多角数

数学において、多角形数（たかがみがく、英: polygonal number）とは、正多角形^[1]の形状に配列された点の数である^。2-3 。これらは2次元図形数の一種である。

多角形数は紀元前6世紀に古代ギリシャ人によって初めて研究され、長方形、三角形、正方形の数の性質を調査し議論しました^{[1] : 1}。

たとえば、数字 10 は三角形に配置できます(三角数を参照)。

しかし、10 は正方形に並べることはできません。一方、9 は正方形に並べることができます (平方数を参照)。

36 のようないくつかの数字は、正方形と三角形の両方として配置できます (正方形と三角形の数字を参照)。

慣例により、1 は任意の辺の数の多角形の最初の数字です。多角形を次のサイズに拡大するための規則は、隣接する 2 つの腕を 1 点延長し、それらの点の間に必要な追加の辺を追加することです。次の図では、各追加レイヤーは赤で示されています。

三角数列は、一連または連続して並べられた正三角形の形で数字を表したものです。これらの数字は、1、3、6、10、15、21、28、36、45 などの順序になります。

五角形や六角形など、辺の数が多い多角形もこの規則に従って作成できますが、点は上記のように完全に規則的な格子を形成しなくなります。

多角形の辺の数をsとすると、 n次のs角数P ( s , n )の式は次のようになる。

${\displaystyle P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}}$

または

${\displaystyle P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n}$

n次の角数は三角数Tn_と次のように関係している: ^[2]

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.}$

したがって：

${\displaystyle {\begin{aligned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,,\\P(s+k,n)-P(s,n)&=kT_{n-1}=k{\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{aligned}}}$

与えられたs角数P ( s , n ) = xに対して、 nは次のように 求められる。

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}}$

そして、sは次のようにし て見つけることができる。

${\displaystyle s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {xn}{n-1}}}$。

上記の式を適用すると、

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n}$

6辺の場合は次のようになります。

${\displaystyle P(6,n)=4T_{n-1}+n}$

しかし、

${\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}$

結果は次のようになります。

${\displaystyle P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}}$

これは、 n番目の六角数P (6, n )が(2 n − 1)番目の三角数T _{2 n −1}でもあることを示しています。奇数番目の三角数を取るだけで、すべての六角数を求めることができます。^[2]

1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、...​​​​​​​​​

「逆数の和」の列の最初の6つの値は、三角数から八角数まで、一般問題に対する公開された解から得られ、これはまた、二ガンマ関数の観点から、任意の数の辺に対する一般的な公式も与えます。^[3]

整数シーケンスのオンライン百科事典では、ギリシャ語の接頭辞 (例: 「八角形」) を使用する用語を避け、数字 (つまり、「8 角形」) を使用する用語を採用しています。

この表のプロパティは、次の恒等式で表現できます (A086270 を参照)。

${\displaystyle 2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(sk,n),}$

と

${\displaystyle k=0,1,2,3,...,s-3.}$

36 のように正方形と三角形の両方の形をとる数の中には、2 つの多角形集合に当てはまるものがあります。このような集合が 2 つある場合に、両方に属するすべての数を決定する問題は、問題をペル方程式に簡略化することで解決できます。最も単純な例は、正方形と三角形の数の列です。

次の表は、 sとtの値が小さい場合のs角形t角形の集合をまとめたものです。

s = 10およびt = 4などの場合には、両方のセットに 1 以外の数字が存在しません。

3つの多角形集合に属する数を見つける問題はさらに困難です。コンピュータによる五角形、正方形、三角数の検索では、1という単純な値しか得られませんでしたが、他にそのような数が存在しないという証明はまだ見つかっていません。^[5]

1225という数字は、六十四四方形 ( s = 124 )、六十角形 ( s = 60 )、二十角形 ( s = 29 )、六角形、正方形、三角形です。

• 中心多角形数
• 多面体数
• フェルマーの多角数定理

• ペンギンの不思議で興味深い数字辞典、デイビッド・ウェルズ（ペンギンブックス、1997年）[ ISBN 0-14-026149-4 ]。 
• PlanetMath の多角形数
• Weisstein、Eric W.「多角形数」。MathWorld。
• F. タプソン (1999)。オックスフォード数学学習辞典(第 2 版)。オックスフォード大学出版局。pp. 88–89。ISBN 0-19-914-567-9。

• 「多角数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 多角形数: 2<=s<=337 の 1 から 1000 までのすべての s 多角形数をクリック可能
• YouTubeの Ulam Spiral グリッド上の多角形数
• 多角形の数を数える関数: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853