五角数

五角数は、三角形数と正方形数の概念を五角形に拡張した図形数ですが、最初の 2 つとは異なり、五角数の構成に関わるパターンは回転対称ではありません。n番目の五角数p _nは、1 つの頂点を共有するように五角形を重ね合わせたときの、辺の長さが n 個までの正五角形の輪郭で構成される点のパターン内の異なる点の数です。たとえば、3 番目は 1、5、10 個の点で構成される輪郭から形成されますが、1 番目と 5 個のうち 3 番目が 10 個のうち 3 番目と一致するため、12 個の異なる点が残ります。10 個は五角形の形で、2 個は内部にあります。

p _nは、次の式で与えられます。

${\displaystyle p_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}={\binom {n}{1}}+3{\binom {n}{2}}}$

n ≥ 1の場合。最初のいくつかの五角数は次のとおりです。

1、5、12、22、35、51、70、92、117、145、176、210、247、287、330、376、425、477、532、590、651、715、782、852、925、1001、1080、1162、1247、1335、1426、1520、1617、1717、1820、1926、2035、2147、2262、2380、2501、2625、2752、2882、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​3015、3151、3290、3432、3577、3725、3876、4030、4187... （ OEISのシーケンスA000326）。

n番目の五角数は、nから始まるn個の整数（つまりnから2n-1まで）の合計です。以下の関係も成り立ちます。

${\displaystyle p_{n}=p_{n-1}+3n-2=2p_{n-1}-p_{n-2}+3}$

五角数は三角数と密接な関係があります。n番目の五角数は( 3n − 1)番目の三角数の 3 分の 1 です。さらに、Tn_はn番目の三角数です。

${\displaystyle p_{n}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}}$

一般化された五角数は上記の式から得られますが、nは0、1、-1、2、-2、3、-3、4... の順に値を取り、次の数列を生成します。

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080、1107、1162、1190、1247、1276、1335... （ OEISのシーケンスA001318）。

一般化された五角数は、オイラーの五角数定理に示されているように、オイラーの整数分割理論にとって重要である。

五角数を形成するパターンの最も外側の五角形の内側にある点の数は、それ自体が一般化された五角数である。

• ${\displaystyle p_{n}}$n>0 の場合、は異なる構成の数です${\displaystyle n+8}$2または3を含まないn個の部分に分割する。
• ${\displaystyle p_{n}}$は、3 を法として 1 に合同な最初の n 個の自然数の和です。
• ${\displaystyle p_{8n}-p_{8n-1}=p_{2n+2}-p_{2n-2}}$

一般化五角数は中心六角数と密接な関係にある。中心六角数に対応する配列を中央の行と隣接する行で分割すると、2つの一般化五角数の和として現れ、大きい方の部分が真の五角数となる。

一般的に：

${\displaystyle 3n(n-1)+1={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)+{\tfrac {1}{2}}(1-n){\bigl (}3(1-n)-1{\bigr )}}$

ここで、右辺の2つの項は一般化五角数であり、最初の項は真の五角数（n ≥ 1）です。中心六角形配列のこの分割により、台形配列としての一般化五角数が得られ、これは分割のフェラーズ図として解釈できます。このようにして、上記の五角数定理を証明するために使用できます。

五角数の ​​逆数の和の公式は次のように表される。$$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n\left(3n-1\right)}}=3\ln \left(3\right)-{\frac {\pi }{\sqrt {3}}}.}$$

正の整数xが与えられたとき、それが（一般化されていない）五角数であるかどうかをテストするには、次のように計算できます。

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.}$

数xが五角数であるのは、 nが自然数である場合に限る。この場合、xはn番目の五角数である。

一般化された五角数については、 24x + 1が平方数であるかどうかを確認するだけで十分です。

非一般化五角数については、完全平方数テストに加えて、

$\displaystyle {\sqrt {24x+1}}\equiv 5\mod 6}$

五角数の​​数学的性質により、これらのテストは数の五角性を証明または反証するのに十分であることが保証されます。^{[ 1 ]}

n番目の五角数のグノモンは次のとおりです。

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=3n+1}$

平方五角数とは、完全平方数でもある五角数のことである。^{[ 2 ]}

最初の数個は以下のとおりです。

0、1、9801、94109401、903638458801、8676736387298001、83314021887196947001、799981229484128697805801、7681419682192581869134354401、73756990988431941623299373152801... ( OEISエントリA036353 )

数論において、五角平方三角数とは、五角数、平方数、三角数という性質を同時に持つ正の整数である。これには、以下のディオファントス方程式系を解く必要がある。

${\displaystyle P_{n}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{m}={\frac {m(m+1)}{2}}=k^{2}}$

どこ${\displaystyle P_{n}}$は${\displaystyle n}$第 1 番目の五角数、${\displaystyle T_{m}}$は${\displaystyle m}$番目の三角数、$\displaystyle k^{2}}$平方数です。

この問題の解決策は、五角形の三角数を平方数と比較することによって見つけることができます。自明な解決策である 1 を除いて、最初の 9,690 個の五角形の三角数を計算によって調べたところ、他の平方数は見つかりませんでした。これは、この限界より小さい他の五角形の平方三角数は存在しないことを示唆しています。^{[ 3 ]}

正式な証明はまだ出版されていないが、J. Sillcox は 2003 年と 2006 年にかけて、WS Anglin の 1996 年の論文における連立ペル方程式の結果をこの問題に適用した。Anglin は、連立ペル方程式には正確に 19,900 個の解があり、${\displaystyle x,y<10^{20000}}$^{[ 4 ]}シルコックスは、五角形の正方形三角数問題は次の方程式を解くことに帰着できることを示した。

${\displaystyle x^{2}-6y^{2}=-5}$

これにより、この問題はアングリンの証明の範囲内に収まる。${\displaystyle x=1}$そして${\displaystyle y=1}$自明な解のみが存在する。^{[ 3 ] [ 4 ]}

• 六角数
• 三角数

• レオンハルト・オイラー：五角数の驚くべき性質について