テオドロスの螺旋

幾何学において、テオドロスの螺旋（平方根螺旋、ピタゴラス螺旋、ピタゴラスの螺旋とも呼ばれる）^[1]は、直角三角形を端から端まで並べた螺旋である。キュレネのテオドロスにちなんで名付けられた。

螺旋は、各辺の長さが単位である二等辺直角三角形から始まります。もう 1 つの直角三角形 (唯一の自動中位直角三角形) が形成されます。この三角形では、1 つの辺が前の直角三角形の斜辺(長さは2 の平方根) で、もう 1 つの辺の長さは 1 です。この 2 番目の直角三角形の斜辺の長さは3 の平方根です。このプロセスが繰り返されます。シーケンス内の 番目の三角形は、辺の長さがと 1、斜辺 である直角三角形です。たとえば、16 番目の三角形の辺の長さは、1、斜辺です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$${\displaystyle {\sqrt {n+1}}}$${\displaystyle 4={\sqrt {16}}}$${\displaystyle {\sqrt {17}}}$

テオドロスの著作はすべて失われているが、プラトンは対話篇『テアイテトス』の中でテオドロスを取り上げ、彼の著作について語っている。テオドロスは、3から17までの非平方整数の平方根はすべて無理数であることをテオドロスの螺旋によって証明したと推測されている。 ^[2]

プラトンは2の平方根の無理数をテオドロスに帰していない。なぜなら、それは彼以前によく知られていたからである。テオドロスとテアイテトスは有理数と無理数を異なるカテゴリーに分類した。^[3]

それぞれの三角形の斜辺は、対応する自然数の平方根を与えます。 ${\displaystyle h_{n}}$${\displaystyle h_{1}={\sqrt {2}}}$

テオドロスに師事したプラトンは、なぜテオドロスが で止まったのか疑問を呈した。その理由は、斜辺が図形と重ならない最後の三角形に属するためだと一般に考えられている。 ^[4]${\displaystyle {\sqrt {17}}}$${\displaystyle {\sqrt {17}}}$

1958年、ケイレブ・ウィリアムズは、螺旋をどこまで延長しても、2つの斜辺が一致することはないことを証明した。また、単位長さの辺を直線に延長した場合、その辺は全体の図形の他の頂点を通過することはない。^{[4] [5]}

テオドロスは、斜辺が の三角形で螺旋を止めました。螺旋を無限の三角形にまで延長すると、さらに多くの興味深い特性が見つかります。 ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$

が番目の三角形（または螺旋セグメント） の角度である場合、次の三角形の 角度の成長は次のようになります。^[1]${\displaystyle \varphi_{n}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.}$$${\displaystyle \varphi_{n}}$${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).}$$

最初の三角形の角度の合計は、番目の三角形の全角度と呼ばれます。これは、有界補正項を伴い、の平方根に比例して増加します。^[1] ただし、 ( OEIS : A105459 )。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \varphi (k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle c_{2}}$ $${\displaystyle \varphi \left(k\right)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)}$$$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots }$$

ある三角形における螺旋の半径の成長は ${\displaystyle n}$$${\displaystyle \Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.}$$

テオドロスの螺旋はアルキメデスの螺旋に近似している。^[1]アルキメデスの螺旋の2つの巻き線間の距離が数学的定数に等しいのと同様に、テオドロスの螺旋の回転数が無限大に近づくにつれて、2つの連続する巻き線間の距離は急速に に近づいていく。^[6] ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$

次の表は、円周率に近づく螺旋の連続的な巻き方を示しています。

図に示すように、5回目の巻き上げ後、距離は99.97%の精度で近似されます。^[1]${\displaystyle \pi }$

テオドロスの螺旋の離散点を滑らかな曲線で補間する方法という問題は、2001年にフィリップ・J・デイビスによって提案され、階乗関数の補間式としてのガンマ関数のオイラーの公式との類推によって答えられました。デイビスは関数^{[7]を発見し、これは彼の学生}リーダー^[8]とイゼルレス^[9] によってさらに研究されました。この関数は、関数方程式、 初期条件、および引数と係数の両方で単調性を満たす唯一の関数として公理的に特徴付けることができます。^[10] $${\displaystyle T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+i/{\sqrt {k}}}{1+i/{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )}$$ $${\displaystyle f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),}$$${\displaystyle f(0)=1,}$

デイヴィスのテオドロスの螺旋の連続形式の解析的延長は、原点から反対方向に伸びている。^[11]

図では、元の（離散的な）テオドロス螺旋のノードが小さな緑の円で示されています。青い円は、螺旋の反対方向に追加されたものです。図では、極半径の整数値を持つノードにのみ番号が付けられています。座標原点の破線の円は、における曲率円です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle r_{n}=\pm {\sqrt {|n|}}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$

• フェルマーの螺旋
• スパイラルの一覧

• デイビス、PJ（2001）、テオドロスからカオスへの螺旋、AKピーターズ/CRCプレス
• グロナウ、デトレフ（2004年3月）、「テオドロスの螺旋」、アメリカ数学月刊誌、111（3）：230-237、doi：10.2307/4145130、JSTOR  4145130
• Heuvers, J.; Moak, DS; Boursaw, B (2000)、「平方根螺旋の関数方程式」、TM Rassias (編)、『関数方程式と不等式』、pp. 111–117
• Waldvogel, Jörg (2009)、テオドロス螺旋の解析的継続(PDF)