弦（幾何学）

幾何学において、円の弦（ラテン語のchorda 「ガット弦」に由来）とは、両端が円弧上にある直線のことです。弦を両方向に無限に延長して直線にすると、それは割線となります。弦の中点を通る垂線は、矢（ラテン語で「矢」）と呼ばれます。 

より一般的に言えば、弦とは、例えば楕円など、任意の曲線上の2点を結ぶ線分のことです。円の中心点を通る弦は、その円の直径です。

円の弦の性質には、以下のようなものがある。

1. 弦が中心から等距離にあるのは、弦の長さが等しい場合に限る。
2. 等弦とは、円の中心から等しい角度で囲まれた弦のことである。
3. 円の中心を通る弦は直径と呼ばれ、その円の中で最も長い弦である。
4. 弦ABとCDの延長線（割線）が点Pで交わる場合、それらの長さはAP・PB = CP・PD（点のべき乗定理）を満たす。

円錐曲線の平行弦の中央点は一直線上にある（円錐曲線の中央点定理）。^{[ 1 ]}

弦は三角法の初期発展において広く用いられた。紀元前2世紀にヒッパルコスによって編纂された最初の三角関数表は現存しないが、7 + 1/2度ごとの弦関数の値を表にまとめていた。紀元2世紀には、プトレマイオスが天文学に関する著書の中で、 1 / 2度から180度までの角度を1/2度刻みで弦の値を示した、より詳細な弦表を編纂した。プトレマイオスは直径120の円を用い、弦の長さを整数部分の後に60進法（60進法）で2桁まで正確に示していた。 ^{[ 2 ]}

弦関数は図に示すように幾何学的に定義されます。角度の弦は、その中心角によって隔てられた単位円上の 2 点間の弦の長さです。角度θは正の意味で取られ、 0 < θ ≤ π (ラジアン測定)の範囲内にある必要があります。弦関数は、一方の点を(1,0)、もう一方の点を(cos θ、 sin θ )とし、ピタゴラスの定理を使用して弦の長さを計算することで、現代の正弦関数と関連付けることができます。 ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {crd} \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin {\frac {\theta }{2}}}$$^{[ 3 ]}

最後のステップでは、半角の公式を使用します。現代の三角法が正弦関数に基づいているのと同様に、古代の三角法は弦関数に基づいていました。ヒッパルコスは弦に関する12巻の著作を書いたとされていますが、現在はすべて失われているため、おそらく弦については多くのことが知られていたのでしょう。下の表（cは弦の長さ、Dは円の直径）では、弦関数が現代のよく知られた恒等式に類似した多くの恒等式を満たすことが示されています。

逆関数も存在する：^{[ 4 ]}

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\frac {c}{2r}}}$

• 円弧部分とは、円の中心と円弧の両端点が境界上に形成する三角形を取り除いた後に残る扇形の部分のことである。
• コードのスケール
• プトレマイオスの弦表
• 凸閉曲線内で回転する弦に関するホルディッチの定理
• 円グラフ
• 割線と外割線
• ヴェルサインとハヴァーサイン– (${\displaystyle \operatorname {crd} \theta =2{\sqrt {\operatorname {haversin} \theta }}}$）
• ジンドラー曲線（弧の長さを二等分するすべての弦の長さが同じである、閉じた単純な曲線）
• ベルトランのパラドックス（確率）平均弦長のパラドックス

• 三角法の歴史の概要
• 三角関数（ 2017年3月10日にWayback Machineにアーカイブ済み、履歴に焦点を当てています）
• （円の）弦 インタラクティブなアニメーション付き