代数学は、本質的には 算術 と同様の計算を行うものの、非数値的な数学的対象を扱うものと考えることができる。しかし、19世紀までは、代数学は本質的に方程式論 から成り立っていた。例えば、代数学の基本定理は 方程式論に属するものであり、代数学に属するものとはみなされていない（実際、すべての証明において 実数の完全性 を用いる必要があるが、これは代数学的な性質ではない）。
この記事では、方程式の理論（この記事では「代数学」と呼ぶ）の歴史を、その起源から、代数学が数学 の独立した分野として出現するまでの過程を記述する。
語源 「代数」という言葉はアラビア 語のالجبر al-jabr アル・フワーリズミー が 830 年に著した論文に由来する。そのアラビア語のタイトルはKitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala で、 「補完とバランスによる計算に関する簡潔な書」 。この論文は、 線形 方程式と二次方程式 の体系的な解法を規定していた。ある歴史書によれば、「アル＝ジャブル とムカバラ という用語が正確に何を意味するのかは定かではないが、一般的な解釈は前述の翻訳で示唆されているものと似ている。アル＝ジャブルという言葉はおそらく「復元」または「完成」のような意味であり、方程式の引かれた項を反対側に移すことを指していると思われる。 ムカバラという言葉は「削減」または「均衡」、つまり方程式の反対側の同類項の打ち消しを指すと言われている。アル＝フワーリズミーの時代からずっと後のスペインにおけるアラビア語の影響は『ドン・キホーテ [ 1 ] この用語は、アル・フワーリズミーが導入した「還元 」と「均衡」という操作を説明するために使用されており、これは、減算された項を等式の反対側に移すこと、つまり等式の反対側の同類項を消去することを指します。[ 2 ]
代数学の段階
概念段階 代数的なアイデアを表現する3つの段階に加えて、表現の変化と並行して起こった代数の発展における4つの概念的段階を認識した著者もいる。これらの4つの段階は次のとおりである。[ 5 ]
オキシリンコスで発見された、ユークリッド の『原論』 年頃のものとされている（P. Oxy. 29 ）。この図は第2巻第5命題に付随するものである。[ 14 ] ギリシャ人は 代数学を持っていなかったと主張されることがあるが、これは異論がある。[ 15 ] プラトン の時代までに、ギリシャの数学は劇的な変化を遂げた。ギリシャ人は、幾何学的オブジェクトの辺（通常は線）で項を表す幾何代数学を作り出し、それらには文字が関連付けられていた。[16 ] そして 、この 新しい形式の代数学によって 、 [ 16 ] 「面積の適用」は幾何代数学の一部にすぎず、ユークリッド の『原論』
幾何代数の例としては、線形方程式を解くことが挙げられます。1 x = b c 。 {\displaystyle ax=bc.} 1 : b {\displaystyle a:b} c : x 。 {\displaystyle c:x.} b {\displaystyle b} c 、 {\displaystyle c,} 1 、 {\displaystyle a,} [ 16 ]
ティマリダスの花 イアンブリコスは 『算術入門』 の中で、ティマリダス （紀元前400 年頃 - 紀元前350 年頃）が連立一次方程式を扱っていたと述べている。 [ 18 ]
合計n {\displaystyle n} 1 / （ n − 2 ） {\displaystyle 1/(n-2)} [ 19 ]
ユークリッドの『原論』 からの証明によれば、与えられた線分に対して、その線分を辺の一つとする正三角形が存在する。または現代的な記法を用いると、次のシステムの解はn {\displaystyle n} n {\displaystyle n} [ 18 ]
x + x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 = s {\displaystyle x+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}=s} x + x 1 = m 1 {\displaystyle x+x_{1}=m_{1}} x + x 2 = m 2 {\displaystyle x+x_{2}=m_{2}} ⋮ {\displaystyle \vdots } x + x n − 1 = m n − 1 {\displaystyle x+x_{n-1}=m_{n-1}}
は、
x = （ m 1 + m 2 + 。 。 。 + m n − 1 ） − s n − 2 = （ ∑ 私 = 1 n − 1 m 私 ） − s n − 2 。 {\displaystyle x={\cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1})-s}{n-2}}={\cfrac {(\sum _{i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}.}
イアンブリコスは、この形式ではない線形方程式のいくつかの体系をこの形式に変換する方法についてさらに説明している。[ 18 ]
アレクサンドリアのエウクリッド ヘレニズム時代の数学者ユークリッドは 幾何代 数学を詳細に記述している。 ユークリッド （ギリシャ語 : Εὐκλείδης プトレマイオス1世 （紀元前323年～283年）の治世中にエジプト のアレクサンドリア で活躍したギリシャの数学者である。 [ 20 ] [ 21 ] [ 20 ]
ユークリッドは「幾何学 の父」とみなされている。彼の『原論』 は数学史上 最も成功した教科書 である。[ 20 ] [ 22 ] 原論』は 、時折考えられているように、当時のギリシャの数学知識のすべてを集めたものではなく、むしろその初歩的な入門書である。[ 23 ]
要素 ユークリッドの『原論』 に代表されるギリシャ人の幾何学研究は、特定の問題の解決にとどまらず、より一般的な方程式の記述と解法の体系へと公式を一般化するための枠組みを提供した。
『原論』 第2巻には14の命題が含まれており、これらはユークリッドの時代には幾何代数を行う上で非常に重要なものでした。これらの命題とその結果が、現代の記号代数と三角法の幾何学的等価物です。[ 15 ] [ 15 ]
『原論』 には、加算と乗算に関する多くの基本法則が幾何学的に記述または証明されている。例えば、第2巻の命題1には次のように記されている。
2本の直線があり、そのうちの1本を任意の数の線分に分割した場合、2本の直線で囲まれた長方形は、分割されていない直線と各線分で囲まれた長方形の合計に等しくなります。 しかしこれは、（左）分配法則 の幾何学的バージョンに過ぎない。1 （ b + c + d ） = 1 b + 1 c + 1 d {\displaystyle a(b+c+d)=ab+ac+ad} ;また、 『原論』 第5巻と第7巻では、乗法の交換 法則と結合 法則が実証されている。[ 15 ]
多くの基本方程式も幾何学的に証明された。例えば、第2巻の命題5では、1 2 − b 2 = （ 1 + b ） （ 1 − b ） 、 {\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b),} [ 24 ] （ 1 + b ） 2 = 1 2 + 2 1 b + b 2 。 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.} [ 15 ]
さらに、多くの方程式には幾何学的な解も与えられています。例えば、第2巻の命題6では、二次方程式の解が示されています。1 x + x 2 = b 2 、 {\displaystyle ax+x^{2}=b^{2},} 1 x + x 2 = 1 2 。 {\displaystyle ax+x^{2}=a^{2}.} [ 25 ]
データ 『データ』 原論』 の最初の6巻の補足書として使用されることを意図していました。この本には約15の定義と95の命題が含まれており、そのうち約24の命題は代数規則または公式として機能します。 [ 26 ]これらの命題の中には、二次方程式の解と幾何学的に同等のものがあります。 [ 26 ] 『データ』 には次の方程式の解が含まれています。d x 2 − 1 d x + b 2 c = 0 {\displaystyle dx^{2}-adx+b^{2}c=0} x y = 1 2 、 x ± y = b 。 {\displaystyle xy=a^{2},x\pm y=b.} [ 26 ]
中国 中国の数学は少なくとも 紀元前300年に遡り、 『周壁算経』 [ 29 ]
数学芸術に関する9つの章 数学芸術に関する9つの章 『 九章算術』は 中国の数学書の中でも最も影響力のある書物の一つであり、約246問から構成されている。第8章では、正負の数を用いて確定連立一次方程式と不確定連立一次方程式を解く問題を扱っており、そのうちの1問は5つの未知数を持つ4つの方程式を解く問題を扱っている。[ 29 ]
円の海鏡測定 『円 測海鏡』 は、李志 （または李葉）（西暦1192年 - 1279年）が著した約170問の問題集である。彼は、6次までの方程式を解くために扇法 （ホーナー法 ）を用いたが、方程式を解く方法については記述していない。[ 30 ]
魔方陣 古代中国人が棒数字を用いて描いた 楊輝 （パスカル）の三角形最も古い魔方陣 は中国で発見された。[ 31 ] 『九章』 では、著者は連立一次方程式の係数と定数項を魔方陣（つまり行列）に配置し、魔方陣に対して列縮小操作を行うことで、連立一次方程式を解いている。[ 31 ] 楊輝 （ 1261年頃 ～1275年頃活躍）によるものとされており、彼は10次もの魔方陣を扱っていた。[ 32 ]
四元素の貴重な鏡 『四元玉鑒 』は、 1303年に楚世傑 によって書かれたもので、中国代数学の発展の頂点を極めた書物である。天、地、人、物質と呼ばれる四つの要素は、彼の 代数 方程式における4つの未知数を表している。『四元玉鑒』は 連立方程式や14次までの方程式を扱っている。著者は、これらの方程式を解くために、現在ではホーナー法と呼ばれる 扇 法を用いている。[ 33 ]
『宝鏡』は 、丸いゼロ記号を用いた算術三角形（パスカルの三角形 ）の図で始まるが、楚世傑は自分が考案したことを否定している。楊慧の作品にも同様の三角形が登場するが、ゼロ記号は使われていない。[ 34 ]
プレシャスミラー には証明なしで与えられた総和式が多数あります。総和のいくつかは次のとおりです。[ 34 ]
1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = n （ n + 1 ） （ 2 n + 1 ） 3 ! {\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}} 1 + 8 + 30 + 80 + ⋯ + n 2 （ n + 1 ） （ n + 2 ） 3 ! = n （ n + 1 ） （ n + 2 ） （ n + 3 ） （ 4 n + 1 ） 5 ! {\displaystyle 1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) \over 5!}}
ディオファントス クロード・ガスパール・バシェ・ド・メジリアック によってラテン語 に翻訳された、ディオファントスの『算数』 の 1621 年版の表紙ディオファントスは 紀元250年頃に生きたヘレニズム時代の 数学者ですが、この年代の不確実性が非常に大きく、1世紀以上ずれている可能性があります。彼は『算術』という 論文を書いたことで知られています。この論文は元々13巻ありましたが、最初の6巻しか現存していません。[ 35 ] 『算術』 は、代数によって算術問題を解く現存する最古の著作です。しかし、ディオファントスは代数の方法を発明したわけではなく、代数は彼以前から存在していました。[ 36 ] [ 37 ]
現代代数学では、多項式は、べき乗、スカラー乗算、加算、減算で構成される変数 x の線形結合です。ディオファントスの代数学は、中世アラビア代数学と同様に、演算のない異なるタイプのオブジェクトの集合です[ 38 ]
例えば、ディオファントスでは多項式「6 4 ′ 逆べき乗、9 単位を欠いた 25 べき乗」は、現代の記法では6 1 4 x − 1 + 25 x 2 − 9 {\displaystyle 6{\tfrac {1}{4}}x^{-1}+25x^{2}-9} 6 1 4 {\displaystyle 6{\tfrac {1}{4}}} [ 39 ]
中世アラビアの代数学と同様に、ディオファントスは代数学を用いて問題を解決するために3つの段階を用います。
1) 未知数を特定し、方程式を立てる
2) 方程式が標準形に簡略化される（アラビア語では al-jabr および al-muqābala）
3) 簡略化された方程式を解く[ 40 ]
ディオファントスは、現存する算術の部分でアル・フワーリズミーのように方程式を6種類に分類していません。彼は後で3項方程式の解法を示すと述べているので、この部分は単に失われている可能性があります[ 37 ]。
ディオファントスは『算術』 において、未知の数を表す記号や、数のべき乗、関係、演算を表す略語を初めて使用した。[ 41 ] こうして彼は、現在ではシンコペーション 代数として知られるものを使用した。ディオファントスのシンコペーション代数と現代の代数記法の主な違いは、前者には演算、関係、指数を表す特別な記号がなかったことである。[ 42 ]
例えば、次のように書きます
x 3 − 2 x 2 + 10 x − 1 = 5 、 {\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,} これは次のように書き換えることができます
（ x 3 1 + x 10 ） − （ x 2 2 + x 0 1 ） = x 0 5 、 {\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5,} ディオファントスのシンコペーション記譜法では次のように書かれるだろう
K υ α ¯ ζ 私 ¯ ⋔ Δ υ β ¯ M α ¯ {\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;} ἴ σ M ε ¯ {\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon }}} ここで、記号は以下を表します。[ 43 ] [ 44 ]
現代の記法とは異なり、係数は変数の後に続き、加算は項の並置によって表されます。ディオファントスのシンコペーション方程式を現代の記号方程式に文字通り記号ごとに翻訳すると次のようになります。[ 43 ]
x 3 1 x 10 − x 2 2 x 0 1 = x 0 5 {\displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5} 明確にするために、現代の括弧とプラス記号を使用すると、上記の式は次のように書き換えることができます。[ 43 ]
（ x 3 1 + x 10 ） − （ x 2 2 + x 0 1 ） = x 0 5 {\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5} しかし、「修辞代数」、「シンコペーション代数」、「記号代数」の区別は、ジェフリー・オークスとジーン・クリスティアニディスによって時代遅れとみなされている。問題はダストボード上で何らかの記号を用いて解かれ、書籍では「修辞的スタイル」で解答が書かれていた。[ 45 ]
Arithmetica では 次の恒等式も利用しています: [ 46 ]
インド インドの数学者たちは数体系の研究に熱心に取り組んでいた。知られている最古のインドの数学 文書は紀元前1千年紀中頃（紀元前6世紀頃）に遡る。[ 47 ]
インド数学における繰り返し登場するテーマとしては、とりわけ、確定型および不確定型の線形および二次方程式、単純な測定、ピタゴラス数などが挙げられる。[ 48 ]
アーリヤバタ アリヤバータ (476–550) はインドの数学者で、『Aryabhatiya』 [ 49 ]
1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = n （ n + 1 ） （ 2 n + 1 ） 6 {\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}} そして
1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = （ 1 + 2 + ⋯ + n ） 2 {\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}}
バースカラ2世 （1114年頃 - 1185年頃）は12世紀を代表する数学者でした。代数学では、ペル方程式 の一般解を与えました。[ 52 ] 『リラヴァティ』 『ヴィジャ・ガニタ』 の著者であり[ 48 ] [ 53 ] 『リラヴァティ 』と『ヴィジャ・ガニタ』 の問題の多くは他のヒンドゥー教の文献から派生しているため、バースカラは不確定解析を扱う際に最も力を発揮します。[ 53 ]
バースカラは、色の名前の最初の記号を未知変数の記号として使用します。たとえば、今日私たちが書くような
（ − x − 1 ） + （ 2 x − 8 ） = x − 9 {\displaystyle (-x-1)+(2x-8)=x-9} バースカラは次のように書いただろう
. _ . や 1 ru 1 。 ya 2 ru 8 。 合計1 ru 9 ここで「ya」は 「黒」 という単語の最初の音節を表し、「ru」は 「種」という 単語から取られています。数字の上の点は引き算を表します。
イスラム世界 完成とバランスによる計算に関する簡潔な本 イスラム教 アラブ帝国 の最初の世紀には、アラブ人が新たに征服した帝国でまだ知的意欲を持たず、世界の他の地域での研究も衰退していたため、科学的または数学的な成果はほとんど見られなかった。8 世紀後半になると、イスラム教は文化的に覚醒し、数学と科学の研究が増加した。[ 54 ] アッバース朝の カリフ、 アル・マムーン(809-833) は、アリストテレスが夢に現れたと言われており、その結果、アル・マムーンはプトレマイオスの『アルマ ゲスト』 やユークリッドの『原論』 など、できるだけ多くのギリシャ語の著作をアラビア語に翻訳するように命じた。ギリシャ語の著作は、両帝国が不安定な平和を保っていたため、条約と引き換えにビザンツ帝国 からイスラム教徒に提供された。 [ 54 ] タビト・イブン・クッラ （826-901）によって翻訳された。[ 55 ]
アラビアの数学者たちは代数学を独立した学問分野として確立し、「代数学」（アル＝ジャブル ）という名前を与えた。彼らは代数学を初歩的な形 で、かつそれ自体を目的として教えた最初の人々であった。 [ 56 ] [ 57 ]
アラブ人は権力を握っていた間、完全に修辞的な代数を使用しており、数字さえも言葉で綴られることが多かった。アラブ人は最終的に綴られた数字（例：22）をアラビア数字（例：22 ）に置き換えることになるが、アラブ人がシンコペーション代数や 記号 13 イブン・アル＝バンナ の研究、そして15世紀にアブー・アル＝ハサン・イブン・アリー・アル＝カラサーディーの研究まで待たなければならなかった [55]。
アル・ジャブル・ワ・アル・ムカバラ イスラム の ペルシャ ・ イブン ・ムーサー・アル＝フワーリズミー は 、代 数学 の父と呼ばれることもあり、バグダッドにあるアル ＝ マムーンが設立した「知恵の家」（ バイト・アル＝ヒクマ ） の 西暦 850 年頃 6 冊 以上 の 。 アル ＝フワーリズミーの最も有名な著作の1つは、 『アル＝ジャブル・ワ アル＝ムカバラ』 、すなわち 『補完とバランスによる計算の簡潔な書』 2 次 の多項式 の解法を網羅的に解説している 。[ 64 ] この本では、「還元 」と「バランス」という基本的な概念も紹介されており、これは、引き算された項を方程式の反対側に移すこと、つまり、方程式の反対側の同類項を消去することを指します。これは、アル・フワーリズミーが元々アル・ジャブル と表現した操作です。[ 65 ] アル・ジャブル」に由来しています。
R・ラシェッドとアンジェラ・アームストロングは次のように書いています。
「アル・フワーリズミーのテキストは、バビロニアの粘土板 だけでなく、ディオファントス の『算術』 問題に関するものではなく、基本的な用語から始まる 解説 であり、その組み合わせは方程式のあらゆる可能な原型を与えなければならず、それによって、方程式が明確に研究の真の対象となる。一方、方程式そのもののための方程式という考え方は最初から現れており、ある意味では一般的な方法で現れていると言える。なぜなら、それは単に問題を解く過程で現れるのではなく、無限のクラスの問題を定義するために具体的に求められるからである。」[ 66 ]
アル・ジャブルは6つの章に分かれており、各章は異なる種類の公式を扱っている。 アル・ジャブル の第1章は、平方根に等しい方程式を扱っている。（ 1 x 2 = b x ） 、 {\displaystyle \left(ax^{2}=bx\right),} （ 1 x 2 = c ） 、 {\displaystyle \left(ax^{2}=c\right),} （ b x = c ） 、 {\displaystyle \left(bx=c\right),} （ 1 x 2 + b x = c ） 、 {\displaystyle \left(ax^{2}+bx=c\right),} （ 1 x 2 + c = b x ） 、 {\displaystyle \left(ax^{2}+c=bx\right),} （ b x + c = 1 x 2 ） 。 {\displaystyle \left(bx+c=ax^{2}\right).} [ 67 ]
14世紀のアラビア語版の書籍から抜粋したページで、2つの二次方程式の幾何学的解が示されている。 アル・ジャブル では、アル・フワーリズミーは幾何学的証明を使用しているが、[ 17 ] x = 0 、 {\displaystyle x=0,} [ 67 ] [ 68 ] 判別式 平方完成 の方法を説明したが、その手順を正当化していない。 [ 69 ] ギリシャの影響は、アル・ジャブルの 幾何学的基礎[ 57 ] [ 70 ] [ 71 ] [ 17 ]
アル・フワーリズミーは、おそらくディオファントスの『算術』 [ 72 ]を知らなかったと思われます 。 [ 73 ] ブラフマグプタの 著作を知っていた可能性が高いにもかかわらず、『アル・ジャブル』 は完全に修辞的であり、数字さえも言葉で綴られています。[ 72 ]
x 2 + 10 x = 39 {\displaystyle x^{2}+10x=39} ディオファントスは次のように書いただろう[ 74 ]
Δ Υ α ¯ ς 私 ¯ {\displaystyle \Delta ^{\Upsilon }{\overline {\alpha }}\varsigma {\overline {\iota }}\,\;} ἴ σ M λ θ ¯ {\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} \lambda {\overline {\theta }}} そしてアル＝フワーリズミーは次のように書いただろう[ 74 ]
1平方と、その平方根10個を足すと39ディルハム
混合方程式における論理的必然性 アブド・アル＝ハミード・イブン・トゥルクは『 混合方程式における論理的必然性』 という題名の写本を著したが、これはアル＝フワーリズミーの『アル＝ジャブル』と非常によく似ており、 『アル＝ジャブル』 とほぼ同時期、あるいはそれ以前に出版された可能性もある。[ 73 ] 『アル＝ジャブル』に見られるのと全く同じ幾何学的証明を示しており、ある箇所では 『アル＝ジャブル』 に見られるのと同じ例を示し、判別式が負であれば二次方程式に解がないことを幾何学的に証明することで『アル＝ジャブル』をも凌駕している。 [ 73 ] [ 73 ]
参考文献 ↑ ボイヤー（1991年 ：229） ↑ Jeffrey A. Oaks; Haitham M. Alkhateeb (2007). "アラビア語代数における方程式の簡略化". Historia Mathematica . 34 : 45– 61. doi : 10.1016/j.hm.2006.02.006 . ISSN 0315-0860 . ↑ （ ボイヤー 1991 、「ギリシャ数学の復興と衰退」180ページ） 「代数学の歴史的発展には、次の3つの段階が認められると言われている。（1）修辞的または初期段階。この段階では、すべてが言葉で完全に記述される。（2）省略形または中間段階。この段階では、いくつかの略語が採用される。（3）記号的または最終段階。代数学の発展をこのように恣意的に3つの段階に分けることは、もちろん安易な単純化であるが、実際に何が起こったのかを概観する上で、効果的な第一歩となる。」↑ （ ボイヤー 1991 、「メソポタミア」32ページ） 「近代まで、次の形式の二次方程式を解くという考えはなかったx 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} x 2 + p x = q {\displaystyle x^{2}+px=q} x 2 = p x + q {\displaystyle x^{2}=px+q} x 2 + q = p x {\displaystyle x^{2}+q=px} ↑ Katz, Victor J.; Barton, Bill (2007年10月)、「代数学の歴史における段階と教育への示唆」、 Educational Studies in Mathematics 、 66 (2): 185–201 、 doi : 10.1007/s10649-006-9023-7 、 S2CID 120363574 ↑ ストライク、ダーク・J. (1987). 数学簡史 . ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-60255-4 。1 2 3 4 5 ( Boyer 1991 、「メソポタミア」p. 30) 「バビロニアの数学者は、中間値を近似するために比例部分による補間をためらわなかった。線形補間は古代メソポタミアでは一般的な手順であったようで、位置記法は3の法則に都合よく適していた。[...] バビロニア代数に不可欠な表。この分野はエジプトよりもメソポタミアでかなり高いレベルに達した。古バビロニア時代の多くの問題集は、完全な3項二次方程式の解法がバビロニア人にとって深刻な困難をもたらさなかったことを示している。柔軟な代数演算が開発されていたからである。彼らは等号同士を足し合わせることで方程式の項を転置することができ、分数を 消去したり因数を消去するために両辺に同じ量を掛け合わせる ことができた。4 1 b {\displaystyle 4ab} （ 1 − b ） 2 {\displaystyle (a-b)^{2}} （ 1 + b ） 2 {\displaystyle (a+b)^{2}} ↑ ジョイス、デイビッド E. (1995)。 「プリムプトン 322」 。 コロンビア大学の GA プリムプトン コレクションにあるカタログ番号 322 の粘土板は、おそらく最もよく知られた数学の粘土板であり、間違いなく最も多く写真に撮られたものですが、さらに大きな名声に値します。これは紀元前 1900 年～ 1600 年の間の古バビロニア時代に書かれ、ギリシャ数学の発展以前の最も高度な数学を示しています。 ↑ （ ボイヤー 1991 、「メソポタミア」31ページ） 「3項二次方程式の解法は、エジプト人の代数能力をはるかに超えていたように思われるが、ノイゲバウアーは1930年に、そのような方程式はバビロニア人が最古の問題集の中で効果的に扱っていたことを明らかにした。」1 2 ( ボイヤー 1991 、「メソポタミア」33ページ) 「エジプトでは三次方程式の解法に関する記録はないが、バビロニアでは多くの例がある。[...] バビロニア人が一般的な4項三次方程式ax 3 + bx 2 + cx = d を通常の形式に簡約できたかどうかは不明である。」↑ （ ボイヤー 1991 、「エジプト」11ページ） 「このパピルスは1959年にスコットランドの古物研究家ヘンリー・リンドによってナイル川沿いのリゾート地で購入された。そのため、リンド・パピルスと呼ばれることが多く、また、紀元前1650年頃に筆写した書記にちなんで、あまり一般的ではないが、アハメス・パピルスと呼ばれることもある 。書記によると、このパピルスは紀元前2000年から1800年頃の中王国時代の原型に由来するものだという 。」↑ （ ボイヤー 1991 、「エジプト」19ページ） 「エジプトの数学に関する情報の多くは、古代エジプトで最も広範な数学文書であるリンド・パピルスまたはアハメス・パピルスから得られたものですが、他にも情報源があります。」1 2 ( ボイヤー 1991 、「エジプト」15-16頁) 「これまで述べてきたエジプトの問題は算術に分類するのが最も適切だが、代数的という用語が適切に適用されるクラスに属する問題もある。これらはパンやビールといった具体的な対象物に関するものではなく、既知の数に対する演算も必要としない。代わりに、次のような形式の線形方程式の解に相当するものを必要とする。x + 1 x = b {\displaystyle x+ax=b} x + 1 x + b x = c {\displaystyle x+ax+bx=c} ↑ ビル・カッセルマン 。 「ユークリッドの現存する最古の図の1つ」 。ブリティッシュコロンビア大学。 2008年9月26日 取得 。 1 2 3 4 5 ( Boyer 1991 、「アレクサンドリアのユークリッド」p.109) 「『 原論 』第2巻は短いもので、命題はわずか14個しか含まれておらず、現代の教科書ではどれも役に立たないものの、ユークリッドの時代にはこの書は非常に重要なものでした。古代と現代の見解のこの大きな相違は簡単に説明できます。今日では、ギリシャの幾何学的等価物に代わる記号代数と三角法が存在するからです。例えば、第2巻の命題1は、「2本の直線があり、そのうちの1本を任意の数の線分に分割した場合、2本の直線で囲まれた長方形は、分割されていない直線と各線分で囲まれた長方形の合計に等しい」と述べています。この定理は、(図7.5) AD (AP + PR + RB) = AD·AP + AD·PR + AD·RB を主張していますが、これは、今日分配法則として知られる算術の基本法則の1つを幾何学的に表現したものにすぎません。 法：1 （ b + c + d ） = 1 b + 1 c + 1 d 。 {\displaystyle a(b+c+d)=ab+ac+ad.} 『原論』 の後半の巻（第5巻と第7巻）では、乗法の交換法則と結合法則の証明が見られます。現代では、大きさは（既知または未知の）数として理解される文字で表され、代数のアルゴリズム規則に従って操作されますが、ユークリッドの時代には、大きさは幾何学の公理と定理を満たす線分として描かれていました。ギリシャ人は代数を持っていなかったと主張されることがありますが、これは明らかに誤りです。彼らは『原論』第2巻を持っており、これは幾何代数 であり、現代の記号代数とほぼ同じ目的を果たしていました。現代の代数が大きさ間の関係の操作を大いに容易にしていることは疑いようがありません。しかし、ユークリッドの「代数」の14の定理に精通したギリシャの幾何学者は、これらの定理を実際の測定に適用することに、現代の熟練した幾何学者よりもはるかに長けていたこともまた間違いありません。古代の幾何学的「代数」は理想的な道具ではなかったが、決して無益ではなかった。ユークリッドの命題4「直線を無作為に切断すると、全体の正方形は切断された線分の正方形の合計に等しく、線分によって囲まれた長方形の2倍になる」は、次のように冗長に述べている。（ 1 + b ） 2 = 1 2 + 2 1 b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}} 1 2 3 ( Boyer 1991 、「英雄時代」77-78頁) 「演繹が紀元前6世紀に数学に導入されたのか、それとも4世紀に導入されたのか、また、通約不可能性が 紀元前400年以前に発見されたのか、それ以降に発見されたのかはともかく、ギリシャ数学がプラトンの時代までに劇的な変化を遂げていたことは疑いようがない。[...] 古い「算術代数」に代わって「幾何代数」が必要となり、この新しい代数では、線を面積に加算したり、面積を体積に加算したりすることはできなかった。今後は、方程式の項に厳密な同質性が必要となり、メソポタミア標準形、x y = A 、 x ± y = b 、 {\displaystyle xy=A,x\pm y=b,} 原論』 で完全に扱われている。[...]線形方程式1 x = b c 、 {\displaystyle ax=bc,} 1 x {\displaystyle ax} b c 、 {\displaystyle bc,} 1 : b {\displaystyle a:b} c : x 。 {\displaystyle c:x.} x {\displaystyle x} b = OB、c = OC の長方形 OCDB を作図し（図 5.9）、次に OC に沿って OA = a を描きます。長方形 OCDB を完成させ、CD と交わる対角線 OE を点 P で描きます。これで、CP が目的の線であることが明らかになります。x 、 {\displaystyle x,} 1 2 3 ( ボイヤー 1991 、「中世ヨーロッパ」258ページ) 「ユークリッドの『原論』第7 巻 から第9巻の算術定理では、数字は文字が付けられた線分で表され、アル＝フワーリズミーの『代数学』の幾何学的証明では文字付きの図が用いられた。しかし、『 代数学』 で使用される方程式の係数はすべて、数字で表されようと文字で書かれようと、具体的な数である。アル＝フワーリズミーの説明には一般性の概念が暗示されているが、幾何学では容易に得られる一般的な命題を代数的に表現する体系は彼にはなかった。」1 2 3 ( ヒース 1981a 、「ティマリダスの（「開花」」94-96頁) すでに述べた古代ピタゴラス派のパロスのティマリダス（69頁）は、ある一連の問題を解くための規則の著者であった。n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} x 、 x 1 、 x 2 、 … 、 x n − 1 、 {\displaystyle x,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},} ↑ （ フレッグ 1983 、「未知の数」p. 205） 「ティマリダス（4世紀）は、特定のセットを解くためのこのルールを持っていたと言われている。n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} 1 / （ n − 2 ） {\displaystyle 1/(n-2)} 1 2 3 ( ボイヤー 1991 、「アレクサンドリアのユークリッド」100ページ) 「しかし 紀元前306年までに、帝国のエジプト部分はプトレマイオス1世の手にしっかりと握られ、この啓蒙的な統治者は建設的な取り組みに力を注ぐことができた。彼の初期の業績の一つは、アレクサンドリアに当時比類のない学校または研究所、すなわち博物館を設立したことである。彼はその学校の教師として、一流の学者たちを招集したが、その中には、史上最も驚異的な成功を収めた数学教科書であるユークリッドの『原論』 （ストイキア ）の著者もいた。著者の名声とベストセラーの評判を考えると、ユークリッドの生涯については驚くほど知られていない。彼の生涯はあまりにも謎に包まれており、彼の名前と結びつく出生地は存在しない。」↑ （ ボイヤー 1991 、「アレクサンドリアのユークリッド」101ページ） 「アレクサンドロス大王が幾何学の簡単な入門を求めた際に述べた上記の話は、プトレマイオスの場合にも繰り返され、ユークリッドはプトレマイオスに「幾何学への王道はない」と断言したと伝えられている。」↑ （ ボイヤー 1991 、「アレクサンドリアのユークリッド」104ページ） 「教員の中には研究に秀でた者もいれば、管理者としての資質に長けた者もおり、また教育能力に優れた者もいた。我々が知る限り、ユークリッドは間違いなく最後のカテゴリーに属していたようだ。彼に帰せられる新たな発見はないが、彼は説明能力に優れていたことで知られている。」↑ （ ボイヤー 1991 、「アレクサンドリアのユークリッド」104ページ） 「『原論』は、時折考えられているように、すべての幾何学的知識を網羅した集成書ではなく、むしろすべての 初等 数学を網羅した入門書であった。」↑ （ ボイヤー 1991 、「アレクサンドリアのユークリッド」p. 110） 「同じことが原論 II.5にも当てはまる。そこには、我々が非現実的な遠回しな表現とみなすべきものが含まれている。1 2 − b 2 = （ 1 + b ） （ 1 − b ） {\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)} ↑ （ ボイヤー 1991 、「アレクサンドリアのユークリッド」111ページ） 「全く同様の方法で、二次方程式1 x + x 2 = b 2 {\displaystyle ax+x^{2}=b^{2}} 1 x + x 2 = 1 2 {\displaystyle ax+x^{2}=a^{2}} 1 2 3 ( ボイヤー 1991 、「アレクサンドリアのユークリッド」p. 103) 「ユークリッドのデータ」 は、ギリシャ語とアラビア語の両方で現代に伝わっている著作です。アレクサンドリアの学校で使用するために作成されたようで、教科書を補足する表集のように、『原論』 の最初の6巻の補助書として機能していました。[...] 本書は、大きさと軌跡に関する15の定義から始まります。本文は、問題で与えられる可能性のある条件と大きさの意味に関する95の記述で構成されています。[...] 代数的な規則または公式として機能する同様の記述が約20個あります。[...] いくつかの記述は、二次方程式の解の幾何学的等価物です。たとえば[...] 消去y {\displaystyle y} （ 1 − x ） d x = b 2 c {\displaystyle (a-x)dx=b^{2}c} d x 2 − 1 d x + b 2 c = 0 、 {\displaystyle dx^{2}-adx+b^{2}c=0,} x = 1 2 ± （ 1 2 ） 2 − b 2 （ c d ） 。 {\displaystyle x={\frac {a}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-b^{2}\left({\frac {c}{d}}\right)}}.} x y = 1 2 、 x ± y = b 、 {\displaystyle xy=a^{2},x\pm y=b,} ↑ （ ボイヤー 1991 、「ユークリッド幾何学の総合」103ページ） 「エウトキオスとプロクロスはともに、円錐曲線の発見を紀元前4世紀後半にアテネに住んでいたメナエクモスに帰している。プロクロスはエラトステネスの言葉を引用して、「メナエクモスの円錐曲線の三つ組」に言及している。この引用は「直角円錐の断面」と「鋭角円錐の断面」についての議論の直後にあるため、円錐曲線は円錐をその要素の一つに垂直な平面で切断することによって生成されたと推測される。円錐の頂角が鋭角の場合、結果として得られる断面（オキシトーム と呼ばれる）は楕円になる。角度が直角の場合、断面（オルソトーム ）は放物線になり、角度が鈍角の場合、断面（アンブリトーム ）は双曲線になる（図5.7参照）。」1 2 ( Boyer 1991 、「プラトンとアリストテレスの時代」94-95ページ) 「OP = y 、OD = x が点Pの座標である場合、y 2 = R {\displaystyle y^{2}=R} y 2 = R'D.OV = AR'.BC/AB.DO.BC/AB = AR'.BC 2 /AB 2 。x 曲線 EQDPG 上のすべての点 P に対してセグメント AR'、BC、および AB が同じであるため、曲線の方程式、つまり「直角円錐の断面」を次のように書くことができます。y 2 = l x 、 {\displaystyle y^{2}=lx,} l {\displaystyle l} 1 、 {\displaystyle a,} 1 {\displaystyle a} 2 1 。 {\displaystyle 2a.} 1 2 ( Boyer 1991 、「中国とインド」、pp. 195–197) 「一般的に数学の古典の中で最も古いと考えられている周培算経 に関する推定は、ほぼ千年もの差がある。[...]紀元前 300 年頃という年代は妥当と思われるため、250年頃、つまり漢王朝 (紀元前 202 年) の直前に書かれた別の論文である『邱昌算書』 とほぼ同年代である。[...]周培算経 とほぼ同じくらい古く、おそらく中国の数学書の中で最も影響力のあるものが『邱昌算書』 、または『九章算術』である。この本には、測量、農業、パートナーシップ、工学、課税、計算、方程式の解法、直角三角形の性質に関する 246 の問題が含まれている。[...] 九章算書 の第 8 章本書は、正負両方の数を用いて連立一次方程式を解く点で重要である。章末の問題は、5つの未知数を含む4つの方程式に関するものであり、不定方程式というテーマは東洋の人々の間で根強い人気を博した。 1 2 ( Boyer 1991 、「中国とインド」p. 204) 「李志（または李葉、1192–1279）は北京の数学者で、1206年にフビライ・ハンから官職を提示されたが、丁重に辞退した。彼の『円 測海鏡 』には、4次方程式につながる問題を含む170問が収録されている。6次方程式を含むいくつかの方程式の解法については記述していないが、楚世傑やホーナーが用いた方法とそれほど違いはなかったと思われる。ホーナー法を用いた他の人物としては、秦秋少（1202年頃–1261年頃）と楊輝（1261年頃–1275年頃活躍）がいる。前者は、無節操な知事兼大臣で、就任後100日以内に莫大な富を築いた。彼の著書『書書 九章 』は、連立合同式の解法を考案した点で、中国の不定解析の頂点を極めた。1 2 ( Boyer 1991 、「中国とインド」p. 197) 「中国人は特にパターンを好んだ。そのため、魔方陣の最初の記録（古代のもので起源は不明）が中国に現れたのも不思議ではない。[...] このようなパターンへの関心から、九章の著者は連立一次方程式のシステムを解くことになった。[...] 行列に対して列操作を行うことで、[...] それを[...] に簡略化した。2 番目 の形式は方程式を表している。」36 z = 99 、 5 y + z = 24 、 {\displaystyle 36z=99,5y+z=24,} 3 x + 2 y + z = 39 {\displaystyle 3x+2y+z=39} z 、 y 、 {\displaystyle z,y,} x {\displaystyle x} ↑ （ ボイヤー 1991 、「中国とインド」204-205頁） 「同じ「ホーナー」の手法は楊輝によっても用いられた。楊輝の生涯についてはほとんど何も知られておらず、その業績も一部しか現存していない。現存する彼の業績の中には、3次を超える最古の中国の魔方陣があり、4次から8次までの魔方陣がそれぞれ2つ、9次と10次の魔方陣がそれぞれ1つ含まれている。」↑ （ ボイヤー 1991 、「中国とインド」203ページ） 「宋代最後の偉大な数学者は楚致傑（ 1280～1303年頃活躍 ）であったが、彼についてはほとんど知られていない。[...] 歴史的にも数学的にもより興味深いのは、1303年の『四元玉鑑』である。これ も 18世紀に中国で姿を消し、翌世紀に再発見された。天、地、人、物質と呼ばれる四元は、同一の方程式における4つの未知量の表現である。この書は、連立方程式や14次までの方程式を扱っており、中国代数学の発展の頂点を示している。著者は、この書の中で「扇法」 と呼ばれる変換法について述べている。その要素は中国でずっと以前に生じたものであるが、一般には半千年後に生きたホーナーの名で呼ばれている。」1 2 ( ボイヤー 1991 、「中国とインド」p. 205) 「 『宝鏡』 に見られる多くの級数の総和のうち、いくつか例を挙げると次のとおりである。[...] しかし、証明は示されておらず、このテーマは19世紀頃まで中国で再び取り上げられることはなかったようである。[...]『宝鏡』 は、西洋では不適切にも「パスカルの三角形」として知られる算術三角形の図から始まる。（図を参照。）[...] 楚は三角形の功績を否定し、それを「8乗以下のべき乗を求める古い方法の図」と呼んでいる。6乗までの係数の同様の配置は楊輝の著作にも見られたが、丸いゼロ記号はなかった。」↑ （ ボイヤー 1991 、「ギリシア数学の復興と衰退」178ページ） ディオファントスの生涯については不確実性が非常に高く、彼が何世紀に生きたのかはっきりとは分かっていません。一般的には西暦250年頃に活躍したと考えられていますが、それより1世紀以上前または後の年代が示唆されることもあります[...] この難問が歴史的に正確であれば、ディオファントスは84歳まで生きたことになります[...] 我々に知られているディオファントスの主要な著作は『算術』 であり、元々は13巻からなる論文でしたが、現存するのは最初の6巻のみです。」↑ オークス、ジェフリー。クリスティナディス、ジーン。 ディオファントスの算術 完全な翻訳と解説 。 p. 80. 1 2 3 オークス、ジェフリー。クリスティナディス、ジャン (2013)。 「古代後期の代数学の実践: アレクサンドリアのディオファントスの問題解決 」 ヒストリア マセマティカ 。 40 (2): 158–160 。 土井 : 10.1016/j.hm.2012.09.001 。 ↑ オークス、ジェフリー。クリスティナディス、ジャン (2013)。 「古代後期の代数学の実践: アレクサンドリアのディオファントスの問題解決 」 ヒストリア マセマティカ 。 40 ：150。 ↑ オークス、ジェフリー。クリスティナディス、ジャン (2023)。 ディオファントスの算術 完全な翻訳と解説 。 51～ 52ページ 。 ↑ オークス、ジェフリー。クリスティナディス、ジャン (2021)。 ディオファントスの算術 完全な翻訳と解説 。 53～ 66ページ 。 ↑ （ ボイヤー 1991 、「ギリシア数学の復興と衰退」180-182頁） 「この点において、初期のアレクサンドリア時代 の偉大な古典と比較できるが、実際にはそれら、あるいは伝統的なギリシア数学とはほとんど共通点がない。本質的に新しい分野であり、異なるアプローチを採用している。幾何学的手法から切り離されているため、バビロニア代数学に大きく似ている。しかし、バビロニアの数学者が主に3次までの確定方程式の 近似 解に関心を寄せていたのに対し、ディオファントスの『算術』 （現存するもの）は、確定方程式 と不確定 方程式の両方の厳密解にほぼ完全に専念している。[...] 現存する 『算術』 の6巻全体を通して数のべき乗や関係、演算を表す略語が体系的に用いられている。未知数はギリシア文字ζに似た記号で表される。」 （おそらくarithmosの最後の文字にちなんで）。[…] これはむしろ約150問の問題集であり、すべて具体的な数値例を用いて解かれているが、おそらく方法の一般化が意図されていたのだろう。仮説の展開はなく、すべての可能な解を見つけようとする努力もなされていない。2つの正の根を持つ二次方程式の場合、大きい方の根のみが示され、負の根は認識されていない。確定問題と不確定問題の明確な区別はなく、後者（一般的に解の数は無限である）でさえ、単一の答えしか示されていない。ディオファントスは、複数の未知数を含む問題を、可能な限りすべての未知量をそのうちの1つだけで巧みに表現することによって解決した。1 2 ( Boyer 1991 、「ギリシャ数学の復興と衰退」p. 178) 「ディオファントス式記法と現代の代数記法の主な違いは、演算や関係を表す特別な記号、および指数記法がないことである。」1 2 3 ( ダービーシャー 2006 、「代数学の父」35-36ページ) ↑ （ クック 1997 、「ローマ帝国の数学」167-168ページ） ↑ オークス、ジェフリー; クリスティアニディス、ジーン( 2023)。 ディオファントスの算術 完全翻訳と解説 。78–79頁。この三区分には2つの大きな欠陥がある。第一に、書籍に書かれている言語は、必ずしも問題が解かれた言語ではない。アラビア語では、問題 は しばしば黒板やその他の一時的な表面に記譜法で解かれ、その後、書籍に含めるために修辞的なバージョンが作成された。また、アラビア語の記譜法は二次元的な性質を持つため、実際のまたは想像上の発話とは無関係に、視覚的に書かれ、読まれた。したがって、ネッセルマンの「記号的」カテゴリーにうまく当てはまる。一方、同じ作品の修辞的バージョンは「修辞的」に分類された。代数学のこれら2つの書き方は、代数学の発展の2つの段階を反映しているのではなく、同じ考えを表現する異なる方法である。第二に、ネッセルマンは前近代代数学と近代代数学の概念的な違いを認識していなかったため、ヴィエトやデカルトの時代に起こった、記号の解釈方法における根本的な変化を含む飛躍を理解することができなかった。 ↑ （ ボイヤー 1991 、「中世ヨーロッパ」257ページ） 「この本は、ディオファントスに登場し、アラブ人によって広く使われていた人物像を頻繁に用いている。」↑ （ ボイヤー 1991 、「ヒンドゥー教の数学」197ページ） 「ヒンドゥー教の数学に関する現存する最古の文書は、紀元前1千年紀半ば、タレスとピタゴラスが生きていた頃とほぼ同時期に書かれた著作の写本である。[...]紀元前6世紀から」1 2 ( Boyer 1991 、「中国とインド」p. 222) 「『リヴァヴァンティ』 は、『ヴィジャ・ガニタ』 と同様に、ヒンドゥー教徒が好むテーマ、すなわち、確定式と不確定式の両方を含む線形方程式と二次方程式、簡単な測定、等差数列と等比数列、無理数、ピタゴラスの三つ組などに関する多数の問題を含んでいます。」↑ （ ボイヤー 1991 、「ヒンドゥー教徒の数学」207ページ） 「彼は、正の整数の初期区間の平方と立方の合計について、より洗練された規則を示した。項数、項数＋1、項数の2倍＋1からなる3つの量の積の6分の1が平方の和である。級数の和の平方が立方の合計である。」↑ （ ボイヤー 1991 、「中国とインド」p. 219） 「アーリヤバタの1世紀強後に中央インドに住んでいたブラフマグプタ（628年頃活躍）は、彼の最も有名な著作であるブラフマスプタ・シッダーンタ の三角法において、 2つの根を持つ二次方程式の一般解、さらにはそのうちの1つが負の場合も含む解を見出している。」↑ （ ボイヤー 1991 、「中国とインド」p. 220） 「ヒンドゥー代数学は、ブラフマグプタがいくつかの貢献をした不定解析の発展において特に注目に値する。例えば、彼の著作には、次のような形で表されたピタゴラスの三つ組の形成規則が見られる。m 、 1 / 2 （ m 2 / n − n ） 、 1 / 2 （ m 2 / n + n ） {\displaystyle m,1/2\left(m^{2}/n-n\right),1/2\left(m^{2}/n+n\right)} 1 2 3 4 ( Boyer 1991 、「中国とインド」p. 221) 「彼は線形ディオファントス方程式の一般 解を最初に与えた人物である。」1 x + b y = c 、 {\displaystyle ax+by=c,} 1 、 b 、 {\displaystyle a,b,} c {\displaystyle c} は整数である。[...] ブラフマグプタは、線形ディオファントス方程式のすべての 整数解を与えた点で大いに評価されるべきである。一方、ディオファントス自身は、不定方程式の特定の解を一つ与えるだけで満足していた。ブラフマグプタがディオファントスと同じ例をいくつか用いたことから、インドにおけるギリシャの影響の可能性、あるいは両者が共通の源泉、おそらくバビロニアからのものを利用した可能性が再び見られる。ブラフマグプタの代数学は、ディオファントスの代数学と同様に、シンコペーション的であったことも興味深い。加算は並置によって、減算は減数の上に点を置くことによって、除算は除数を被除数の下に置くことによって示された。これは、我々の分数表記と同様であるが、横棒はない。乗算と進化（平方根を取ること）の演算、および未知数は、適切な単語の略語で表された。 [...] バースカラ（1114年頃 - 1185年頃）は、12世紀を代表する数学者であった。彼は、ペル方程式の一般解を与えたり、ゼロ除算の問題を考察したりするなど、ブラフマグプタの研究におけるいくつかの欠落部分を補った人物である。1 2 ( Boyer 1991 、「中国とインド」、222-223頁) 「円と球を扱う際、リラヴァティは正確な記述と近似的な記述を区別できていない。[...] リラヴァティ とヴィジャ・ガニタ におけるバースカラの多くの問題は、明らかに以前のヒンドゥー教の文献に由来している。したがって、著者が不確定解析を扱う際に最も力を発揮していることは驚くべきことではない。」1 2 3 ( ボイヤー 1991 、「アラビアの覇権」p. 227) 「イスラム帝国の最初の世紀は、科学的業績に乏しかった。この時期（およそ650年から750年）は、実際には数学の発展においておそらく最低の時期であった。アラブ人はまだ知的意欲を獲得しておらず、世界の他の地域では学問への関心が薄れていたからである。8世紀後半にイスラム世界で突然文化的な覚醒が起こらなければ、古代の科学と数学のかなりの部分が失われていただろう。[...] しかし、アル・マムーンのカリフ時代（809年～833年）に、アラブ人は翻訳への情熱を存分に発揮した。カリフはアリストテレスが現れる夢を見たと言われており、その結果、アル・マムーンはプトレマイオスの『アルマ ゲスト』 を含む、入手可能なすべてのギリシャ語の著作のアラビア語訳を作成することを決意した。」そして、ユークリッドの『原論』 の完全版も入手した。アラブ人はビザンツ帝国と不安定な平和関係を維持しており、平和条約を通じてギリシャ語の写本を入手した。アル＝マムーンはバグダッドに、古代アレクサンドリアの博物館に匹敵する「知恵の館」（バイト・アル＝ヒクマ）を設立した。教員の中には、数学者で天文学者のムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝フワーリズミーがいた。彼の名は、ユークリッドと同様、後に西ヨーロッパで広く知られるようになる。850年以前に亡くなったこの学者は、6冊以上の天文学と数学の著作を残しており、その初期のものは恐らくインド由来のシンドハド に基づいていたと考えられる。1 2 ( ボイヤー 1991 、「アラビアの覇権」p. 234) 「しかし、アル＝フワーリズミーの著作には、現代世界でその目的を効果的に果たすためには、取り除かなければならない重大な欠陥があった。修辞的な形式に代わる記号表記法を開発する必要があったのだ。アラブ人は、数字の単語を数字記号に置き換えることを除いて、この措置を決して取らなかった。[...] サービトは、特にギリシャ語とシリア語からの翻訳者の学派の創始者であり、ユークリッド、アルキメデス、アポロニウス、プトレマイオス、エウトキオスの著作をアラビア語に翻訳してくれた彼に、我々は多大な恩義を負っている。」1 2 ガンズとサロマン（1936）、『アル＝フワーリズミーの代数学の源泉』 、オシリス i、pp. 263–277: 「ある意味では、フワーリズミーはディオファントスよりも「代数学の父」と呼ばれるにふさわしい。なぜなら、フワーリズミーは代数学を初歩的な形で教えた最初の人物であり、ディオファントスは主に数の理論に関心を持っていたからである。」 1 2 ( ボイヤー 1991 、「アラビアの覇権」p. 230) 「アル・フワーリズミーは続けてこう述べている。「数に関しては、6種類の等式について十分に述べてきた。しかし、今や、数で説明したのと同じ問題の真実性を幾何学的に証明する必要がある。」この一節の響きは、明らかにバビロニアやインドではなく、ギリシャ的である。したがって、アラビア代数学の起源については、主に3つの学派が存在する。1つはヒンドゥー教の影響を強調し、もう1つはメソポタミア、あるいはシリア・ペルシアの伝統を強調し、3つ目はギリシャの影響を指摘する。おそらく、これら3つの理論を組み合わせれば、真実に近づくことができるだろう。」↑ （ ボイヤー 1991 、「アラビアの覇権」228-229頁） 「著者のアラビア語による序文は、預言者ムハンマドと『信徒の長』アル＝マムーンを惜しみなく称賛している。」↑ コービン、ヘンリー（1998）。 『航海と使者：イランと哲学』 ノース・アトランティック・ブックス、 44 ページ 。ISBN 978-1-55643-269-9 2023年3月28日にオリジナルからアーカイブされました。2020年 10月19日 に取得 。↑ Boyer, Carl B., 1985. A History of Mathematics , p. 252. Princeton University Press. 「ディオファントスは代数学の父と呼ばれることもあるが、この称号はアル＝ホワリズミにこそふさわしい…」、「…『アル＝ジャブル』は、ディオファントスやブラフマグプタの著作よりも、今日の初等代数学に近い…」 ↑ S・ガンズ、「アル＝フワーリズミーの代数学の源泉」、オシリス、i（1936）、263-277、「アル＝フワーリズミーの代数学は、諸科学の基礎であり礎石とみなされている。ある意味では、アル＝フワーリズミーはディオファントスよりも「代数学の父」と呼ばれるにふさわしい。なぜなら、アル＝フワーリズミーは代数学を初歩的な形で教えた最初の人物であり、ディオファントスは主に数の理論に関心を寄せていたからである。」 ↑ Katz, Victor J. 「代数学の歴史における段階と教育への示唆」 （PDF） 。VICTOR J. KATZ、コロンビア特別区大学、ワシントンDC ：190。 2019年3月27日に オリジナル （PDF） からアーカイブ。 2017年 10月7日 に コロンビア特別区大学（ワシントンDC、米国）経由で 取得。 現存する最初の真の代数学のテキストは、825年頃にバグダッドで書かれたムハンマド・イブン・ムーサ・アル＝フワーリズミによるアル＝ジャブルとアル＝ムカバラに関する著作である。 ↑ エスポジート、ジョン・L. (2000). 『オックスフォード・イスラム史』 オックスフォード大学出版局、 188ページ 。ISBN 978-0-19-988041-6 . 2023年3月28日にオリジナルからアーカイブされました。2020年9月29日 に取得。アル・フワーリズミーは代数学の創始者とみなされることが多く、彼の名前はアルゴリズムという用語の由来となっています。 ↑ （ ボイヤー 1991 、「アラビアの覇権」228ページ） 「アラブ人は概して、前提から結論まで明快な議論と体系的な組織化を好んだ。この点において、ディオファントスもヒンドゥー教徒も優れていなかった。」1 2 ( Boyer 1991 、「アラビアの覇権」p. 229) 「 アル＝ジャブル とムカバラという 用語が正確に何を意味するのかは定かではないが、一般的な解釈は上記の翻訳で示唆されているものと似ている。アル＝ジャブル という言葉はおそらく「復元」または「完成」のような意味であり、論文で明らかになっているように、方程式の反対側に減算された項を移すことを指していると思われる。ムカバラ という言葉は「削減」または「均衡」、つまり方程式の反対側の同類項の相殺を指すと言われている。」1 2 Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994), The Development of Arabic Mathematics , Springer , pp. 11–12 , ISBN 978-0-7923-2565-9 OCLC 29181926 1 2 ( Boyer 1991 、「アラビアの覇権」p. 229) 「6 つの短い章で、3 種類の量から構成される 6 種類の方程式のうち、根、平方、および数 (つまり、x 、 x 2 、 {\displaystyle x,x^{2},} x 2 = 5 x 、 x 2 / 3 = 4 x 、 {\displaystyle x^{2}=5x,x^{2}/3=4x,} 5 x 2 = 10 x 、 {\displaystyle 5x^{2}=10x,} x = 5 、 x = 12 、 {\displaystyle x=5,x=12,} x = 2 {\displaystyle x=2} x = 0 {\displaystyle x=0} ↑ （ ボイヤー 1991 、「アラビアの覇権」229-230頁） 「これらの解は、特定の事例に適用された『平方完成』のための『マニュアル』的な規則である。[...] いずれの場合も、正の解のみが与えられる。[...] また、根は1つしか与えられず、もう1つは負である。[...] 上記の6つの方程式の事例は、正の根を持つ線形方程式と二次方程式のすべての可能性を網羅している。」↑ （ ボイヤー 1991 、「アラビアの覇権」230ページ） 「アル＝フワーリズミーはここで、判別式として指定するものが正でなければならないという事実に注意を促している。「この形式の方程式の根の半分を取り、それをそれ自身で掛け合わせたとき、掛け合わせた結果が、平方に伴う上記の単位よりも小さい場合、方程式が得られることを理解すべきである。」[...] ここでもまた、平方完成の手順が、根拠もなく綿密に示されている。」↑ （ ボイヤー 1991 、「アラビアの覇権」p. 231） 「アル＝フワーリズミーの代数学は 紛れもないギリシャ的要素を示している」↑ （ ボイヤー 1991 、「アラビアの覇権」233ページ） 「アル＝フワーリズミーの問題のいくつかは、アラビアがバビロニア・ヘロンの数学の流れに依存していたことをかなり明確に示している。そのうちの1つは、おそらくヘロンから直接取られたものだろう。なぜなら、図形と寸法が同じだからである。」1 2 ( ボイヤー 1991 、「アラビアの覇権」p. 228) 「アル＝フワーリズミーの代数学は徹底的に修辞的で、ギリシャの算術 やブラフマグプタの著作に見られるようなシンコペーションは全くない。偶数も記号ではなく言葉で書かれていた！アル＝フワーリズミーがディオファントスの著作を知っていた可能性は極めて低いが、ブラフマグプタの著作の天文学的および計算的部分については少なくとも精通していたに違いない。しかし、アル＝フワーリズミーも他のアラビアの学者もシンコペーションや負の数を使用しなかった。」1 2 3 4 ( ボイヤー 1991 、「アラビアの覇権」p. 234) 「アル＝フワーリズミーの『代数学』 は通常、この主題に関する最初の著作とみなされているが、トルコで最近出版された書籍がこれに疑問を投げかけている。アブドゥルハミド・イブン・トゥルクの『混合方程式における論理的必然性』と題された著作の写本は、『アル＝ジャブル・ワ・アル＝ムカバラ』という書籍の一部であり、明らかにアル＝フワーリズミーの著作と非常によく似ており、ほぼ同時期、あるいはそれ以前に出版された。現存する『論理的必然性』の章は、アル＝フワーリズミーの 『代数学 』と全く同じタイプの幾何学的証明を示しており、ある箇所では同じ例を示しているx 2 + 21 = 10 x 。 {\displaystyle x^{2}+21=10x.} 『算術』は 10世紀末までには広く知られるようになった。1 2 ( ダービーシャー 2006 、「代数学の父」p.49) ↑ オコナー、ジョン・J.、 ロバートソン、エドモンド・F. (1999)、 「アラビア数学：忘れられた輝き？」 、 マックチューター数学史アーカイブ 、 セント・アンドリュース大学 ↑ ジャック・セシアーノ、「イスラム数学」、p. 148、 Selin、Helaine ; ダンブロージオ、ユビラタン 編。 (2000)、 「文化を越えた数学: 非西洋数学の歴史」 、 シュプリンガー 、 ISBN 978-1-4020-0260-1 1 2 Berggren, J. Lennart (2007). 「中世イスラムの数学」『 エジプト、メソポタミア、中国、インド、イスラムの数学：資料集』 プリンストン大学出版局、 518頁 。ISBN 978-0-691-11485-9 。1 2 ( ボイヤー 1991 、「アラビアの覇権」p. 239) 「アブル・ウェファは、トリオノメーターであると同時に有能な代数学者でもあった。[...] 彼の後継者であるアル＝カルヒは、明らかにこの翻訳を利用してディオファントスのアラビア語の弟子となったが、ディオファントス解析は行わなかった！[...] 特に、アル＝カルヒには、次の形式の方程式の最初の数値解が帰せられている。1 x 2 n + b x n = c {\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}=c} ↑ ジョン・J・オコナー; ロバートソン、エドマンド F. 、 「アブ・ベクル・イブン・ムハンマド・イブン・アル・フサイン・アル・カラジ」 、 MacTutor History of Mathematics Archive 、 セント・アンドルーズ大学 1 2 3 4 5 ( Boyer 1991 、「アラビアの覇権」pp. 241–242) 「テント職人」オマル・ハイヤーム（1050年頃 - 1123年）は、アル・フワーリズミーの代数学を超えて3次方程式を含む代数学 を著した。アラブの先人たちと同様に、オマル・ハイヤームは2次方程式に対して算術解と幾何学解の両方を提供した。一般的な3次方程式については、算術解は不可能だと彼は信じていた（16世紀に後に明らかになったように、これは誤りであった）。そのため、彼は幾何学解のみを与えた。交差する円錐曲線を用いて3次方程式を解く方法は、メナエクムス、アルキメデス、アルハザンによって以前に使用されていたが、オマル・ハイヤームは、この方法をすべての3次方程式（正の根を持つ）に一般化するという称賛に値する一歩を踏み出した。…3次より高い次数の方程式については、オマル・ハイヤームは明らかに同様の幾何学的方法を構想していなかった。なぜなら、空間は3次元を超える次元を持たないからである。[...] アラビアの折衷主義の最も実りある貢献の一つは、数値代数と幾何代数の間の隔たりを埋めようとする傾向であった。この方向への決定的な一歩ははるか後になってデカルトによって踏み出されたが、オマル・ハイヤームは次のように書いた時にこの方向に向かっていた。「代数を未知数を得るためのトリックだと考える者は、無駄な考えをしている。代数と幾何学が外見上異なるという事実に注意を払うべきではない。代数は証明された幾何学的事実である。」↑ ジョン・J・オコナー; Robertson、Edmund F. 、 「Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi」 、 MacTutor History of Mathematics Archive 、 セント アンドリュース大学 ↑ ラシェド、ロシュディ、アームストロング、アンジェラ (1994)、 『アラビア数学の発展』 、 シュプリンガー、 342–343 頁 、 ISBN 978-0-7923-2565-9 ↑ Berggren, JL (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat". Journal of the American Oriental Society . 110 (2): 304– 309. doi : 10.2307/604533 . JSTOR 604533 . Rashed は、Sharaf al-Din が 3 次多項式の導関数を発見し、3 次方程式が解ける条件を調査する上でその重要性を認識したと主張しているが、他の学者は Sharaf al-Din の考え方について、ユークリッドやアルキメデスの数学と関連付ける全く異なる説明を提案している。 ↑ Nasehpour, Peyman (2018). "A Brief History of Algebra with a Focus on the Distributive Law and Semiring Theory". arXiv : 1807.11704 [ math.HO ]. ↑ Victor J. Katz、Bill Barton (2007年10月)、「代数学の歴史における段階と教育への示唆」、 Educational Studies in Mathematics 、 66 (2): 185–201 [192]、 doi : 10.1007/s10649-006-9023-7 、 S2CID 120363574 ↑ Tjalling J. Ypma (1995)、「ニュートン・ラフソン法の歴史的発展」、 SIAM Review 37 (4): 531–551、 doi : 10.1137/1037125 ↑ 「フィボナッチの『数列』：数学の背後にいる人物」 。NPR 。 2011年7月16日。 1 2 3 オコナー、ジョン J. Robertson、Edmund F. 、 「Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi」 、 MacTutor History of Mathematics Archive 、 セント アンドリュース大学 ↑ （ ボイヤー 1991 、「アレクサンドリアのユークリッド」192-193頁） 「ボエティウスの死は、ヒュパティアの死がアレクサンドリアを数学の中心地として終焉させたように、西ローマ帝国における古代数学の終焉を告げるものと解釈できるかもしれない。しかし、アテネでは数年間研究が続けられた。[...] 527年にユスティニアヌスが東ローマ皇帝になると、彼は明らかに、アテネのアカデミアやその他の哲学学校の異教の学問が正統キリスト教に対する脅威であると感じていた。そのため、529年に哲学学校は閉鎖され、学者たちは散り散りになった。当時のローマは学者にとってあまり居心地の良い場所ではなく、シンプリキウスや他の哲学者たちは避難所を求めて東方へと向かった。彼らはペルシアでそれを発見し、ホスロー王のもとで「亡命アテネ・アカデミー」とでも呼ぶべき組織を設立した。（サートン 1952; p. 400）↑ ↑ ↑ クライン、ジェイコブ (1992年1月1日)。 ギリシャの数学的思想と代数学の起源 。クーリエ・コーポレーション 。ISBN 978-0-486-27289-4 。↑ Bos, HJM (2001). 幾何学的正確さの再定義：デカルトによる近世初期の構成概念の変容 . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-95090-7 。↑ イーブス、ハワード（1990）。 数学史入門 。サンダース・カレッジ出版 。ISBN 978-0-03-029558-4 。↑ 例：バシュマコワ& スミルノワ (2000 :78) 、ボイヤー (1991 :180) 、バートン (1995 :319) 、ダービーシャー (2006 :93) 、カッツ& パーシャル (2014 :238) 、 セシアーノ (1999 :125) 、およびスウェッツ (2013) :110) ↑ デカルト（1637年 ：301-303） ↑ デカルト（1925年 ：9-14） ↑ カジョリ (1919 :698) ;カジョリ (1928 :381–382) ↑ エネストロム（1905年 ：317） ↑ 例えば、トロプフケ（1902 :150） を参照。しかし、グスタフ・エネストロム （1905:316–317）は、デカルトが1619年に書いた手紙の中で、自身の記号とは明らかに対照的なドイツ語の記号を使用したことを示した。x 。 {\displaystyle x.} ↑ ピエトロ・カタルディ は未知の数の第一乗を表すのに、斜線付きの数字の1 を 使用した。この慣習とx {\displaystyle x} グスタフ・ヴェルタイムの 作品としているが、カジョリ（1919:699; 1928:382）はそれを裏付ける証拠は見つかっていないとしている。 ↑ カジョリ（1919年 ：699） ↑ 例えば、テリー・ムーアのTEDトーク 「なぜ『x』は未知数なのか？」を参照。 ↑ アルカラ (1505) ↑ ラガルド (1884) 。↑ ジェイコブ (1903 :519) 。↑ ライダー (1982) は、16 世紀にスペイン語で出版された代数学に関する 5 つの論文を挙げており、それらはすべて「cosa」を使用しています。アウレル (1552) 、オルテガ (1552) 、ディエス (1556) 、ペレス・デ・モヤ (1562) 、ヌネス (1567) です。後者の 2 つの作品では、プイグ (1672)と同様に、 「cosa」 を「 co. 」。↑ これらの形式は、 Alonso (1986) 、 Kasten & Cody (2001) 、 Oelschläger (1940) 、スペイン王立アカデミー のオンライン通時的スペイン語コーパス ( CORDE )、およびDavies のCorpus del Español には存在しません。 ↑ 「なぜxなのか？」 。 2019年5月30日 取得 。 ↑ ストライク (1969)、367。 1 2 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 1 2 3 4 ( Boyer 1991 、「アラビアの覇権」p. 228) 「ディオファントスは「代数学の父」と呼ばれることもあるが、この称号はアブー・アブドゥッラー・ビン・ミルスミ・アル＝フワーリズミーにこそふさわしい。確かに、アル＝フワーリズミーの著作は、2つの点でディオファントスの著作から後退している。第一に、ディオファントスの問題に見られるものよりもはるかに初歩的なレベルであり、第二に、アル＝フワーリズミーの代数学は徹底的に修辞的で、ギリシャの算術 やブラフマグプタの著作に見られるようなシンコペーションは全くない。偶数も記号ではなく言葉で書かれている！アル＝フワーリズミーがディオファントスの著作を知っていた可能性は極めて低いが、少なくともブラフマグプタの天文学と計算の部分には精通していたに違いない。しかし、アル＝フワーリズミーも他のアラビア語学者も、シンコペーションや負の数を用いることはなかった。↑ Herscovics, Nicolas; Linchevski, Liora (1994年7月1日). 「算術と代数の間の認知ギャップ」. Educational Studies in Mathematics . 27 (1): 59–78 . doi : 10.1007/BF01284528 . ISSN 1573-0816 . S2CID 119624121. これは、9世紀頃に地中海世界に代数を導入した代数の父とされるアル・フワーリズミー（Boyer/Merzbach, 1991）にとっては驚きだっただろう 。 ↑ドッジ 、 ヤドラ（2008）。 統計学簡潔百科事典 。 シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア 。p . 1。ISBN 9780387317427 アルゴリズムという用語は、9世紀の数学者でバグダッドに住み、代数学の父とされたアル・フワーリズミーの名前をラテン語で発音したものに由来する 。↑ （ ダービーシャー 2006 、「代数学の父」31ページ） 「ファン・デル・ヴェルデンは、代数学の起源を、数学者アル・フワーリズミーから始まる、より後の時代にまで遡らせている」↑ （ ダービーシャー 2006 、「代数学の父」31ページ） 「代数学の父であるディオファントスは、私がこの章のタイトルを彼にちなんで付けた人物で、西暦1世紀、2世紀、または3世紀にローマ領エジプトのアレクサンドリアに住んでいた。」↑ J. Sesiano、K. Vogel、「ディオファントス」、科学伝記辞典 ↑ （ ダービーシャー 2006 、「代数学の父」31ページ） 「例えば、クルト・フォーゲルは『科学者伝記辞典』 の中で、ディオファンタウスの業績は古代バビロニア人の業績と比べてそれほど代数学的ではないと考えている」↑ （ ボイヤー 1991 、「アラビアの覇権」230ページ） 「上記の6つの方程式は、正の根を持つ線形方程式と二次方程式のすべての可能性を網羅している。アル＝フワーリズミーの解説は非常に体系的かつ網羅的であったため、読者は解法を理解するのにほとんど苦労しなかったに違いない。」↑ Katz, Victor J. (2006). "代数学の歴史における段階と教育への示唆" (PDF) . VICTOR J.KATZ、コロンビア特別区大学、ワシントン DC : 190. 2019年3月27日に オリジナル (PDF)からアーカイブ。 2019年8月6日 に取得 - コロンビア特別区大学、ワシントン DC、アメリカ合衆国。 現存する最初の真の代数学のテキストは、825年頃にバグダッドで書かれたムハンマド・イブン・ムーサ・アル＝フワーリズミによるアル＝ジャブルとアル＝ムカバラに関する著作である。 ↑ オークス、ジェフリー (2014)。 『オックスフォード・イスラム哲学・科学・技術百科事典』 458 ページ。 アル＝フワーリズミーの独創性の欠如を理由にその重要性を軽視したり、「代数学の発明者」という称号を彼に押し付けたりする歴史家の判断は、9世紀の学者には当てはまらない、近代西洋の数学的業績の理想を前提としている。イスラム世界におけるアル＝フワーリズミーの名声は、実践的な研究と将来の学問の基礎となる役割を果たした著作の成功に基づいている。 ↑ クリスティアニディス、ジーン (2007)。 「ディオファントスの道: ディオファントスの解決方法に関するいくつかの説明」。 ヒストリア マセマティカ 。 34 (3): 303. 土井 : 10.1016/j.hm.2006.10.003 。
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外部リンク 世界デジタル図書館より、「イスラムのシェイク・ザカリヤ・アル＝アンサリによる、イブン・アル＝ハイムの代数とバランスの科学に関する詩『創造主の啓示』についての解説」。15世紀 に遡る代数の基本概念を特徴としている。
