数字を表わす

図形数という用語は、さまざまな数の集合のメンバーを表すためにさまざまな著者によって使用され、三角数からさまざまな形（多角形数）やさまざまな次元（多面体数）まで一般化されています。この用語は、

多角数
$r$ 次元の球体の離散的な $r$ 次元の規則的な幾何学パターンとして表される数。例えば、多角形数 ( $r$ $= 2$ の場合) や多面体数( $r$ $= 3$ の場合) など。
上記の集合のうち、三角数、錐体数、およびそれらの他の次元における類似数のみを含む部分集合のメンバー。^[1]

用語

いくつかの種類の図形数は、16世紀と17世紀に「図形数」という名前で議論されました。^[2]

ギリシャ数学に関する歴史的著作では、数字という用語が好んで使われていた。^[3]^[4]

ヤコブ・ベルヌーイの『予想の技術^』[1]に遡る用法では、図形数という用語は、連続する整数で構成される三角数、連続する三角数で構成される四面体数などに使用されます。これらは二項係数であることがわかります。この用法では、平方数（4、9、16、25、...）は、正方形に配置されていると見なされる場合、図形数とは見なされません。

他の多くの文献では、図形数という用語を多角形数と同義語として使っています。多角形数とは、通常の数だけを指す場合もあれば、図形数と中心多角形数の両方を指す場合もあります。^[5]

歴史

形而上数の数学的研究はピタゴラスに始まったと言われており、おそらくバビロニアやエジプトの先駆者に基づいている。ピタゴラス学派が日時計を使って研究した形而上数のどのクラスを生成したのもピタゴラスによるものとされている。残念ながら、これらの主張を裏付ける信頼できる情報源はない。なぜなら、ピタゴラス学派に関する現存する文献はすべて^[6]何世紀も後のものであるからである。^[7] スペウシッポスは、4番目の三角数である10が実はテトラクティスであり、ピタゴラス学派にとって非常に重要であると考えられていたという見解を明らかにした最古の情報源である。^[8]形而上数はピタゴラスの世界観の関心事であった。数によっては多くの形而上性を持つことがよく理解されていた。例えば、36は正方形でも三角形でもあり、またさまざまな長方形でもある。

図形数に関する現代の研究は、ピエール・ド・フェルマー、特にフェルマーの多角数定理に遡ります。後に、図形数はオイラーにとって重要なテーマとなり、オイラーは図形数に関する他の多くの発見の中でも、完全な平方数でもあるすべての三角数の明示的な公式を与えました。

図形数は現代の娯楽数学において重要な役割を果たしてきました。^{[9]研究数学では、図形数は}エールハルト多項式、つまり多角形や多面体を与えられた係数で拡大したときにその中の整数点の数を数える多項式によって研究されます。 ^[10]

三角数と高次元における類似数

$n$ $= 1, 2, 3, ...$ の三角数は、 $n$ $= 1, 2, 3, ...$ の線形数 (線形グノモン) を並べた結果です。

これらは二項係数です。これは、 $r$ $\geq 0$ のパスカルの三角形の $r$ 番目の対角線が三角形の $r$ 次元類似体 ( $r$ 次元単体)の図形数で構成されるという事実の $r$ $= 2$ の場合です。 $\textstyle {\binom {n+1}{2}}$

$r = 1、2、3、4、...$ の単体多面体数は次のとおりです。

$P_{1}(n)={\frac {n}{1}}={\binom {n+0}{1}}={\binom {n}{1}}$ （線形数）、
$P_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}={\binom {n+1}{2}}$ （三角数）、
$P_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\binom {n+2}{3}}$ （四面体数）、
$P_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={\binom {n+3}{4}}$ （五元数、五元数、4元単体数）、

$\qquad \vdots$

$P_{r}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)\cdots (n+r-1)}{r!}}={\binom {n+(r-1)}{r}}$ ( $r$ -トピック番号、 $r$ -単体番号)。

平方数と立方数という用語は、正方形または立方体として幾何学的に表現されることに由来します。2 つの正の三角数の差は台形数です。

グノモン

グノモンは、数字に追加して、それを次の大きな数字に変換する部品です。

たとえば、平方数のグノモンは奇数で、一般形は $2 n + 1$ 、 $n = 0、1、2、3、...$ です。グノモンで構成されたサイズ 8 の正方形は次のようになります。

{\begin{matrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\2&2&3&4&5&6&7&8\\3&3&3&4&5&6&7&8\\4&4&4&4&5&6&7&8\\5&5&5&5&5&6&7&8\\6&6&6&6&6&6&6&7&8\\7&7&7&7&7&7&7&7&8\\8&8&8&8&8&8&8\end{matrix}}

$n$ 正方形（サイズ $n$ の正方形）を $(n + 1)$ 正方形に変換するには、 $2 つの n + 1$ 要素を追加します。つまり、各行の末尾に 1 つ（ $n$ 要素）、各列の末尾に 1 つ（ $n$ 要素）、角に 1 つ追加します。たとえば、7 正方形を 8 正方形に変換する場合は、15 個の要素を追加します。これらの追加は、上の図の 8 です。

この数理技術は、最初の $n$ 個の奇数の合計が $n$ $2$ であることの数学的証明も提供します。図は、1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8 ²を示しています。

中央に六角形の数字があり、それを足すと各整数の立方体が形成される、同様のグノモンがあります。

注記

^ ab ディクソン、LE (1919)。数論の歴史。第2巻。p. 3。ISBN 978-0-8284-0086-2. 2021年8月15日閲覧。
^ Simpson, JA; Weiner, ESC 編 (1992)。「図式的数」。コンパクトオックスフォード英語辞典(第 2 版)。オックスフォード、イギリス: Clarendon Press。p. 587。
^ ヒース、サー・トーマス（1921年）。ギリシャ数学の歴史。第1巻。オックスフォード、クラレンドン・プレス。
^ マジアーズ、エドワード A.; グリーンウッド、トーマス (1968)。ギリシャの数学的哲学。バーンズ＆ノーブルブックス。ISBN 978-1-56619-954-4。
^ 「数字を図形化する」。Mathigon . 2021年8月15日閲覧。
^ テイラー、トーマス (2006)。ピタゴラス学派の理論的算術。プロメテウス・トラスト。ISBN 978-1-898910-29-9。
^ Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991).数学の歴史（第2版）。p. 48。
^ ズムド、レオニード（2019）：数象徴主義から算術学へ。L.シメルプフェニグ（編）：宗教教育における数と文字のシステム。テュービンゲン：セラフィム、2019年、p.25-45
^ クライチック、モーリス (2006)。数学レクリエーション（第2改訂版）。ドーバーブックス。ISBN 978-0-486-45358-3。
^ Beck, M.; De Loera, JA ; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, RP (2005). 「Ehrhart 多項式の係数と根」。多面体の整数点 - 幾何学、数論、代数、最適化。Contemp. Math. Vol. 374。プロビデンス、ロードアイランド州: Amer. Math. Soc. pp. 15–36。MR 2134759 。

参考文献

ガザレ、ミドハット J. (1999)、「グノモン: ファラオからフラクタルまで」、ヨーロッパ物理学ジャーナル、20 (6)、プリンストン大学出版局: 523、Bibcode :1999EJPh...20..523G、doi :10.1088/0143-0807/20/6/501、ISBN 978-0-691-00514-0
デザ、エレナ、デザ、ミシェル・マリー（2012）、Figurate Numbers、初版、World Scientific、ISBN 978-981-4355-48-3
ヒース、トーマス・リトル（2000年）『ギリシャ数学の歴史：第1巻。タレスからユークリッドまで』アダマントメディアコーポレーション、ISBN 978-0-543-97448-8
Heath、Thomas Little (2000)、ギリシャ数学の歴史: 第 2 巻、アリスタルコスからディオファントスまで、アダマントメディアコーポレーション、ISBN 978-0-543-96877-7
ディクソン、レナード・ユージン（1923）『数論の歴史』、チェルシー出版、ASIN B000OKO3TK
ボイヤー、カール B.; メルツバッハ、ウタ C.、『数学の歴史』（第 2 版）

[Dickson-1] ディクソン、LE (1919)。数論の歴史。第2巻。p. 3。ISBN 978-0-8284-0086-2. 2021年8月15日閲覧。

[2] Simpson, JA; Weiner, ESC 編 (1992)。「図式的数」。コンパクトオックスフォード英語辞典(第 2 版)。オックスフォード、イギリス: Clarendon Press。p. 587。

[3] ヒース、サー・トーマス（1921年）。ギリシャ数学の歴史。第1巻。オックスフォード、クラレンドン・プレス。

[4] マジアーズ、エドワード A.; グリーンウッド、トーマス (1968)。ギリシャの数学的哲学。バーンズ＆ノーブルブックス。ISBN 978-1-56619-954-4。

[5] 「数字を図形化する」。Mathigon . 2021年8月15日閲覧。

[6] テイラー、トーマス (2006)。ピタゴラス学派の理論的算術。プロメテウス・トラスト。ISBN 978-1-898910-29-9。

[7] Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991).数学の歴史（第2版）。p. 48。

[8] ズムド、レオニード（2019）：数象徴主義から算術学へ。L.シメルプフェニグ（編）：宗教教育における数と文字のシステム。テュービンゲン：セラフィム、2019年、p.25-45

[9] クライチック、モーリス (2006)。数学レクリエーション（第2改訂版）。ドーバーブックス。ISBN 978-0-486-45358-3。

[10] Beck, M.; De Loera, JA ; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, RP (2005). 「Ehrhart 多項式の係数と根」。多面体の整数点 - 幾何学、数論、代数、最適化。Contemp. Math. Vol. 374。プロビデンス、ロードアイランド州: Amer. Math. Soc. pp. 15–36。MR 2134759 。