アーベル定理とタウバー定理

数学において、アーベル定理とタウバー定理は、発散する級数を足し合わせる2つの方法が同一の結果を与えるための条件を与える定理であり、ニールス・ヘンリク・アーベルとアルフレッド・タウバーにちなんで名付けられました。元々の例としては、級数がある極限に収束する場合、そのアーベル和もその極限と同じになることを示すアーベルの定理や、級数のアーベル和が存在し、係数が十分に小さい (o(1/ n )) 場合、級数はアーベル和に収束することを示すタウバーの定理などがあります。より一般的なアーベル定理とタウバー定理は、より一般的な和の方法について同様の結果を与えます。

アーベル定理とタウバー定理の間には明確な区別がまだなく、これらの用語の意味についても一般に受け入れられている定義はありません。多くの場合、ある定理は、何らかの加算法が収束級数の通常の和を与えることを示している場合は「アーベル定理」と呼ばれ、通常の意味で加算可能であることを可能にする何らかの方法で加算可能な級数の条件を示している場合は「タウバー定理」と呼ばれます。

積分変換の理論では、アーベル定理は元の関数の性質に基づいて変換の漸近的な振る舞いを与えます。逆に、タウバー定理は変換の性質に基づいて元の関数の漸近的な振る舞いを与えますが、通常は元の関数に何らかの制限が必要です。^[1]

任意の加算法Lについて、そのアーベル定理は、 c = ( c _n )が収束するシーケンスで、極限が Cである場合、L ( c ) = C となるという結果です。^{[説明が必要]}

一例として、チェザロ法が挙げられます。この方法では、L は、 N が無限大に近づくにつれて、cの最初のN項の算術平均の極限として定義されます。 c がCに収束する場合、シーケンス ( d _N ) も収束することが証明できます。

${\displaystyle d_{N}={\frac {c_{1}+c_{2}+\cdots +c_{N}}{N}}.}$

それを確認するには、あらゆる場所でC を減算して、 C = 0 の場合に減らします。次に、シーケンスを最初のセグメントと小さな項の末尾に分割します。任意の ε > 0 が与えられた場合、N を十分に大きくして、 c _N平均までの項の最初のセグメントを最大でε /2 にすることができます。一方、末尾の各項は ε/2 で制限されるため、平均も必然的に制限されます。

この名前は、アーベルのべき級数に関する定理に由来しています。その場合、Lは（複素単位円内で考えられた）放射状極限であり、ここでrは項のべき級数において実軸に沿って下から極限1に向かうものとします。

アヌズン_​​^​

そしてz = r · e ^iθと設定します。この定理は、べき級数の収束半径がちょうど 1 である場合に主に興味深いものです。つまり、収束半径が 1 より大きい場合、べき級数の収束はrが[0,1] の範囲で一様であるため、和は自動的に連続し、 r が1 に近づくときの極限は単にa _nの和であることが直接的につながります。半径が 1 の場合、べき級数は | z | = 1 で何らかの特異点を持ちます。それでも、 a _nの和が存在する場合、それはr上の極限に等しいという主張です。したがって、これは抽象的な図にぴったり当てはまります。

アーベル定理の部分逆はタウバー定理と呼ばれる。アルフレッド・タウバー （1897）^[2]の元々の結果は、

_{1 /n} = o(1/ n )となる。

(リトルo記法を参照) かつ半径極限が存在する場合、 z = 1と設定して得られる級数は実際に収束します。これはジョン・エデンザー・リトルウッドによって強化され、O(1/ n )と仮定するだけで済みます。広範囲に一般化されたのがハーディ・リトルウッドのタウバー定理です。

したがって、抽象的な設定では、アーベル定理は、 Lの定義域に収束するシーケンスが含まれ、その値はLim関数の値に等しいことを述べています。タウバー定理は、ある成長条件下では、 Lの定義域はまさに収束するシーケンスであり、それ以上のものではないことを述べています。

Lを極限まで一般化された加重平均と考えると、正しい仮定の下ではタウバー定理により重み付けを放棄することができます。この種の結果は数論、特にディリクレ級数の取り扱いにおいて多くの応用があります。

タウバー定理の分野の発展は、ノーバート・ウィーナーの非常に一般的な結果、すなわちウィーナーのタウバー定理とその膨大な系によって新たな展開を迎えました。^{[3]中心定理は現在では}バナッハ代数の方法によって証明でき、以前の理論のすべてではありませんが、多くを含んでいます。

• ウィーナーのタウバー定理
• ハーディ・リトルウッドのタウバー定理
• ハールのタウバー定理

• 「タウバーの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ジェイコブ、コレヴァール (2004)。タウバー理論。発展の一世紀。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften。 Vol. 329.シュプリンガー・フェルラーグpp.16+483。土井：10.1007/978-3-662-10225-1。ISBN 978-3-540-21058-0. MR  2073637. Zbl  1056.40002.
• Montgomery, Hugh L. ; Vaughan, Robert C. (2007).乗法数論 I. 古典理論. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 第 97 巻. Cambridge: Cambridge University Press . pp. 147–167. ISBN 978-0-521-84903-6MR 2378655。Zbl 1142.11001  。 ​