場合に保型形式の考え方を追求することが自然な流れとなった。 1960 年頃、特にイリヤ ピアテツキ-シャピロによって、そのような理論を作成するための多くの研究が行われた。 他の人によって適用されたセルバーグ トレース公式の理論は、理論のかなりの深さを示した。ロバート・ラングランズは、（一般的には、多くの特殊なケースが知られているが）リーマン・ロッホの定理が保型形式の次元の計算にどのように適用できるかを示した。これは、概念の妥当性に対する一種の事後チェックである。彼はまた、アイゼンシュタイン級数の一般理論を生み出した。これは、スペクトル理論の用語で言えば、この問題の「連続スペクトル」に相当するものであり、調査すべきはカスプ形式または離散部分である。数論の観点からは、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン以来、カスプ形式が問題の核心であると 認識されていた。

その後の「保型表現」という概念は、代数群 G をアデル代数群として扱う際に、大きな技術的価値があることが証明された。これは、上で紹介した保型形式の考え方を完全には含まない。アデル形式のアプローチは、合同部分群の族全体を一度に扱う方法である。 Gのアデル形式の商に対するL ²空間内では、保型表現は、無限素数に対する特定の包絡代数表現を伴う、p 進群の表現の無限テンソル積である表現である。重点の移行を表現する 1 つの方法は、ヘッケ演算子が、ここでは事実上カシミール演算子と同じレベルに置かれているということである。これは、関数解析の観点からは自然であるが^{[要出典] 、数論ではそれほど明白ではない。この概念は、}ラングランズ哲学の定式化の基本である。

1880年代にさかのぼる、数学におけるポアンカレの最初の発見の1つは、保型形式である。彼は数学者ラザルス・フックスにちなんで、それをフックス関数と名付けた。フックスは優れた教師として知られ、微分方程式と関数論を研究していたからである。ポアンカレは実際に、これらの関数の概念を博士論文の一部として発展させた。ポアンカレの定義によれば、保型関数とは、その領域で解析的であり、離散無限群の線形分数変換の下で不変である関数である。保型関数は、三角関数と楕円関数の両方を一般化する。

ポアンカレはフックス関数を発見した経緯を次のように説明しています。

15 日間、私は、後にフックス関数と呼ぶようになったような関数は存在しないことを証明しようと努力しました。当時の私は非常に無知で、毎日仕事机に座り、1 時間か 2 時間座って、さまざまな組み合わせを試しましたが、何の結果も得られませんでした。ある晩、いつもと違ってブラック コーヒーを飲んで眠れませんでした。アイデアが次々と浮かび、それらが衝突して、いわばペアがかみ合って安定した組み合わせになるのを感じました。翌朝までに、超幾何級数から得られるフックス関数のクラスが存在することを証明しました。あとは結果を書き出すだけで、それには数時間しかかかりませんでした。

• 保型因子
• 保型関数
• マースカスプ形式
• H. ジャケとロバート・ラングランズ著『 GL(2)上の保型形式』
• ヤコビ形式

• スティーブン・ゲルバート (1975)、「アデル群上の保型形式」、ISBN 9780608066042 
• この記事には、 Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの Jules Henri Poincaré の資料が組み込まれています。

• ウィキクォートにおける保型形式に関する引用
• ウィキメディア・コモンズの保型形式に関連するメディア