二次方程式

数学において、二次方程式（ラテン語の quadratus  「正方形」に由来）は、次のように標準形式で並べ替えられる方程式である^[1]。 ここで、変数x は未知の数を表し、a、b、およびc は既知の数を表し、a ≠ 0である。（a = 0かつb ≠ 0の場合、方程式は二次ではなく線形である。）数値a、b、およびc は方程式の係数であり、それぞれ二次係数、線形係数、および定数係数または自由項と呼ぶことで区別することができる。^[2] $${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,,}$$

方程式を満たすxの値は方程式の解と呼ばれ、その左側の 2 次関数の根または零点は方程式の解と呼ばれます。2 次方程式には最大で 2 つの解があります。解が 1 つしかない場合は、二重根と呼ばれます。係数がすべて実数の場合は、実解が 2 つ、実二重根が 1 つ、または互いに複素共役である複素解が 2 つあります。複素根が含まれ、二重根が 2 つとしてカウントされる場合、2 次方程式には常に 2 つの根があります。2 次方程式は、rとs がxの解である 同等の方程式^[3]に因数分解できます。 $${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(xr)(xs)=0}$$

二次方程式の公式は、 解をa、b、c で表します。平方完成法は、この公式を導くいくつかの方法の 1 つです。 $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$$

二次方程式で表現できる問題の解法は紀元前2000年にはすでに知られていました。^{[4] [5]}

二次方程式には未知数が 1 つしか含まれないため、「一変量」と呼ばれます。二次方程式には、負でない整数であるxのべき乗のみが含まれるため、多項式方程式です。特に、最大のべき乗が 2 であるため、2 次多項式方程式です。

係数が実数である二次方程式は、0、1、または2つの異なる実数値解（根とも呼ばれる）を持つことができます。異なる根が1つしかない場合は、同じ値を持つ2つの根として解釈することができ、二重根と呼ばれます。実根がない場合は、係数は虚数部が0の複素数と見なすことができます。その場合、二次方程式には依然として2つの複素数値根（虚数部が0でない、互いの複素共役）が存在します。係数が任意の複素数である二次方程式には、必ず2つの複素数値根があり、それらは異なる場合もそうでない場合もあります。

二次方程式の解は、いくつかの代替方法で求めることができます。

二次方程式ax ² + bx + c = 0を積( px + q )( rx + s ) = 0として表すことができる場合があります。場合によっては、簡単な検査によって、 2 つの形式を互いに同等にするp、q、r 、およびsの値を決定できます。二次方程式が 2 番目の形式で記述されている場合、「ゼロ因子特性」により、 px + q = 0またはrx + s = 0の場合に二次方程式が満たされます。これら 2 つの線形方程式を解くと、二次方程式の根が得られます。

ほとんどの学生にとって、検査による因数分解は、二次方程式を解く際に最初に触れる方法です。^{[6] : 202–207} x ² + bx + c = 0という形式の二次方程式が与えられた場合、求められる因数分解は( x + q )( x + s )という形式を持ち、合計がbで積がcになる2 つの数qとs を見つけなければなりません(これは「ヴィエタの法則」^{[7]と呼ばれることもあり、}ヴィエタの公式に関連しています)。例えば、x ² + 5 x + 6は( x + 3)( x + 2)と因数分解されます。aが1に等しくないより一般的なケースでは、検査によって因数分解できると仮定しても、試行錯誤と推測と確認にかなりの労力が必要になることがあります。

b = 0やc = 0などの特殊な場合を除いて、因数分解は有理根を持つ二次方程式にのみ有効である。つまり、実際の応用で生じる二次方程式の大部分は因数分解では解くことができない。^{[6] : 207}

平方完成のプロセスは、 任意の二次方程式を解くために使用できる 明確に定義されたアルゴリズムを表す代数的恒等式を利用する。 ^{[6] : 207}標準形の二次方程式から始めると、ax ² + bx + c = 0$${\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}$$

1. 各辺を二乗項の係数で割ります。
2. 両辺から定数項c / a を引きます。
3. 両辺に、 xの係数であるb / aの半分の平方を加えます。これにより「平方完成」となり、左辺が完全な平方になります。
4. 左側を正方形として書き、必要に応じて右側を簡略化します。
5. 左辺の平方根を右辺の正と負の平方根と等しくして、2 つの線形方程式を作成します。
6. 2 つの線形方程式をそれぞれ解きます。

このアルゴリズムの使い方を2 x ² + 4 x − 4 = 0を解くことで説明します。 $${\displaystyle 2x^{2}+4x-4=0}$$ $${\displaystyle \x^{2}+2x-2=0}$$ $${\displaystyle \x^{2}+2x=2}$$ $${\displaystyle \x^{2}+2x+1=2+1}$$ $${\displaystyle \left(x+1\right)^{2}=3}$$ $${\displaystyle \x+1=\pm {\sqrt {3}}}$$ $${\displaystyle \x=-1\pm {\sqrt {3}}}$$

プラスマイナス記号「±」は、とが両方とも二次方程式の解であることを示します。 ^[8]${\textstyle x=-1+{\sqrt {3}}}$${\textstyle x=-1-{\sqrt {3}}}$

平方完成法は、二次方程式を解く一般的な公式、いわゆる二次方程式の公式を導くのに使用できます。 ^{[9]ここで、}数学的な証明を簡単にまとめます。^[10]多項式展開により、次の式が二次方程式と同等であることが 容易にわかります。両辺の平方根 を取り、x を分離すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}$$$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

いくつかの資料、特に古い資料では、ax ² + 2 bx + c = 0やax ² − 2 bx + c = 0などの二次方程式の代替パラメータ化を使用しています^[11]  。ここで、bはより一般的なものの半分の大きさを持ち、符号が逆の場合もあります。これらは解の形式が若干異なりますが、それ以外は同等です。

文献には、さまざまな代替導出法が見つかります。これらの証明は、標準的な平方完成法よりも単純で、代数で頻繁に使用される他の手法の興味深い応用を表し、数学の他の分野への洞察を提供します。

あまり知られていないが、ミュラー法で使用される二次方程式の公式は、次の式で同じ根を提供します 。 これは、根の積がc / aであると主張する、ビエタの公式 によって標準的な二次方程式の公式から演繹できます。 また、これを について解いてから逆行列を求めることで、二次方程式を割ることからもわかります。 $${\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}}$$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle cx^{-2}+bx^{-1}+a=0,}$${\displaystyle x^{-1},}$

この形式の特徴の 1 つは、a = 0 のときに 1 つの有効な根が得られるのに対し、もう 1 つの根にはゼロ除算が含まれることです。これは、 a = 0のとき、2 次方程式が 1 つの根を持つ線型方程式になるためです。対照的に、この場合、より一般的な式では、1 つの根にゼロ除算があり、もう 1 つの根に不定形式 0/0があります。一方、c = 0のときは、より一般的な式では 2 つの正しい根が得られますが、この形式ではゼロ根と不定形式0/0が得られます。

aもcもゼロでない場合、標準の二次方程式の公式とミュラー法の間の等式は、 クロス乗算 によって検証できます。他の符号を選択​​した場合も同様です。 $${\displaystyle {\frac {2c}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,,}$$

二次方程式を簡約してその主係数を1にすると便利な場合があります。これは両辺をaで割ることで行われますが、 aは0でないため常に可能です。これにより簡約された二次方程式が生成されます。^[12]

$${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$$

ここで、p = b / a、q = c / aです。この単項多項式方程式は、元の方程式と同じ解を持ちます。

簡約された二次方程式の解の二次式は、係数を用いて書かれ、 $${\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\,.}$$

二次方程式の公式では、平方根記号の下の式は判別式と呼ばれ、大文字のDまたは大文字のギリシャ語デルタを使用して表されることが多い。^[13] 実係数 の二次方程式は、1つまたは2つの異なる実根、または2つの異なる複素根を持つことができます。この場合、判別式によって根の数と性質が決まります。次の3つの場合があります。 $${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}$$

• 判別式が正の場合、2 つの異なる根が存在します。これらの根は両方とも実数です。有理数係数を持つ二次方程式の場合、判別式が平方数であれば、根は有理数です。それ以外の場合は、二次無理数になることがあります。$${\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},}$$
• 判別式がゼロの場合、重根、二重根、または 2 つの等しい根と呼ばれることもある実根が1 つだけ存在します。${\displaystyle -{\frac {b}{2a}},}$
• 判別式が負の場合、実根は存在しません。その代わりに、互いに複素共役である2つの異なる（非実）複素根^[14]が存在します。これらの式では、 iは虚数単位です。$${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{and}}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},}$$

したがって、判別式がゼロでない場合にのみ根は別個であり、判別式が負でない場合にのみ根は実数です。

関数f ( x ) = ax ² + bx + cは2次関数です。^[16]どの2次関数のグラフも、放物線と呼ばれる同じ一般的な形をしています。放物線の位置と大きさ、開き方は、a、b、cの値によって決まります。a > 0の場合、放物線は最小点を持ち、上向きに開きます。a < 0の場合、放物線は最大点を持ち、下向きに開きます。放物線の極値は、最小値でも最大値でも、頂点に対応します。頂点のx座標は にあり、このx値を関数に代入することで頂点のy座標を求めることができます。y切片は点(0, c )にあります。 ${\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}}$

二次方程式ax ² + bx + c = 0の解は、関数f ( x ) = ax ² + bx + cの根に対応します。これは、これらの解がf ( x ) = 0となるxの値だからです。a、b、cが実数で、fの定義域が実数の集合である場合、fの根はグラフがx軸に接する点のx座標とまったく同じです。判別式が正の場合、グラフは2 点でx軸に接します。判別式がゼロの場合、グラフは 1 点で接します。また、判別式が負の場合、グラフはx軸に接しません。

項が 多項式の因数 ^と なるのは、rが二次方程式の 根である場合に限ります。二次方程式 の公式から次のことが分かります。b 2 = 4 ac の特別な場合、つまり二次方程式が1つの異なる根しか持たない（つまり判別式が0である）場合、二次多項式は次のように 因数分解できます。$${\displaystyle xr}$$$${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$$$${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$$$${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).}$$$${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}$$

二次方程式の解は、 放物線 である二次関数のグラフ から導き出すことができます。 $${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$$ $${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$$

放物線がx軸と 2 点で交差する場合、これら 2 点のx座標 ( x切片とも呼ばれる)である実根が 2 つ存在します。

放物線がx軸に接している場合、グラフと放物線の接点の x座標である二重根が存在します。

放物線がx軸と交差しない場合は、複素共役根が2つあります。これらの根はグラフ上で視覚化することはできませんが、実部と虚部は視覚化できます。^[17]

hとk をそれぞれ放物線の頂点のx座標とy座標とします (つまり、 y座標が最大または最小の点です)。この二次関数は次のように書き直すことができます。 d を放物線の軸上のy座標2 kの点と、放物線上の同じy座標の点との間の距離 とします(図を参照してください。放物線の対称性により、同じ距離を与える 2 つの点があります)。この場合、根の実部はh、虚部は± dです。つまり、 図の例では、根はまたは です。$${\displaystyle y=a(xh)^{2}+k.}$$$${\displaystyle h+id\quad {\text{and}}\quad h-id,}$$$${\displaystyle 5+3i\quad {\text{and}}\quad 5-3i.}$$

二次方程式の公式は正確な解を提供しますが、数値解析では通常、実数が浮動小数点数（多くのプログラミング言語では「実数」と呼ばれる）で近似されるので、計算中に実数が近似されると結果は正確ではありません。この文脈では、二次方程式の公式は完全に安定していません。

これは、根の大きさが異なるオーダーの場合、または同等に、b ²と b ² − 4 acの大きさが近い場合に発生します。この場合、ほぼ等しい 2 つの数を減算すると、小さい方の根で有意性が失われたり、壊滅的な相殺が発生したりします。これを回避するには、大きさが小さい根rを次のように計算します。ここで、 Rは大きさが大きい根です。これは、次の式を使用することと同等です。 ${\displaystyle (c/a)/R}$

$${\displaystyle x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}}$$

プラス記号を使用する場合とマイナス記号を使用する場合${\displaystyle b>0}$${\displaystyle b<0.}$

2番目の形の相殺は判別式の項b ²と4 acの間で発生する可能性があり、これは2つの根が非常に近い場合です。これにより、根の正しい有効数字の最大半分が失われる可能性があります。^{[11] [18]}

黄金比は二次方程式の正の解として求められる。${\displaystyle x^{2}-x-1=0.}$

円とその他の円錐曲線（楕円、放物線、双曲線）の方程式は、2 つの変数を持つ二次方程式です。

角度の余弦または正弦が与えられた場合、その半分の大きさの角度の余弦または正弦を求めるには、二次方程式を解く必要があります。

別の式の平方根を含む式の平方根を含む式を簡略化するプロセスには、二次方程式の 2 つの解を見つけることが含まれます。

デカルトの定理によれば、4 つの接線が接する円の半径は、特定の二次方程式を満たすとされています。

フースの定理によって与えられた方程式は、二心四辺形の内接円の半径、外接円の半径、およびそれらの円の中心間の距離の関係を与えており、2つの円の中心間の距離をそれらの半径で表したものが解の1つである二次方程式として表すことができます。関連する半径で表した同じ方程式のもう1つの解は、外接円の中心と外接円の中心の間の距離を与えます。

三次関数の臨界点と四次関数の変曲点は、二次方程式を解くことによって求められます。

物理学では、一定の加速度での運動の場合、運動物体の変位または位置は、初期 位置と初期速度が与えられた場合、時間の2 次関数として表すことができます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle v_{0}}$${\textstyle x=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}}$

化学では、弱酸溶液のpH は、酸性定数と酸の 分析濃度による二次方程式の正の根の負の10 を底とする対数から計算できます。

バビロニアの数学者は、紀元前2000年頃（古バビロニアの 粘土板に記されている）には長方形の面積と辺の関係に関する問題を解くことができた。このアルゴリズムはウル第三王朝にまで遡る証拠がある。^[19]現代の記法では、問題は通常、次の形式の2つの同時方程式を解くことであった。 これは、 xとyが方程式の根である という主張と同等である。 ^{[20] : 86}$${\displaystyle x+y=p,\ \ xy=q,}$$ $${\displaystyle z^{2}+q=pz.}$$

バビロニアの書記官がxとyに関して上記の長方形問題を解くために示した手順は次のとおりです。

1. pの半分を計算します。
2. 結果を二乗します。
3. q を引きます。
4. 平方表を使用して（正の）平方根を求めます。
5. 手順(1)と(4)の結果を合計してxを求める。

現代の記法では、これは を計算することを意味します。これは、 a = 1、b = − p、c = qである、より大きな実根（存在する場合）の現代の二次方程式の公式に相当します。 ${\displaystyle x={\frac {p}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}}$${\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

幾何学的方法は、バビロニア、エジプト、ギリシャ、中国、インドで二次方程式を解くのに使用されていました。中王国時代（紀元前2050年から紀元前1650年）に遡るエジプトのベルリン・パピルスには、2項の二次方程式の解が含まれています。^[21]紀元前400年頃のバビロニアの数学者と紀元前200年頃の中国の数学者は、正の根を持つ二次方程式を解くために幾何学的な分解の方法を使用しました。 [ ^{22] [ 23 ] 二次方程式の}規則は、中国の数学論文である「九章算術」で与えられました。 ^{[23] [24]}これらの初期の幾何学的方法には一般的な公式はなかったようです。ギリシャの数学者ユークリッドは、紀元前300年頃により抽象的な幾何学的方法を生み出しました。ギリシャの数学者ディオファントスは著書『算術』の中で二次方程式を解きましたが、両方の根が正であったにもかかわらず、1つの根しか与えませんでした。^[25]

628年、インドの数学者ブラフマグプタは著書『ブラフマスプタシッダーンタ』の中で、二次方程式ax ² + bx = cの初めての明示的な（ただしまだ完全に一般化されていない）解を次のように示した。「絶対値に平方係数の4倍を掛けたものに、中間項の平方係数を加える。その平方根から中間項の係数を引いた値を平方係数の2倍で割ったものが値である。」^[26]これは次の式に相当する。 7世紀にインドで書かれた バクシャーリー写本には、二次方程式だけでなく、線形不定方程式（元々はax / c = y型）を解くための代数式が含まれていた。ムハンマド・イブン・ムサ・アル・フワーリズミー（9世紀）は、正の解に機能する一連の公式を開発した。アル＝フワーリズミーはさらに進んで、一般二次方程式の完全な解を提供し、すべての二次方程式に対して1つまたは2つの数値解を受け入れ、その過程で幾何学的な証明も提供した。^[27]彼はまた、平方完成法を説明し、判別式が正でなければならないことを認識していたが、^{[27] [28] : 230}これは、同時代のアブド・アル＝ハミード・イブン・トルコ（中央アジア、9世紀）によって証明され、判別式が負の場合、二次方程式には解がないことを証明する幾何学的図形を示した。^{[28] : 234}アル＝フワーリズミー自身は負の解を受け入れなかったが、その後の彼の後継者であるイスラム数学者は、負の解、^{[27] : 191}および無理数を解として受け入れた。^[29]特にアブー・カーミル・シュジャー・イブン・アスラム（エジプト、10世紀）は、無理数（多くの場合、平方根、立方根、または4乗根の形）を二次方程式の解として、または方程式の係数として受け入れた最初の人物でした。^[30] 9世紀のインドの数学者シュリダラは、二次方程式を解くための規則を書き記しました。^[31]$${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}.}$$

ユダヤ人の数学者アブラハム・バー・ヒヤ・ハ・ナシ（12世紀、スペイン）は、一般二次方程式の完全な解を含んだ最初のヨーロッパの本の著者です。^[32]彼の解は主にアル・フワーリズミーの著作に基づいています。^{[27]中国の数学者}楊暉（1238年 - 1298年）の著作は、負の係数「x」を持つ二次方程式が登場する最初の既知のものですが、彼はこれをより初期の劉毅の作品であると考えています。^[33] 1545年までに、ジェロラモ・カルダーノは二次方程式に関連する著作をまとめました。すべてのケースをカバーする二次方程式の公式は、1594年にシモン・ステヴィンによって初めて得られました。 ^[34] 1637年、ルネ・デカルトは、今日知られている形式で二次方程式の公式を含む 「幾何学」を出版しました。

ヴィエタの公式（フランソワ・ヴィエトにちなんで名付けられた）は、2次多項式の根とその係数の関係を表す 。これは、次の式 との関係を項ごと に比較することで得られる。$${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$$$${\displaystyle \left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=x^{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}=0}$$$${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.}$$

ヴィエタの最初の公式は、2次関数のグラフを描くのに便利です。グラフは頂点を通る垂直線に対して対称なので、頂点のx座標は根（または切片）の平均に位置します。したがって、頂点のx 座標は、 上記の結果を与えられた2次方程式に代入することで、次の式を得ることができます。 また、頂点のこれらの公式は、公式から直接導き出すことができます（平方完成を 参照）。 $${\displaystyle x_{V}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}=-{\frac {b}{2a}}.}$$$${\displaystyle y_{V}=-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.}$$$${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.}$$

数値計算では、Vieta の公式は、一方の根が他方の根よりもはるかに小さい場合に二次方程式の根を見つける便利な方法を提供します。| x ₂ | << | x ₁ |の場合、x ₁ + x ₂ ≈ x ₁となり、次のように推定できます。 2 番目の Vieta の公式は次を提供します。 これらの公式は、1 つの大きな根と 1 つの小さな根という条件下では、二次方程式の公式よりもはるかに簡単に評価できます。これは 、二次方程式の 公式では小さな根を 2 つのほぼ等しい数の差として評価するため ( bが大きい場合)、数値評価で丸め誤差が生じるためです。 この図は、 ^{[説明が必要]} (i) 二次方程式の公式を使用した直接的な評価 (根の値が互いに近い場合に正確) と (ii) 上記の Vieta の公式の近似に基づく評価 (根の間隔が広い場合に正確) の違いを示しています。線形係数bが増加すると、最初は 2 次方程式の公式が正確で、近似公式の精度も向上し、bが増加するにつれて方法間の差は小さくなります。しかし、ある時点で 2 次方程式の公式は丸め誤差のために精度を失い始めますが、近似法は改善し続けます。その結果、2 次方程式の公式がどんどん悪くなるにつれて、方法間の差は大きくなり始めます。 $${\displaystyle x_{1}\approx -{\frac {b}{a}}.}$$$${\displaystyle x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}\approx -{\frac {c}{b}}.}$$

この状況は、安定した動作を確保するために広く離れたルートが必要となるアンプ設計でよく発生します (ステップ応答を参照)。

計算機がなかった時代には、人々は計算を簡略化してスピードアップするために、数表（さまざまな引数で計算結果を示す数値のリスト）を使用していました。対数表と三角関数の表は、数学や科学の教科書でよく見られました。天文学、天体航法、統計などの用途に特化した表も出版されていました。プロスタファエレシスと呼ばれる数値近似法が存在し、乗算や累乗、根号などの時間のかかる演算を省略することができました。^{[35]特に天文学者は、}天体力学の計算に含まれる長い一連の計算をスピードアップできる方法に関心を持っていました。

この文脈において、三角関数の置換を利用して二次方程式を解く手段の発展を理解することができる。二次方程式の次の別の形式を考えてみよう。

ここで、±記号の符号はaとcが両方とも正になるように選ばれる。

そしてcos ² ( θ ) / cを掛けると、

2θの関数を導入して整理すると、

ここで、添え字nとpは、それぞれ式[1]の負または_正の符号の使用に対応します。式[4]または[5]_から得られたθnまたはθpの2つの値を[2]に代入すると、 [1]_の必要な根が得られます。式[5]に基づく解では、 sin 2 θpの絶対値が1を超えると複素根が発生します。この三角関数と対数表を組み合わせた検索戦略を使用して二次方程式を解くのにかかる労力は、対数表のみを使用する場合の労力の3分の2でした。^[36]複素根を計算するには、別の三角関数形式を使用する必要があります。^[37]

たとえば、7 桁の対数表と三角関数表があり、次の問題を 6 桁の精度で解きたいとします。 $${\displaystyle 4.16130x^{2}+9.15933x-11.4207=0}$$

1. 7 桁のルックアップ テーブルには 100,000 個のエントリしか含まれない可能性があり、7 桁までの中間結果を計算するには、通常、隣接するエントリ間の補間が必要になります。
2. ${\displaystyle \log a=0.6192290,\log b=0.9618637,\log c=1.0576927}$
3. ${\displaystyle 2{\sqrt {ac}}/b=2\times 10^{(0.6192290+1.0576927)/2-0.9618637}=1.505314}$
4. ${\displaystyle \theta =(\tan ^{-1}1.505314)/2=28.20169^{\circ }{\text{ or }}-61.79831^{\circ }}$
5. ${\displaystyle \log |\tan \theta |=-0.2706462{\text{ or }}0.2706462}$
6. ${\displaystyle \log {\textstyle {\sqrt {c/a}}}=(1.0576927-0.6192290)/2=0.2192318}$
7. ${\displaystyle x_{1}=10^{0.2192318-0.2706462}=0.888353}$（6桁の有効数字に丸められています）$${\displaystyle x_{2}=-10^{0.2192318+0.2706462}=-3.08943}$$

実係数の二次方程式が2つの複素根を持つ場合（aとcが互いに同じ符号を持つことが必要な場合）、根の解は極形式で次のように表すことができます[ ^38]${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$${\displaystyle b^{2}-4ac<0,}$

$${\displaystyle x_{1},\,x_{2}=r(\cos \theta \pm i\sin \theta ),}$$

どこでそして${\displaystyle r={\sqrt {\tfrac {c}{a}}}}$${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\tfrac {-b}{2{\sqrt {ac}}}}\right).}$

二次方程式は、いくつかの方法で幾何学的に解くことができます。1つの方法は、リルの方法を使用する方法です。3つの係数a、b、cは、図6のSA、AB、BCのように、それらの間の角度が直角になるように描かれます。始点と終点SCを直径とする円が描かれます。これが3つの中心線ABを切る場合、方程式には解があり、解は、Aからこの線に沿った距離の負数を最初の係数aまたはSAで割った値で与えられます。aが1の場合、係数は直接読み取ることができます。したがって、図の解は−AX1/SAと−AX2/SAです。^[39]

トーマス・カーライルにちなんで名付けられたカーライル円は、二次方程式の解が円と水平軸の交点の水平座標になるという性質を持っています。^{[40]カーライル円は、}定規とコンパスを使った正多角形の作成に使用されてきました。

係数a、b、cが複素数、またはより一般的には特性が2でない任意の体の要素である場合、公式とその導出は正しいままです。(特性が 2 の体では、元2 a はゼロであり、それで割ることはできません。)

式中の記号 は、「平方値がb ² − 4 ac である 2 つの元のいずれか（もしそのような元が存在するなら）」と理解されるべきである。体によっては、平方根を持たない元もあれば、平方根を 2 つ持つ元もある。標数2の体を除いて、平方根が 1 つしかないのは 0 だけである。体にある数の平方根が含まれない場合でも、平方根を含む 2 次拡大体が必ず存在するため、その拡大体における式として 2 次式は常に意味を成す。 $${\displaystyle \pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}$$

標数2の体では、 2 が単位であることに依存する二次方程式の公式は成り立ちません。標数2 の体上の単項二次多項式 を考えてみましょう。b = 0の場合、解は平方根を求めることに帰着するため、解は となり 、 であるため根は 1 つしかありません 。まとめると、 有限体における平方根の抽出の詳細については、 平方剰余を 参照してください。$${\displaystyle x^{2}+bx+c}$$$${\displaystyle x={\sqrt {c}}}$$$${\displaystyle -{\sqrt {c}}=-{\sqrt {c}}+2{\sqrt {c}}={\sqrt {c}}.}$$$${\displaystyle \displaystyle x^{2}+c=(x+{\sqrt {c}})^{2}.}$$

b ≠ 0の場合、2つの異なる根があるが、多項式が既約である場合、それらは係数体の数の平方根で表現できない。代わりに、cの2根 R ( c )を多項式x ² + x + cの根、つまりその多項式の分解体の元として定義する。 R ( c ) + 1も根であることが証明される。2根演算の観点から、（非単項）2次方程式ax ² + bx + cの2つの根は、 およびで ある 。$${\displaystyle {\frac {b}{a}}R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)}$$$${\displaystyle {\frac {b}{a}}\left(R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)+1\right).}$$

たとえば、a が4 次ガロア体 F 4 の単位群の乗法生成元を表すものとします (したがって、aとa ₊ 1はF 4上の_x 2 + ^x + 1の根です)。( a + 1) ² = aであるため、a + 1は二次方程式x ² + a = 0の唯一の解です。 一方、多項式x ² + ax + 1はF ₄上で既約ですが、 F ₁₆上で分解され、2 つの根abとab + aを持ちます( bはF ₁₆内のx ² + x + aの根です) 。

これはアルティン・シュライアー理論の特殊なケースです。

• 連分数を使った二次方程式を解く
• 線形方程式
• 3次関数
• 四次方程式
• 五次方程式
• 代数学の基本定理