キュレネのテオドロス

キュレネのテオドロス（ギリシャ語：Θεόδωρος ὁ Κυρηναῖος、訳： Theódōros ho Kyrēnaîos、活動時期： 紀元前450年頃）は、古代ギリシャの数学者である。彼に関する直接の記録が残っているのは、プラトンの対話篇『テアイテトス』『ソフィスト』『政治家』の3つだけである。前者の対話篇では、テオドロスは今日テオドロスの螺旋として知られる数学的構成を提唱している。

テオドロスの伝記については、プラトンの対話篇から推測できること以外ほとんど知られていない。彼は北アフリカの植民地キュレネに生まれ、どうやらそことアテネの両方で教鞭をとったようだ。^[1]彼は『テアイテトス』の中で老齢を嘆いているが、その劇的な日付である紀元前399年は、彼が最も活躍した時期が5世紀半ばであったことを示唆している。このテキストでは、彼をソフィストの プロタゴラスと関連づけており、彼は幾何学に転向する前にプロタゴラスに師事したと主張している。^[2]ディオゲネス・ラエルティオス^[3]などの古代の伝記作家の間で繰り返された疑わしい伝承では、プラトンは後にリビアのキュレネで彼に師事したとされている。^[1]デルポイの神殿の司祭であったプルタルコスによれば、 この著名な数学者テオドロスは、アルキビアデスやソクラテスの他の多くの仲間（その多くは三十人僭主と関係がある）とともに、饗宴で秘儀を頒布したとして告発された。

テオドロスの著作は、テアイテトスの文学的文脈で述べられており、歴史的に正確であるか、または架空のものであるかが議論されてきた唯一の定理を通じて知られています。^[1]テキストでは、彼の弟子テアイテトスが、17までの非平方数の平方根は無理数であるという定理を彼に帰しています。

ここでテオドロスは、根を表す図を描いて、3平方フィートと5平方フィートの正方形の長さはフィートの単位と一致できないことを示し、17平方フィートの正方形まで順番に選択して、そこで止まった。^[4]

2 つの平方単位を含む正方形については言及されていないが、これはおそらくその辺と単位との通約不可能性がすでに知られていたためであろう。) テオドロスの証明方法は不明である。引用された一節の「まで」(μέχρι) が 17 を含むことを意味するのかどうかさえ不明である。17 が除外されているとしたら、テオドロスの証明は数が偶数か奇数かを考慮することだけに依存していた可能性がある。実際、ハーディとライト^[5] およびノー​​ル^{[6] は、}最終的に次の定理に依存する証明を提案している: が整数に可解で、 が奇数である場合、 は8 を法として1 と合同でなければならない(および は奇数と見なすことができるため、それらの平方は8を法として 1 と合同である)。 ${\displaystyle x^{2}=ny^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

17の平方根の無理数を偶数と奇数の算術に限定した考察では証明できないことは、^[7]と^[8]の偶数と奇数の算術の1つのシステムで示されているが、これは偶数と奇数の算術のためのより強力な自然公理システムでは未解決の問題である^[9]。

以前ツォイテン^[10]が示唆した可能性は、テオドロスが『原論』の命題 X.2 で定式化された、いわゆるユークリッドの互除法を、通約不可能性テストとして適用したというものである。現代の言葉で言えば、この定理は、無限 連分数展開を持つ実数は無理数であるというものである。無理平方根は周期展開を持つ。19 の平方根の周期は長さ 6 で、これはより小さい数の平方根の周期よりも大きい。√17 の周期の長さは 1 である (√18 も同様であるが、√18 の無理数は√2 の無理数から導かれる)。

いわゆるテオドロスの螺旋は、斜辺の長さが√2、√3、√4、…、√17に等しい連続した直角三角形で構成されており、三角形を追加すると図が重なり合うようになります。フィリップ J. デイビスは螺旋の頂点を補間して連続曲線を得ました。彼は著書『螺旋: テオドロスからカオスまで』でテオドロスの方法を明らかにする試みの歴史について論じており、架空のトーマス グレイシリーズでもこの問題について簡単に触れています。

テアイテトスが、非平方数の平方根は無理数であるという、より一般的な無理数理論を確立したことは、同名のプラトン対話篇や『原論』の注釈、原論書にも示唆されている。^[11]

• 古代ギリシャの数学者の年表
• プラトンの対話篇の語り手一覧
• 二次無理数
• ウィルバー・ノール

• Choike, James R. (1980) 「テオドロスの無理数証明」2 年制大学数学ジャーナル。
• ゴウ、ジェームズ（1884）。ギリシャ数学小史。大学出版局。p.85。