ストークスの定理

ストークスの定理（ケルビン・ストークスの定理とも呼ばれる）は、ベクトル場の曲面の端に沿った挙動と、曲面自体におけるその回転の挙動を関連付けるベクトル解析の定理である。 ^[¹^]通常の3次元形式では、閉曲線に沿ったベクトル場の全循環は、その曲線によって囲まれた曲面を通るベクトル場の全回転に等しいと述べている。

$Σが境界$ $\partialΣ$ を持つ向き付けられた曲面である場合、ストークスの定理は一般に次のように記述される。

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS.$

ここで、左辺は境界曲線に沿ったベクトル場の線積分であり、右辺は表面上のベクトル場の回転の面積分である。簡単に言えば、この定理は、表面上のベクトル場の局所的な回転を合計すると、その縁に沿った正味の循環が得られることを述べている。

この定理は、回転の基本定理、回転定理、または回転子定理とも呼ばれます。^{[ 2 ]}これは、一般化されたストークスの定理の特殊な場合です。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}微分形式の言語では、ベクトル場は 1 形式に対応し、その回転はその形式の外微分に対応します。

定理

させて $\Sigma$ 滑らかで方向性のある表面である $\mathbb {R} ^{3}$ パラメータ化 $\mathbf {\Sigma } (u,v)$ 境界付き $\partial \Sigma \equiv \Gamma$ パラメータ化 $\mathbf {\Gamma } (t)$ ベクトル場の場合

\mathbf {F} (x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))

連続な一次偏導関数を持つ $\Sigma$ 、それから $\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Gamma }$ 線要素の省略形 $d\mathbf {\Gamma } ={\frac {d\mathbf {\Gamma } }{dt}}dt$ そして表面要素 $d\mathbf {\Sigma } =\mathbf {n} d\Sigma =\left({\frac {\partial \mathbf {\Sigma } }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {\Sigma } }{\partial v}}\right)dudv$ どこ $\mathbf {n} (u,v)$ は、その点における曲面に直交するベクトルである。 $\mathbf {\Sigma } (u,v)$ 。

この等式は微分形式で表現でき、 $\wedge$ ウェッジ製品であり、 ${\text{d}}$ 外部派生値： ${\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{aligned}}$

ストークスの定理を正確に記述する上での主な課題は、境界の概念を定義することです。例えば、コッホ雪片のような曲面は、リーマン積分可能な境界を持たないことがよく知られており、ルベーグ理論における曲面測度の概念は、リプシッツ連続でない曲面に対して定義できません。一つの（高度な）手法は、弱形式に移行してから幾何学的測度論の手法を適用することです。このアプローチについては、コエリア公式を参照してください。本稿では、代わりに、境界が完全な次元の部分集合に対して識別できるという事実に基づいた、より基本的な定義を使用します。 $\mathbb {R} ^{2}$ 。

より詳細な説明は、今後の議論のために提供される予定です。 ${\displaystyle \gamma$ は区分的に滑らかなジョルダン平面曲線である。平面内の単純な閉曲線。ジョルダン曲線の定理は、 $\gamma$ 分ける $\mathbb {R} ^{2}$ コンパクトな成分と非コンパクトな成分の2つに分割する。 $D$ コンパクト部分を表す。 $D$ 境界は $\gamma$ 。これで、連続マップに沿った境界の概念を、我々の表面に転送すれば十分である。 $\mathbb {R} ^{3}$ しかし、私たちは既にそのようなマップを持っています。 $\Sigma$ 。

仮定する $\psi :D\to \mathbb {R} ^{3}$ の近傍では区分的に滑らかである $D$ ^{[注1 ]} 、 $\Sigma =\psi (D)$ [^注²^]もし $\Gamma$ 空間曲線は次のように定義されます。 $\Gamma (t)=\psi (\gamma (t))$ ^{[注3 ]}次に、 $\Gamma$ 境界 $\Sigma$ 書かれた $\partial \Sigma$ ^{[注4 ]}

上記の表記法を用いると、 $\mathbf {F}$ は任意の滑らかなベクトル場である $\mathbb {R} ^{3}$ 、それから^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,d\mathbf {\Sigma } .$

ここでは、「 $\cdot$ 「」は、 $\mathbb {R} ^{3}$ 。

より一般的な定理の特殊なケース

ストークスの定理は、次の恒等式の特殊な場合と見なすことができる。^{[ 7 ]} $\oint _{\partial \Sigma }(\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } })\,\mathbf {g} =\iint _{\Sigma }\left[d\mathbf {\Sigma } \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} -\mathbf {F} \times \nabla \right)\right]\mathbf {g} ,$ どこ $\mathbf {g}$ は、 $\mathbb {R} ^{3}$ 。いつ $\mathbf {g}$ が一様なスカラー場である場合、標準的なストークスの定理が再現される。

証拠

この定理の証明は 4 つのステップから成ります。グリーンの定理を仮定しているので、問題となるのは、3 次元の複雑な問題 (ストークスの定理) を 2 次元の基本的な問題 (グリーンの定理) にどうやって還元するかです。^{[ 8 ]}この定理を証明するとき、数学者は通常、微分形式で述べられ、より高度な手法を用いて証明される、より一般的な結果の特殊なケースとしてこれを導き出します。これらの手法は強力ですが、かなりの背景知識を必要とするため、以下の証明ではそれらを避け、基本的なベクトル解析と線形代数に精通している以上の知識を前提としていません。^[⁶^]このセクションの最後に、一般化されたストークスの定理の系として、ストークスの定理の短い別の証明が与えられています。

初歩的な証明

初等的証明の第一段階（積分のパラメータ化）

§ 定理と同様に、曲面の自然なパラメーター化を用いて次元を削減します。ψ $と$ $γを$ その節と同じとし、変数変換により次の式が成り立つことに注意してください。 $\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } ))\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } )}=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\,\mathrm {d} \gamma }$ ここで、 $J y ψ は$ $y$ $=$ $γ$ $($ $t$ $)$ における $ψ$ のヤコビ行列を表します。

ここで、 ${e u, e v} を$ $R 2$ の座標方向における正規直交基底とする。^{[注 5 ]}

$J y ψ$ の列ベクトルが $y$ における $ψ$ の偏微分であることを認識すると、前の式を座標で展開すると次のようになります。 ${\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }&=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{u}(\mathbf {e} _{u}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )+\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{v}(\mathbf {e} _{v}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )}\\&=\oint _{\gamma }{\left(\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{v}\right)\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} }\end{aligned}}$

初等的証明の第2段階（引き戻しの定義）

前のステップでは、関数を定義することを提案しています。 $\mathbf {P} (u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{v}$

さて、スカラー値が関数である場合 $P_{u}$ そして $P_{v}$ は以下のように定義されます。 ${P_{u}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)$ ${P_{v}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)$ それから、 $\mathbf {P} (u,v)={P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v}.$

これは $ψ$ に沿った $F$ の引き戻しであり、上記により、 $\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {P} (\mathbf {y} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }$

ストークスの定理の一方の側を2次元の式に簡略化することに成功しました。次に、もう一方の側に取り掛かります。

初等的証明の第3段階（第2の式）

まず、グリーンの定理に現れる偏微分を積の法則を用いて計算します。 ${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial v\,\partial u}}\\[5pt]{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial u\,\partial v}}\end{aligned}}$

都合の良いことに、混合偏微分の等式により、第２項は差分の中で消滅する。したがって、^[注６] ${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}-{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}&&{\text{(chain rule)}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot \left(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\end{aligned}}$

しかし、ここでその二次形式の行列を考えてみましょう。つまり、 $J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}$ 我々は、この行列が実際には外積を表していると主張する。ここで上付き文字「 ${}^{\mathsf {T}}$ 「は行列の転置を表します。

正確に言うと、 $A=(A_{ij})_{ij}$ を任意の $3 \times 3$ 行列とし、 $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}}$

$x \mapsto a \times x$ は線形であるため、基底要素に対する作用によって決定されます。しかし、直接計算すると ${\begin{aligned}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{1}&={\begin{bmatrix}0\\a_{3}\\-a_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{1}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{2}&={\begin{bmatrix}-a_{3}\\0\\a_{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{2}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{3}&={\begin{bmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}$ ここで、 ${e 1, e 2, e 3} は$ 、座標方向における正規直交基底を表します。 $\mathbb {R} ^{3}$ [^注^{7 ]}

したがって、任意の $x$ に対して $(A - A T) x = a \times x$ となります。

代入 ${(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}$ $A$ については、 $\left({(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}-{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$

これで、偏微分の差を（スカラー）三重積として認識できるようになった。 ${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\end{aligned}}$

一方、面積分の定義には、まさに同じ三重積も含まれています。 ${\begin{aligned}\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,d\mathbf {\Sigma } &=\iint _{D}{(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}\end{aligned}}$

したがって、我々は $\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

初等的証明の第4段階（グリーンの定理への還元）

第２段階と第３段階を組み合わせ、グリーンの定理を適用することで証明が完了する。グリーンの定理は、ジョルダン閉曲線γと２つのスカラー値滑らかな関数で囲まれた任意の領域Dに対して、次のことを主張する。 $P_{u}(u,v),P_{v}(u,v)$ D上で定義されている。

$\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

ステップ2の結論を上記のグリーンの定理の左辺に代入し、ステップ3の結論を右辺に代入する。証明終了

微分形式による証明

機能 $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ 微分1形式で識別できる $\mathbb {R} ^{3}$ 地図経由で $F_{x}\mathbf {e} _{1}+F_{y}\mathbf {e} _{2}+F_{z}\mathbf {e} _{3}\mapsto F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z.$

関数 $Fに関連付けられた微分 1 形式を$ $ω F$ と書きます。すると、次のことが計算できます。 $\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }=\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} },$ $★$ はホッジスターで、 $\mathrm {d}$ は外微分である。したがって、一般化されたストークスの定理により、^{[ 9 ]} $\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\gamma } }=\oint _{\partial \Sigma }{\omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }}=\iint _{\Sigma }{\nabla \times \mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$

アプリケーション

非回転場

このセクションでは、ストークスの定理に基づいて、非回転場（層状ベクトル場）について説明します。

定義2-1（非回転場）。開平面上の滑らかなベクトル場 $F$ $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ $\nabla \times$ $F$ $= 0の場合、$ 非回転（層状ベクトル場）となります。

この概念は力学において非常に基本的なものです。後ほど証明しますが、 $F$ が非回転であり、 $F$ の定義域が単連結である場合、 $F$ は保存ベクトル場となります。

ヘルムホルツの定理

この節では、ストークスの定理から導き出され、渦のないベクトル場を特徴づける定理を紹介します。古典力学や流体力学では、これはヘルムホルツの定理と呼ばれています。

定理2-1 （流体力学におけるヘルムホルツの定理）。^{[ 3 ]}^{[ 10 ]}^{： 142} $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ を層状ベクトル場 $F$ を持つ開集合とし、 $c$ $0$ $、$ $c$ $1$ $: [0, 1] \to$ $U$ を区分的に滑らかなループとする。関数 $H$ $: [0, 1] \times [0, 1] \to$ $U が$ 存在し、

[TLH0] $H$ は区分的に滑らかで、
[TLH1] $H (t, 0) = c 0 (t)すべての$ $t \in [0, 1]$ に対して、
[TLH2] $H (t, 1) = c 1 (t)すべての$ $t \in [0, 1]$ に対して、
[TLH3] $H (0, s) = H (1, s)はすべての$ $s \in [0, 1]$ に対して成り立つ。

それから、 $\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{1}$

^{Lawrence [ 3 ]}などの教科書では、定理 2-1 で述べられている $c 0$ と $c 1$ の関係を「ホモトピック」と呼び、関数 $H : [0, 1] \times [0, 1] \to Uを「$ $c 0$ と $c 1$ の間のホモトピー」と呼んでいます。しかし、上述の意味での「ホモトピック」または「ホモトピー」は、一般的な「ホモトピック」または「ホモトピー」の定義とは異なり（より強い）、後者は条件 [TLH3] を省略しています。したがって、今後は定理 2-1 の意味でのホモトピー（ホモトープ）を管状ホモトピー（または管状ホモトピック）と呼びます。^{[注 8 ]}

ヘルムホルツの定理の証明

以下では、表記法を乱用し、「 $\oplus$ 「基本群におけるパスの連結と」 $\ominus$ パスの向きを反転させるため。

$D = [0, 1] \times [0, 1]$ とし、 $\partial D$ を 4 つの線分 $γ j$ に分割します。 ${\begin{aligned}\gamma _{1}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{1}(t)=(t,0)\\\gamma _{2}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{2}(s)=(1,s)\\\gamma _{3}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{3}(t)=(1-t,1)\\\gamma _{4}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{4}(s)=(0,1-s)\end{aligned}}$ となることによって $\partial D=\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\oplus \gamma _{3}\oplus \gamma _{4}$

$c 0$ と $c 1 が$ 区分的に滑らかなホモトピックであるという仮定により、区分的に滑らかなホモトピー $H$ $:$ $D$ $\to$ $M$ が存在する。 ${\begin{aligned}\Gamma _{i}(t)&=H(\gamma _{i}(t))&&i=1,2,3,4\\\Gamma (t)&=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)\end{aligned}}$

$Sを$ $H$ による $D$ の像とする。 $\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma$ ストークスの定理から直ちに導かれる。F $は$ 層状なので、左辺はゼロになる。 $0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma =\sum _{i=1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma$

$H$ は管状であるため（[TLH3]を満たす）、 $\Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}$ そして $\Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}$ $したがって、 Γ 2 (s)$ と $Γ 4 (s)$ に沿った線積分は相殺され、 $0=\oint _{\Gamma _{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma +\oint _{\Gamma _{3}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma$

一方、 $c 1 = Γ 1$ 、 $c_{3}=\ominus \Gamma _{3}$ そうすれば、望ましい等式がほぼ即座に得られる。

保守勢力

上記のヘルムホルツの定理は、物体の位置を変える際に保存力が行う仕事が経路に依存しない理由を説明するものです。まず、ヘルムホルツの定理の系であり、その特殊な場合である補題2-2を紹介します。

補題2-2. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}とする $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ を開集合とし、層状ベクトル場 $F$ と区分的に滑らかなループ $c 0 : [0, 1] \to U を$ 持つ。点 $p \in U$ を固定する。ただし、ホモトピー $H : [0, 1] \times [0, 1] \to U$ が存在し、

[SC0] $H$ は区分的に滑らかで、
[SC1] $H (t, 0) = c 0 (t)すべての$ $t \in [0, 1]$ に対して、
[SC2] $H (t, 1) = pすべての$ $t \in [0, 1]$ に対して、
[SC3] $H (0, s) = H (1, s) = pがすべての$ $s \in [0, 1]$ に対して成り立つ。

それから、 $\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0$

$上記の補題2-2は定理2-1から導かれる。補題2-2において、[SC0]から[SC3]を満たすH$ の存在が重要である。問題は、そのようなホモトピーが任意のループに対して取れるかどうかである。Uが単連結であれば $、$ そのような $Hが存在する。$ 単連結空間の定義は次のとおりである。

定義2-2（単連結空間）。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} $M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 空でないかつ経路連結である。M $は$ 、任意の連続ループ $c : [0, 1] \to M$ $に対して、 c$ から固定点 $p$ $\in$ $c$ への連続管状ホモトピー $H : [0, 1] \times [0, 1] \to M$ が存在する場合に限り、単連結であると呼ばれる。すなわち、

[SC0'] $Hは$ 連続です、
[SC1] $H (t, 0) = c (t)すべての$ $t \in [0, 1]$ に対して、
[SC2] $H (t, 1) = pすべての$ $t \in [0, 1]$ に対して、
[SC3] $H (0, s) = H (1, s) = pがすべての$ $s \in [0, 1]$ に対して成り立つ。

「保存力の場合、物体の位置を変える際に行われる仕事は経路に依存しない」という主張は、Mが単連結であればすぐに導かれるように思えるかもしれません。しかし、単連結は[SC1-3]を満たす連続ホモトピーの存在を保証するだけであり、代わりにこれらの条件を満たす区分的に滑らかなホモトピーを求めます。

幸いなことに、正則性のギャップはホイットニーの近似定理によって解決されます。^{[ 4 ]}^{: 136,421}^{[ 11 ]}^{言い換えれば、連続ホモトピーを}見つけるが、その上で積分できない可能性は、高等数学の恩恵により実際に排除されます。したがって、次の定理が得られます。

定理2-2. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}とする $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ 開集合であり、非回転ベクトル場 $F$ と単連結である。すべての区分的に滑らかなループ $c : [0, 1] \to Uについて$ $\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0$

マクスウェル方程式

電磁気学の物理学において、ストークスの定理は、マクスウェル・ファラデー方程式とマクスウェル・アンペール方程式の微分形式と、これらの方程式の積分形式の等価性を正当化する。ファラデーの法則では、ストークスの定理は電場に適用される。 $\mathbf {E}$ : $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .$

アンペールの法則では、ストークスの定理が磁場に適用されます。 $\mathbf {B}$ : $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .$

注記

↑定義から $D$ 、 $D$ は明らかに有界閉集合である $\mathbb {R} ^{2}$ 「D の近傍」とは「D の開集合」を意味する。 $\mathbb {R} ^{2}$ Dを含むもの。
↑ $\Sigma =\psi (D)$ の画像セットを表します $D$ による $\psi$
↑ $\Gamma$ ループがジョーダン曲線ではないかもしれない $\gamma$ 相性が悪い $\psi$ それにもかかわらず、 $\Gamma$ は常にループまたは複数のループであり、位相的には可算個のジョルダン曲線の連結和であるため、積分は適切に定義される。
↑ 2 次元極座標を考える場合でも、∂Σ = Γ とすると、∂Σ は明らかに Σ の位相的内部点を含むことができます。しかし、向き付け可能な組み合わせ多様体では、これはそれほど深刻な問題ではありません。なぜなら、内部点上の線積分が相殺されるからです。向き付け可能な多様体では、∂Σ 上の線積分は真の境界上の線積分と一致します。さらに重要な例として、この定理は球やトーラスのような位相的境界のない多様体にも適用されます。このような場合、∂Σ = Γ であれば、∂Σ は Σ 内に完全に含まれることになります。しかし、このような場合、結果として得られる Γ 上の線積分は互いに完全に相殺されます。これにより、境界のない多様体上のベクトル場の回転の面積分はゼロであると主張できます。
↑この記事では、 $\mathbf {e} _{u}=(1,0),\ \mathbf {e} _{v}=(0,1).$ なお、ベクトル解析の教科書によっては、これらが異なるものに割り当てられている場合があります。例えば、ある教科書の表記では、 ${e u, e v} はそれぞれ$ ${t u, t v}$ を意味することがあります。しかし、この記事では、これらは全く異なる2つのものです。 $\mathbf {t} _{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\,,\mathbf {t} _{v}={\frac {1}{h_{v}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}.$ ここ、 $h_{u}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right\|,h_{v}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right\|,$ そして「 $\|\cdot \|$ 「」はユークリッドノルムを表します。
↑ すべての ${\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ すべての $A;n\times n$ 正方行列、 ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ そのため ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {b}}\cdot A^{\mathsf {T}}{\textbf {a}}$ 。
↑この記事では、 $\mathbf {e} _{1}=(1,0,0),\ \mathbf {e} _{2}=(0,1,0),\ \mathbf {e} _{3}=(0,0,1).$ なお、ベクトル解析に関する教科書によっては、これらが異なるものに割り当てられている場合があることに注意してください。
↑定理 2-1 の意味で「ホモトピー」と「ホモトピック」という用語を使用する教科書も存在します。^{[ 3 ]}確かに、これは保存力の特定の問題には 非常に便利です。しかし、ホモトピーのどちらの用法も十分に頻繁に現れるため、曖昧さを解消するための何らかの用語が必要であり、ここで採用した「管状ホモトピー」という用語はその目的に十分役立ちます。

参考文献

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↑スチュワート、ジェームズ(2010). Essential calculus: early transcendentals . オーストラリア; アメリカ合衆国: Brooks/Cole . ISBN 978-0-538-49739-8。
1 2ロバート・シャイヒル、バース大学数学コースの講義ノート
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[NeighbourhoodofD-5] 定義から $D$ 、 $D$ は明らかに有界閉集合である $\mathbb {R} ^{2}$ 「D の近傍」とは「D の開集合」を意味する。 $\mathbb {R} ^{2}$ Dを含むもの。

[imgg-6] $\Sigma =\psi (D)$ の画像セットを表します $D$ による $\psi$

[cgamma-7] $\Gamma$ ループがジョーダン曲線ではないかもしれない $\gamma$ 相性が悪い $\psi$ それにもかかわらず、 $\Gamma$ は常にループまたは複数のループであり、位相的には可算個のジョルダン曲線の連結和であるため、積分は適切に定義される。

[boundery-8] 2 次元極座標を考える場合でも、∂Σ = Γ とすると、∂Σ は明らかに Σ の位相的内部点を含むことができます。しかし、向き付け可能な組み合わせ多様体では、これはそれほど深刻な問題ではありません。なぜなら、内部点上の線積分が相殺されるからです。向き付け可能な多様体では、∂Σ 上の線積分は真の境界上の線積分と一致します。さらに重要な例として、この定理は球やトーラスのような位相的境界のない多様体にも適用されます。このような場合、∂Σ = Γ であれば、∂Σ は Σ 内に完全に含まれることになります。しかし、このような場合、結果として得られる Γ 上の線積分は互いに完全に相殺されます。これにより、境界のない多様体上のベクトル場の回転の面積分はゼロであると主張できます。

[orf2-13] この記事では、 $\mathbf {e} _{u}=(1,0),\ \mathbf {e} _{v}=(0,1).$ なお、ベクトル解析の教科書によっては、これらが異なるものに割り当てられている場合があります。例えば、ある教科書の表記では、 ${e u, e v} はそれぞれ$ ${t u, t v}$ を意味することがあります。しかし、この記事では、これらは全く異なる2つのものです。 $\mathbf {t} _{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\,,\mathbf {t} _{v}={\frac {1}{h_{v}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}.$ ここ、 $h_{u}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right\|,h_{v}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right\|,$ そして「 $\|\cdot \|$ 「」はユークリッドノルムを表します。

[naiseki-14] すべての ${\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ すべての $A;n\times n$ 正方行列、 ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ そのため ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {b}}\cdot A^{\mathsf {T}}{\textbf {a}}$ 。

[orf3-15] この記事では、 $\mathbf {e} _{1}=(1,0,0),\ \mathbf {e} _{2}=(0,1,0),\ \mathbf {e} _{3}=(0,0,1).$ なお、ベクトル解析に関する教科書によっては、これらが異なるものに割り当てられている場合があることに注意してください。

[TLH-18] 定理 2-1 の意味で「ホモトピー」と「ホモトピック」という用語を使用する教科書も存在します。^{[ 3 ]}確かに、これは保存力の特定の問題には 非常に便利です。しかし、ホモトピーのどちらの用法も十分に頻繁に現れるため、曖昧さを解消するための何らかの用語が必要であり、ここで採用した「管状ホモトピー」という用語はその目的に十分役立ちます。

[1] スチュワート、ジェームズ(2012).微積分 – 初級超越関数(PDF) (第 7 版).ブルックス/コール. p. 1122. ISBN 978-0-538-49790-9。

[2] グリフィス、デイビッド・J. (2013).電磁気学入門（第4版）. ピアソン. p. 34. ISBN 978-0-321-85656-2。

[DTPO-3] 1 2 3 4 5 6 7コンロン、ローレンス（2008）。微分可能多様体。現代ビルクハウザー古典シリーズ（第2版）。ボストン；ベルリン：ビルクハウザー。ISBN 978-0-8176-4766-7。

[lee-4] 1 2 3 4 5 Lee, John M. (2012).滑らかな多様体入門. 数学大学院テキスト. 第218巻（第2版）. ニューヨーク; ロンドン: Springer . ISBN 978-1-4419-9982-5。

[Jame-9] スチュワート、ジェームズ(2010). Essential calculus: early transcendentals . オーストラリア; アメリカ合衆国: Brooks/Cole . ISBN 978-0-538-49739-8。

[bath-10] 1 2ロバート・シャイヒル、バース大学数学コースの講義ノート

[11] Pérez-Garrido, A. (2024-05-01). "ベクトル解析のあまり使われない定理の復元と電磁気学の問題への応用". American Journal of Physics . 92 (5): 354–359 . arXiv : 2312.17268 . Bibcode : 2024AmJPh..92e.354P . doi : 10.1119/5.0182191 . ISSN 0002-9505 .

[12] Colley, Susan Jane (2012).ベクトル解析(PDF) (第4版). ボストン: Pearson. pp. 500–3 . ISBN 978-0-321-78065-2. OCLC 732967769 .

[16] エドワーズ、ハロルド M. (1994).高度微積分：微分形式アプローチ（第3版）. ボストン：ビルクハウザー. ISBN 978-0-8176-3707-1。

[fujimno-17] 藤本篤夫 (1979).現代数学レクチャーズ。 C 1、「現代数学レクチャーズ。C(1)、ベクトールカイセキ」。培風館。OCLC 674186011。

[ptr-19] ポントリャーギン、LS ( 1959)。「滑らかな多様体とそのホモトピー理論への応用」（PDF）。アメリカ数学会翻訳シリーズ2。11 。ヒルトン、PJ訳。ロードアイランド州プロビデンス：アメリカ数学会：1–114。doi ：10.1090/trans2/011/ 01。ISBN 978-0-8218-1711-7. MR 0115178 . {{cite journal}}ISBN/日付の不一致（ヘルプ）定理7および8を参照してください。

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