加法数論

加法数論は、整数の部分集合とその加法における振る舞いを研究する数論の分野である。より抽象的に言えば、加法数論の分野には、加法演算を持つアーベル群と可換半群の研究が含まれる。加法数論は、組合せ数論や数の幾何学と密接な関係がある。主な研究対象には、アーベル群Gの要素の2 つの部分集合AとBの和集合が含まれる。

${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\},}$

そしてAのh重和集合、

${\displaystyle hA={\underset {h}{\underbrace {A+\cdots +A} }}\,.}$

この分野は主に（典型的には）整数に関する直接的な問題、すなわちAの構造からhAの構造を決定することに専念しています。例えば、Aが固定された部分集合である場合、hAからどの要素が和として表せるかを決定することです。^{[ 1 ]}この種の古典的な問題として、ゴールドバッハ予想（素数の集合ℙに対して2 ℙ が2 より大きいすべての偶数を含むという予想）とワーリングの問題（ hA _{k が}すべての正の整数を含むことを保証するにはh がどれくらい大きくなければならないかを問う問題）があります。

${\displaystyle A_{k}=\{0^{k},1^{k},2^{k},3^{k},\ldots \}}$

はk乗の集合です。これらの問題の多くは、ハーディ・リトルウッド円法や篩法のツールを使って研究されています。たとえば、ヴィノグラドフは、十分に大きな奇数はすべて 3 つの素数の和であり、したがって十分に大きな偶数はすべて 4 つの素数の和であることを証明しました。 ヒルベルトは、すべての整数k > 1に対して、すべての非負整数は、有界数のk乗の和であることを証明しました。一般に、非負整数の集合Aは、 hA がすべての正の整数を含む場合、位数hの基底と呼ばれ、 hA がすべての十分に大きな整数を含む場合、漸近基底と呼ばれます。この分野の現在の研究の多くは、有限位数の一般的な漸近基底の性質に関するものです。たとえば、集合Aは、 Aが位数hの漸近基底であるが、 Aのどの真部分集合も位数hの漸近基底ではない場合、位数hの最小漸近基底と呼ばれます。すべてのhに対して次数hの最小漸近基底が存在すること、また次数 h の最小漸近基底を含まない次数 h の漸近基底も存在することが証明されている。検討すべきもう 1 つの問題は、漸近基底におけるn をh個の要素の和として表す表現の数がどれだけ小さくなり得るかということである。これが加法基底に関するエルデシュ・トゥラン予想の内容である。

• シャプレー・フォークマン補題
• 加法組み合わせ論
• 乗法組み合わせ論
• 乗法数論

• ヘンリー・マン（1976）。加法定理：群論と数論の加法定理（1965年ワイリー版の訂正復刻版 ）。ニューヨーク州ハンティントン：ロバート・E・クリーガー出版。ISBN 0-88275-418-1。
• ナサンソン、メルビン・B. (1996).加法数論：古典的基礎.大学院数学テキスト. 第 164巻.シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 0-387-94656-X. Zbl 0859.11002 . 
• ナサンソン、メルビン・B. (1996).加法数論：逆問題と和集合の幾何学.大学院数学テキスト. 第 165巻.シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003 . 
• Tao, Terence ; Vu, Van (2006).加法的組合せ論. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol.  105. Cambridge University Press .

• 「加法数論」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ワイススタイン、エリック・W. 「加法数論」 . MathWorld .