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数学において、ディオファントス幾何学は、代数幾何学の強力な手法を用いてディオファントス方程式を研究する分野です。20世紀までに、代数幾何学の手法がこれらの方程式を研究するための理想的なツールであることが一部の数学者にとって明らかになりました。[1]ディオファントス幾何学は、より広い分野である数論幾何学の一部です。
ディオファントス幾何学における基本的な重要性を持つ4つの定理は以下の通りである。 [2]
背景
セルジュ・ラングは1962年にこの分野におけるディオファントス幾何学という本を出版し、この本によって「ディオファントス幾何学」という用語を生み出した。[1]ディオファントス方程式に関する資料の伝統的な配置は、モーデルのディオファントス方程式（1969年）のように、次数と変数の数によるものであった。モーデルの本は、 CFガウスに帰せられる有理体上の同次方程式f = 0に関する、非ゼロ有理解が存在するならば整数（原始格子点でさえ）に非ゼロ解が存在するという発言から始まり、パラメトリック解に関するLEディクソンの警告に言及している。 [3] 1890年のヒルベルト-フルヴィッツの結果、種数0の曲線のディオファントス幾何学を次数1と2（円錐曲線）に縮小する結果は、モーデルの予想と同様に第17章に記載されている。シーゲルの積分点に関する定理は第 28 章にあります。楕円曲線上の有理点群の有限生成に関するモーデルの定理は第 16 章にあり、モーデル曲線上の整数点については第 26 章にあります。
ラングの本に対する敵対的なレビューで、モーデルは次のように書いている。
近年、強力な新しい幾何学的アイデアと方法が開発され、それによって重要な新しい算術定理と関連する結果が発見され、証明されました。これらの中には、他の方法では証明しにくいものもあります。さらに、古い結果、その拡張、および証明を新しい幾何学的言語で表現する傾向があります。しかし、結果の完全な意味は、幾何学的な設定で最もよく説明されることがあります。ラングはこの本でこれらの側面を非常に念頭に置いており、幾何学的な表現の機会を逃していないようです。これが、彼のタイトル「ディオファントス幾何学」の理由です。[4]
ラングは、この本の内容は主にモーデル・ヴェイユの定理、トゥー・ジーゲル・ロスの定理、ジーゲルの定理のバージョンであり、ヒルベルトの既約定理とその応用（シーゲルのスタイル）を扱っていると指摘している。一般性の問題やまったく異なるスタイルを別にすれば、2 冊の本の主な数学的な違いは、ラングがアーベル多様体を使用し、ジーゲルの定理の証明を提示したのに対し、モーデルは証明が「非常に高度な性質のものである」と指摘している点である（263 ページ）。
当初は悪い報道があったにもかかわらず、ラングの構想は広く受け入れられ、2006年の賛辞ではこの本を「先見の明がある」と評されました。[5]アーベル多様体の算術と呼ばれることもあるより広い分野には、類体理論、複素乗算、局所ゼータ関数、L関数とともに、ディオファントス幾何学も含まれています。[6] ポール・ヴォイタは次のように書いています。
- 当時、この見解を共有していた人たち（例えば、ヴェイユ、テイト、セール）もいたが、モーデルのディオファントス幾何学のレビューが証明しているように、そうでない人たちがいたことは忘れられがちである。[7]
アプローチ
単一の方程式が超曲面を定義し、連立ディオファントス方程式からK上の一般代数多様体 Vが生じる。典型的な問題は、 K内の座標を持つV上の点の集合V ( K )の性質に関するものであり、高さ関数によって、これらの解の「大きさ」に関する定量的な問題や、点が存在するかどうか、存在する場合は無限数あるかどうかという定性的な問題が提起される可能性がある。幾何学的アプローチを考えると、同次方程式と同次座標の考慮は、射影幾何学が代数幾何学で支配的なアプローチであるのと同じ理由で、基本的である。したがって、有理数解が主な考慮事項であるが、無限遠に追加の点を持つ射影多様体内でアフィン多様体を考慮するのと同じように、積分解 (つまり、格子点) を扱うことができる。
ディオファントス幾何学の一般的なアプローチは、有理数上の種数g > 1の代数曲線Cには有限個の有理点しかないというファルティングスの定理( LJ モーデルの予想) によって説明されます。この種の最初の結果は、 g = 0の場合を扱ったヒルベルトとフルヴィッツの定理であった可能性があります。この理論は、定理と多くの予想および未解決の問題で構成されています。
参照
引用
- ^ ab Hindry & Silverman 2000、p. vii、序文。
- ^ Hindry & Silverman 2000、p. viii、序文。
- ^ モーデル1969年、1ページ。
- ^ 「Mordell : Review: Serge Lang、Diophantine 幾何学」。Projecteuclid.org。2007 年 7 月 4 日。2015年 10 月 7 日閲覧。
- ^ マーク・ヒンドリー。 「La géométrie diophantienne、selon Serge Lang」(PDF)。数学雑誌。2012 年 2 月 26 日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2015 年 10 月 7 日に取得。
- ^ 「代数多様体、算術」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
- ^ Jay Jorgenson、Steven G. Krantz。「The Mathematical Contributions of Serge Lang」（PDF）。Ams.org 。 2015年10月7日閲覧。
参考文献
- ベイカー、アラン、ヴュストホルツ、ギスバート（2007）。対数形式とディオファントス幾何学。新数学モノグラフ。第9巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-88268-2.ZBL1145.11004 。
- ボンビエリ、エンリコ、ギュブラー、ウォルター（2006）。『ディオファントス幾何学の高さ』新数学モノグラフ第4巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-71229-3.ZBL1115.11034 。
- Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000)。『ディオファントス幾何学入門』。『数学大学院テキスト』。第201巻。ISBN 0-387-98981-1.ZBL0948.11023 。
- ラング、セルジュ（1997）。『ディオファントス幾何学概論』Springer- Verlag。ISBN 3-540-61223-8.ZBL0869.11051 。
- モーデル、ルイス J. (1969)。ディオファントス方程式。アカデミック プレス。ISBN 978-0125062503。
- 「ディオファントス幾何学」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
外部リンク
- ラングによるモーデルのディオファントス方程式のレビュー
- モーデルによるラングの『ディオファントス幾何学』のレビュー