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数学において、L関数は複素平面上の有理型 関数であり、数学的対象のいくつかのカテゴリのうちの 1 つに関連付けられています。L級数はディリクレ級数であり、通常は半平面上で収束し、解析接続によってL関数を生じることがあります。リーマンゼータ関数はL関数の例であり、L関数に関連する重要な予想にはリーマン予想とその一般化があります。
L関数の理論は、現代の解析的整数論の非常に重要な、そしてまだ大部分が推測の域を出ない部分となっている。その中で、リーマンゼータ関数とディリクレ指標のL級数の広範な一般化が構築され、それらの一般的な特性は、ほとんどの場合まだ証明の及ばないところであるが、体系的に説明されている。オイラー積の公式のおかげで、 L関数と素数理論の間には深いつながりがある。
L関数を研究する数学の分野は、 L関数の解析理論と呼ばれることもあります。
工事
まず、無限級数表現であるL級数（たとえば、リーマンゼータ関数のディリクレ級数）と、その解析接続である複素平面上の関数であるL関数を区別します。一般的な構成は、最初にディリクレ級数として定義され、次に素数でインデックス付けされたオイラー積として展開されるL級数から始まります。これが複素数の右半平面で収束することを証明するために推定が必要です。次に、このように定義された関数が複素平面の残りの部分（おそらくいくつかの極を持つ）に解析接続できるかどうかを尋ねます。
この (推測上の)複素平面への有理型接続がL関数と呼ばれます。古典的なケースでは、級数表現が収束しない点におけるL関数の値と動作に有用な情報が含まれていることがすでにわかっています。ここでのL関数という一般的な用語には、多くの既知のゼータ関数の種類が含まれます。セルバーグ クラスは、一連の公理でL関数のコア プロパティを捉えようとする試みであり、これにより、個々の関数ではなくクラスの特性の研究が促進されます。
推測情報
一般化が望まれる L関数の既知の例の特徴を以下に挙げます。
詳細な研究により、例えば適用すべき関数方程式の正確な種類など、多くの妥当な推測が生み出されました。リーマンゼータ関数は、正の偶数（および負の奇数）の値を通じてベルヌーイ数に結びつくため、その現象の適切な一般化が求められます。その場合、特定のガロア加群を記述するp進L関数の結果が得られています。
零分布の統計は、一般化リーマン予想、素数分布などの問題との関連から興味深いものです。ランダム行列理論や量子カオスとの関連も興味深いものです。分布のフラクタル構造は、再スケール範囲解析を使用して研究されてきました。[2]零分布の自己相似性は非常に顕著であり、1.9 という大きなフラクタル次元が特徴です。このかなり大きなフラクタル次元は、リーマンゼータ関数の少なくとも 15 桁をカバーする零点、および異なる次数と導体の他のL関数の零点に見られます。
バーチとスウィナートン・ダイアーの予想
より一般的なL関数の歴史にとっても、未解決の研究課題としても影響力のある例の 1 つは、1960 年代初期にBryan BirchとPeter Swinnerton-Dyerによって開発された予想です。これは楕円曲線 Eに適用され、解決しようとする問題は有理数 (または別のグローバル フィールド) 上の楕円曲線の階数の予測、つまり有理点群の自由生成元の数の予測です。この分野におけるこれまでの多くの研究は、 L関数に関するより深い知識を中心に統一され始めました。これは、初期のL関数理論の典型的な例のようなものでした。
一般理論の台頭
この開発はラングランズ・プログラムより数年前に行われ、ラングランズ・プログラムの補完的なものとみなすことができます。ラングランズの研究は、ヘッケのL関数と同様に数十年前に定義されたアルティンのL関数と、一般的な保型表現に付随するL関数に大きく関係しています。
解析的な意味で、ハッセ・ヴェイユのゼータ関数の構築がどのような意味で有効なL関数を提供するために機能するかが徐々に明らかになりました。つまり、解析からの入力、つまり保型解析が必要です。一般的なケースは、現在、さまざまな研究プログラムを概念レベルで統合しています。
参照
参考文献
- ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
外部リンク
- 画期的な第3次超越L関数に関する記事
-
- 「新しい（数学的）世界を垣間見る」。数学。Physorg.com 。アメリカ数学協会。2008 年 3 月 13 日。
- Rehmeyer, Julie (2008 年 4 月 2 日)。「リーマンに迫る」。サイエンス ニュース。2012 年 2 月 16 日時点のオリジナルよりアーカイブ。2008年8 月 5 日閲覧。
- 「とらえどころのない L 関数の探求」。数学。Physorg.com。ブリストル大学。2008 年 8 月 6 日。