解析幾何学

数学において、解析幾何学（座標幾何学またはデカルト幾何学とも呼ばれる）は、座標系を用いて幾何学を研究する分野である。これは総合幾何学とは対照的である。

解析幾何学は、物理学や工学だけでなく、航空、ロケット工学、宇宙科学、宇宙飛行、統計学、経済学、社会科学などにも用いられています。代数幾何学、微分幾何学、離散幾何学、計算幾何学など、現代の幾何学のほとんどの分野の基礎となっています。

通常、デカルト座標系は、平面、直線、円の方程式を操作するために使用され、多くの場合2次元、場合によっては3次元で使用されます。幾何学的には、ユークリッド平面（2次元）とユークリッド空間を研究します。学校の教科書で教えられているように、解析幾何学はもっと簡単に説明できます。それは、幾何学的形状を数値的に定義および表現し、形状の数値的定義と表現から数値情報を抽出することに関係しています。実数の代数を使用して幾何学の線形連続体に関する結果が得られることは、カントール・デデキントの公理に基づいています。

解析幾何学では、平面には座標系が与えられ、それによってすべての点が実数の座標のペアを持ちます。同様に、ユークリッド空間には座標が与えられ、すべての点が3つの座標を持ちます。座標の値は、最初の原点の選択に依存します。さまざまな座標系が使用されますが、最も一般的なものは次のとおりです。^{[ 16 ]}

極座標（平面座標）

極座標では、平面上のすべての点は、原点からの距離rと角度θで表され、θは通常、正のx軸から反時計回りに測定されます。この表記法では、点は通常、順序対 ( r、θ ) として記述されます。次の式を使用して、2 次元デカルト座標と極座標の間で相互変換できます。^{[ 17 ]}$${\displaystyle x=r\,\cos \theta ,\,y=r\,\sin \theta$$ ;\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,\theta =\arctan(y/x).} このシステムは、円筒座標または球面座標を使用することで、3 次元空間に一般化できます。 ^{[ 17 ]}

解析幾何学では、座標を含む任意の方程式は平面の部分集合、すなわち方程式の解集合、または軌跡を指定​​します。たとえば、方程式y  = xは、平面上のx座標とy座標が等しいすべての点の集合に対応します。これらの点は直線を形成し、y = x はこの直線の方程式であると言われます。一般に、xとyを含む線形方程式は直線を指定し、二次方程式は円錐曲線を指定し、より複雑な方程式はより複雑な図形を記述します。^{[ 18 ]}   

通常、平面上の曲線は単一の方程式で表されます。ただし、常にそうとは限りません。自明な方程式x  = xは平面全体を表し、方程式x ² + y ² = 0 は単一の点 (0, 0) のみを表します。3 次元では、通常、単一の方程式で曲面が表され、曲線は2 つの曲面の交点(下記参照) またはパラメトリック方程式のシステムとして指定する必要があります。^{[ 19 ]}方程式x ² + y ² = r ²は、原点 (0, 0) を中心とし半径 r の任意の円の方程式です。          

円錐曲線

デカルト座標系では、 2変数の二次方程式のグラフは常に円錐曲線になります。ただし、退化している場合もあります。すべての円錐曲線はこのようにして生じます。方程式は次の形式になります。 $${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ただし、A、B、Cはすべてゼロではない。}}}$$ 6つの定数すべてをスケーリングすると同じ零点の軌跡が得られるため、円錐曲線は5次元射影空間内の点と考えることができる。${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

この方程式で記述される円錐曲線は判別式^{[ 21 ]を使用して分類できます。}

$${\displaystyle B^{2}-4AC.}$$ 円錐曲線が非退化である場合、次のことが成り立つ。

• もし${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$、この方程式は楕円を表します。
  • もし${\displaystyle A=C}$そして${\displaystyle B=0}$この方程式は円を表しており、円は楕円の特殊な場合である。
• もし${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$、この方程式は放物線を表す。
• もし${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$、この方程式は双曲線を表す。
  • 我々も持っている場合${\displaystyle A+C=0}$この方程式は直角双曲線を表す。

解析幾何学では、距離や角度などの幾何学的概念は公式を用いて定義されます。これらの定義は、基礎となるユークリッド幾何学と整合するように設計されています_。例えば、平面上のデカルト座標を用いると、2点( x₁ , y₁ )と( x₂ _{, y₂} )間の距離は次の公式で定義されます _。  $${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},}$$これはピタゴラスの定理 の一種と見なすことができる。同様に、直線が水平線となす角度は次の式で定義できる。 $${\displaystyle \theta =\arctan(m),}$$ ここで、mは直線の傾きである。

3次元空間における距離は、ピタゴラスの定理の一般化によって与えられる。 $${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}$$ 2 つのベクトル間の角度は、内積によって与えられます。2 つのユークリッドベクトルAとBの内積は、^{[ 23 ]}で定義されます。$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|\cos \theta ,}$$ ここで、θはAとBの間の角度である。

変換は親関数に適用され、類似した特性を持つ新しい関数に変換されます。

グラフ${\displaystyle R(x,y)}$標準的な変換によって以下のように変更されます。

• 変化${\displaystyle x}$に${\displaystyle xh}$グラフを右に移動させる${\displaystyle h}$単位。
• 変化${\displaystyle y}$に${\displaystyle yk}$グラフを上に移動させる${\displaystyle k}$単位。
• 変化${\displaystyle x}$に${\displaystyle x/b}$グラフを水平方向に係数だけ引き伸ばします${\displaystyle b}$（${\displaystyle x}$（拡張している状態として）
• 変化${\displaystyle y}$に${\displaystyle y/a}$グラフを垂直方向に引き伸ばします。
• 変化${\displaystyle x}$に${\displaystyle x\cos A+y\sin A}$そして変化${\displaystyle y}$に${\displaystyle -x\sin A+y\cos A}$グラフを角度だけ回転させます${\displaystyle A}$。

基本的な解析幾何学では一般的に研究されない、その他の標準的な変換も存在します。これらの変換は、通常考慮されない方法で物体の形状を変化させるためです。スキューイングは、通常考慮されない変換の一例です。詳細については、アフィン変換に関するウィキペディアの記事を参照してください。

例えば、親関数${\displaystyle y=1/x}$水平漸近線と垂直漸近線を持ち、第 1 象限と第 3 象限を占め、その変換されたすべての形式は 1 つの水平漸近線と垂直漸近線を持ち、第 1 象限と第 3 象限、または第 2 象限と第 4 象限のいずれかを占めます。一般に、${\displaystyle y=f(x)}$すると、次のように変換できます。${\displaystyle y=af(b(xk))+h}$変換後の新しい関数では、${\displaystyle a}$は、1より大きい場合は関数を垂直方向に引き伸ばし、1より小さい場合は関数を垂直方向に圧縮する係数であり、負の場合は となります。${\displaystyle a}$値、関数は${\displaystyle x}$軸。${\displaystyle b}$値が 1 より大きい場合は関数のグラフを水平方向に圧縮し、1 より小さい場合は関数を水平方向に引き伸ばします。${\displaystyle a}$、機能を反映しています${\displaystyle y}$負の場合の軸。${\displaystyle k}$そして${\displaystyle h}$値は翻訳を導入します、${\displaystyle h}$垂直、そして${\displaystyle k}$水平。正${\displaystyle h}$そして${\displaystyle k}$値が正であれば関数が軸の正の方向に平行移動され、負であれば負の方向に平行移動されることを意味します。

変換は、方程式が関数を表しているかどうかに関わらず、あらゆる幾何方程式に適用できます。変換は、個別の操作として、または組み合わせて考えることができます。

仮に${\displaystyle R(x,y)}$は関係です${\displaystyle xy}$飛行機。例えば、 $${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$$ これは単位円を表す関係式です。

関係式で表される2つの幾何学的オブジェクトPとQについて${\displaystyle P(x,y)}$そして${\displaystyle Q(x,y)}$交点はすべての点の集合です${\displaystyle (x,y)}$これらは両方の関係に存在します。^{[ 24 ]}

例えば、${\displaystyle P}$半径1で中心が円である可能性がある${\displaystyle (0,0)}$: ${\displaystyle P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}$そして${\displaystyle Q}$半径1で中心が円である可能性がある${\displaystyle (1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}}$これら2つの円の交点は、両方の式を満たす点の集合です。${\displaystyle (0,0)}$両方の式を真にする？${\displaystyle (0,0)}$のために${\displaystyle (x,y)}$の式${\displaystyle Q}$になる${\displaystyle (0-1)^{2}+0^{2}=1}$または${\displaystyle (-1)^{2}=1}$それは本当なので、${\displaystyle (0,0)}$関係にある${\displaystyle Q}$一方、依然として${\displaystyle (0,0)}$のために${\displaystyle (x,y)}$の方程式${\displaystyle P}$になる$\displaystyle 0^{2}+0^{2}=1}$または${\displaystyle 0=1}$それは誤りです。 ${\displaystyle (0,0)}$は${\displaystyle P}$つまり、交差点にはないということだ。

交差点${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$連立方程式を解くことで求めることができます。

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$$${\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1.}$$

交点を見つける従来の方法には、代入法と消去法がある。

代入法： 最初の式を解いて${\displaystyle y}$に関しては${\displaystyle x}$そして、式を代入する${\displaystyle y}$2番目の式に代入します。

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$$${\displaystyle y^{2}=1-x^{2}.}$$

次に、この値を代入します。$\displaystyle y^{2}}$もう一方の式に代入して、解く${\displaystyle x}$: $${\displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}$$$${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$$$${\displaystyle -2x=-1}$$$${\displaystyle x=1/2.}$$

次に、この値を${\displaystyle x}$元の方程式のいずれかに代入して解く${\displaystyle y}$:

$${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$$$y^2=3/4$$$${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

つまり、私たちの交差点には2つの点があります。 $${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{および}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

消去法：一方の式に他方の式を足し（または引き）、いずれかの変数を消去します。この例では、2番目の式から最初の式を引くと、次のようになります。${\displaystyle (x-1)^{2}-x^{2}=0}$.$\displaystyle y^{2}}$最初の式では、$\displaystyle y^{2}}$2番目の式では、${\displaystyle y}$用語。変数${\displaystyle y}$が消去されました。次に、残りの方程式を解きます。${\displaystyle x}$代入法と同様に：

$${\displaystyle x^{2}-2x+1-x^{2}=0}$$$${\displaystyle -2x=-1}$$$${\displaystyle x=1/2.}$$

次にこの値を${\displaystyle x}$元の方程式のいずれかに代入して解く${\displaystyle y}$: $${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$$$y^2=3/4$$$${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

つまり、私たちの交差点には2つの点があります。 $${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{および}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

円錐曲線の場合、交点には最大で4つの点が含まれる可能性があります。

幾何学における軸とは、あらゆる線、物体、または面に垂直な線のことである。

また、これについては、一般的な言語では「法線（垂直線）」、工学では「軸線」などと表現されることもあります。

幾何学において、法線とは、与えられた物体に垂直な直線やベクトルなどの物体を指します。例えば、二次元の場合、ある点における曲線の法線とは、その点における曲線の接線に垂直な直線のことです。

3次元の場合、点Pにおける曲面の法線、または単に法線とは、点Pにおけるその曲面の接平面に垂直なベクトルのことです。「法線」という言葉は形容詞としても使われます。平面に垂直な線、力の法線成分、法線ベクトルなどです。法線性の概念は直交性へと一般化されます。

接線とは、関数の球面曲線、あるいはその他の曲線やねじれた直線の線形近似のことである。

• 応用幾何学
• クロス積
• 軸の回転
• 軸の平行移動
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