ランダウ素イデアル定理

代数的整数論において、素イデアル定理は素数定理の数体一般化である。これは、ノルムが最大でXである数体Kの素イデアルの数を数える漸近公式を与える。

ガウス整数について予想されることはすでに分かっている。4 n + 1の形の任意の素数pに対して、p はノルムpの 2 つのガウス素数の積として因数分解される。4 n + 3の形の素数は素数のままであり、ノルムp ²のガウス素数となる。したがって、次のように推定する。

${\displaystyle 2r(X)+r^{\prime }({\sqrt {X}})}$

ここで、rは等差数列4n + 1の素数を数え、r ′は等差数列4n+3の素数を数える。ディリクレの素数定理の定量的形式により、 r ( Y )とr ′( Y )はそれぞれ漸近的に

${\displaystyle {\frac {Y}{2\log Y}}.}$

したがって、2 r ( X )項が支配的であり、漸近的に

${\displaystyle {\frac {X}{\log X}}.}$

この一般的なパターンは一般に数体に対して成り立ち、素イデアル定理は素数のノルムのイデアルによって支配される。エドモンド・ランダウが1903年に証明したように、ノルムが最大でもXであるとき、同じ漸近式が成り立つ。

${\displaystyle {\frac {X}{\log X}}}$

常に成り立ちます。経験的にこれは、 Kのデデキントゼータ関数の対数微分が常にs = 1で留数 -1 を持つ単純な極を持つためです。

素数定理と同様に、対数積分関数を用いてより正確な推定値を与えることができる。ノルム≤Xの素イデアルの数は

${\displaystyle \mathrm {Li} (X)+O_{K}(X\exp(-c_{K}{\sqrt {\log(X)}})),\,}$

ここで、c _{K は}Kに依存する定数です。

• 抽象解析数論

• Alina Carmen Cojocaru、M. Ram Murty (2005 年 12 月 8 日)。ふるい法とその応用の紹介。ロンドン数学会学生テキスト。第 66 巻。ケンブリッジ大学出版局。pp. 35–38。ISBN 0-521-61275-6。
• エドマンド・ランダウ(1903)。 「Neuer Beweis des Primzahlsatzes および Beweis des Primidealsatzes」。数学アンナレン。56 (4): 645–670。土井：10.1007/BF01444310。S2CID  119669682。
• ヒュー・L・モンゴメリー、ロバート・C・ヴォーン（2007年）。乗法数論I.古典理論。ケンブリッジ高等数学論文集。第97巻。266～268頁。ISBN 978-0-521-84903-6。