パーセヴァルの正体

数学解析において、マルク＝アントワーヌ・パルセバルにちなんで名付けられたパルセバルの恒等式は、関数のフーリエ級数の可積分性に関する基本的な結果である。この恒等式は、周期信号のエネルギー（信号の振幅の二乗の積分として与えられる）と、その周波数領域表現のエネルギー（振幅の二乗の和として与えられる）が等しいことを主張する。幾何学的には、これは内積空間（基底ベクトルが無限に存在する可能性がある）に対する一般化されたピタゴラスの定理である。

この恒等式は、関数のフーリエ係数の 二乗の和が、その関数の二乗の積分に等しいことを主張している。$${\displaystyle \Vert f\Vert _{L^{2}(-\pi ,\pi )}^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2},}$$ ここでフーリエ係数は$\displaystyle {\hat {f}}(n)}$の${\displaystyle f}$は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\hat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx.}$$

結果は、以下の条件を満たせば、記載どおりとなる。${\displaystyle f}$は二乗可積分関数、またはより一般的にはL ^p空間において${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ].}$同様の結果としてプランシュレルの定理があり、これは関数のフーリエ変換の二乗の積分が、その関数自体の二乗の積分に等しいと主張している。一次元の場合、${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ),}$$$\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi =\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.}$$

この恒等式は、より一般的な可分ヒルベルト空間の設定において、ピタゴラスの定理と次のように関連している。${\displaystyle H}$は内積を持つヒルベルト空間である${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle .}$ させて${\displaystyle \left(e_{n}\right)}$正規直交基底となる${\displaystyle H}$; つまり、線形スパンは${\displaystyle e_{n}}$密度が高い${\displaystyle H,}$そして${\displaystyle e_{n}}$互いに正規直交関係にある。

${\displaystyle \langle e_{m},e_{n}\rangle ={\begin{cases}1&{\mbox{if}}~m=n\\0&{\mbox{if}}~m\neq n.\end{cases}}}$

するとパーセヴァルの恒等式は、すべての${\displaystyle x\in H,}$$${\displaystyle \sum _{n}\left|\left\langle x,e_{n}\right\rangle \right|^{2}=\|x\|^{2}.}$$

これは、正規直交基底におけるベクトルの成分の二乗の和がベクトルの長さの二乗に等しいという、ユークリッド幾何学におけるピタゴラスの定理と直接的に類似している。パーセバルの等式のフーリエ級数版は、次のようにして得られる。${\displaystyle H}$ヒルベルト空間とする${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ],}$設定${\displaystyle e_{n}=e^{inx}}$のために${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

より一般的には、パーセバルの等式は、必ずしも可分ではない任意のヒルベルト空間に対して成り立ちます。ヒルベルト空間が可分でない場合、任意の正規直交基底は非可算であり、級数の概念を次のように無条件和に一般化する必要があります。${\displaystyle \{e_{r}\}_{r\in \Gamma }}$ヒルベルト空間の正規直交基底（${\displaystyle \Gamma }$任意の濃度を持つ場合、${\textstyle \sum _{r\in \Gamma }a_{r}e_{r}}$すべての${\displaystyle \epsilon >0}$有限部分集合が存在する${\displaystyle A\subset \Gamma }$そのため $$\left\|\sum _{r\in B}a_{r}e_{r}-\sum _{r\in C}a_{r}e_{r}\right\|<\epsilon }$$ 任意の有限部分集合のペアに対して${\displaystyle B,C\subset \Gamma }$含まれる${\displaystyle A}$（つまり、${\displaystyle A\subset B\cap C}$なお、この場合、無条件和を定義するためにネットを使用しています。

• パーセバルの定理– 数学の定理 
• ベッセルの不等式– 正規直交列に関する定理 

• 「パーセバルの等式」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ジョンソン、リー・W.、リース、R.ディーン（1982）、『数値解析（第2 版）』、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー、ISBN 0-201-10392-3。
• ティッチマーシュ、E（1939）、『関数論』（第2 版）、オックスフォード大学出版局。
• ジグムント、アントニ（1968）、『三角関数シリーズ（第2 版）』、ケンブリッジ大学出版局（1988年刊行）、ISBN 978-0-521-35885-9。