関 孝和

関 孝和
東京の日本学士院アーカイブ所蔵、関孝和の水墨画。
生まれる	1642年(?) 江戸または藤岡、日本
死亡	1708年12月5日（グレゴリオ暦） 日本
国籍	日本語
その他の名前	関 幸和
科学者としてのキャリア
フィールド	数学

関 孝和(関 孝和、1642 年 3 月頃 – 1708 年 12 月 5 日) ^[1]関孝和(関 孝和)としても知られ^{[2] は}、江戸時代の日本の数学者および作家です。^[3]

関は和算として知られる日本の数学のその後の発展の基礎を築きました。^[2]彼は「日本のニュートン」と呼ばれています。^[4]

彼は新しい代数記法システムを考案し、天文学的な計算に動機づけられて、微分積分学とディオファントス方程式に関する研究を行った。彼はドイツの博識な数学者で哲学者のゴットフリート・ライプニッツやイギリスの博識な物理学者で数学者のアイザック・ニュートンと同時代人であったが、関の研究は独立したものであった。彼の後継者たちは後に、江戸時代末期まで日本の数学を支配する流派を作り上げました。

和算の業績のどれだけが関の功績であるかは明らかではないが、その多くは弟子の著作にしか現れない。しかし、いくつかの成果はヨーロッパで発見されたものと同等か、あるいはそれを先取りしている。^[5]例えば、ベルヌーイ数を発見したのは関であるとされている。^[6]合算式と行列式（最初のものは1683年、完全版は遅くとも1710年）は関の功績とされている。

関はまた、後にアレクサンダー・エイトケンによって再発見された、現在ではエイトケンのデルタ二乗過程と呼ばれる方法を用いて、小数点第10位まで正確に円周率の値を計算した。

関は塵劫記などの日本の数学書に影響を受けた。^[7]

関の私生活についてはあまり知られていない。出生地は群馬県藤岡か江戸とされている。生年月日は1635年から1643年の間である。

彼は甲州藩の臣下であった内山氏の子として生まれ、将軍の臣下であった関家に養子として迎えられました。甲州藩にいた間、彼は雇い主の領土の正確な地図を作成するための測量事業に携わりました。彼は、当時日本で使用されていたあまり正確ではなかった暦を置き換えるために、13世紀の中国の暦を研究することに何年も費やしました。

彼の数学（そして和算全体）は、13世紀から15世紀にかけて蓄積された数学的知識に基づいていました。^[8]これらの著作の内容は、数値法を伴う代数、多項式補間とその応用、不定整数方程式で構成されていました。関の著作は、多かれ少なかれこれらの既知の方法に基づいており、関連しています。

中国の代数学者は、実係数を持つ任意次数の代数方程式の数値評価 (ホーナー法、 19 世紀にウィリアム ジョージ ホーナーによって再確立) を発見しました。彼らはピタゴラスの定理を使用して、幾何学の問題を体系的に代数に還元しました。ただし、方程式の未知数の数は非常に限られていました。彼らは、たとえば の場合は、数値の配列の表記法を使用して式を表しました。 ${\displaystyle (a\b\c)}$${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

その後、彼らは2次元配列を用いて最大4つの変数を表現する手法を開発しましたが、この手法の範囲は限られていました。そのため、関と同時代の日本の数学者たちの目標は、一般的な多変数代数方程式と消去法の開発でした。

多項式補間に対する中国のアプローチは、観測データから天体の動きを予測する目的でした。この方法は、さまざまな数式を見つけるためにも適用されました。関はおそらく、中国の暦を詳しく調べることでこの技術を習得したのでしょう。

1671年、大阪の橋本正数の弟子であった沢口一之が『古今算法記』を出版し、日本で初めて中国の代数学を包括的に解説した。彼はそれを ^同時代の人々が提起した問題に応用することに成功した。沢口が出版する前は、これらの問題は算術的な方法で解かれていた。沢口は本の最後で、多変数代数方程式を必要とする15の新しい問題を他の数学者に挑んだ。

1674年、関は発微算法を出版し、15の問題すべてに解答を与えた。彼が用いた方法は、ぼうしょう法と呼ばれる。彼は方程式の未知数と変数を表すために漢字の使用を導入した。負の係数を持つ任意の次数（彼はかつて1458次を扱った）の方程式を表すことは可能であったが、括弧、等号、または除算に対応する記号はなかった。たとえば、はを意味することもできる。後に、このシステムは他の数学者によって改良され、最終的にはヨーロッパで開発されたものと同じくらい表現力豊かになった。 ${\displaystyle ax+b}$${\displaystyle ax+b=0}$

しかし、1674年の著書では、関は消去法から得られる一変数方程式のみを示し、その過程や代数記号の新しい体系については全く説明していない。初版にはいくつかの誤りがあった。橋本流の数学者は、その著作を「15問中3問しか正しくない」と批判した。1678年、橋本流出身で京都で活躍していた田中由真は算法明記を著し、関のものに似た多変数代数の独自のバージョンを使用して、沢口の15問の問題に新しい解法を与えた。批判に答えるために、関の弟子の一人である建部賢弘は 1685 年に発微算法に関する注記である『発微算法諺解』を出版し、代数記号を使用した消去法を詳細に示しました。

新しい記号の導入の影響は代数学だけにとどまりませんでした。この記号によって、当時の数学者は数学的結果をより一般的かつ抽象的な方法で表現できるようになりました。彼らは変数の消去の研究に集中しました。

1683年、関は解伏題之法において、結果式に基づく消去法理論を推し進めた。結果式を表現するために、彼は行列式の概念を展開した。^[9]彼の原稿では5×5行列の公式は常に0であり明らかに間違っているが、彼が建部賢弘やその兄弟と1683年から1710年に執筆した後の著書『大成算経』では、正しい一般的な公式（行列式の ラプラス公式）が登場する。

田中も独自に同じ考えを思いついた。1678年の著書に、消去法後の方程式のいくつかは結果と同じであるという兆候が見られる。『算法紛解』（1690年？）では、結果を明確に記述し、いくつかの問題に適用した。1690年に、大阪で活躍した数学者で橋本流ではない井関知辰が『算法発揮』を出版し、n × nの場合の結果とラプラスの行列式の公式を示した。これらの著作の関係は明らかではない。関は、日本の文化の中心地である大阪や京都の数学者と競い合いながら、数学を発展させた。

ヨーロッパの数学と比較すると、関の最初の原稿は、ライプニッツの最初の注釈と同じくらい古く、3x3 のケースまでの行列しか扱っていませんでした。この主題は、 1750 年にガブリエル クラマーが同じ動機でこの分野に持ち込むまで、西洋では忘れられていました。和算形式に相当する消去法は、1764 年にエティエンヌ ベズーによって再発見されました。ラプラスの公式は、 1750 年より前には確立されていませんでした。

消去法の理論を手にしたことで、中国の幾何学の伝統が代数学にほぼ還元されたことを考えると、関の時代に扱われた問題の大部分は原理的には解けるようになった。実際には、この方法は膨大な計算量のために行き詰まる可能性もあった。しかし、この理論は和算の発展の方向に重要な影響を及ぼした。消去法が完了すると、一変数方程式の実根を数値的に求めることが残される。ホーナーの方法は中国ではよく知られていたものの、最終的な形では日本に伝わらなかった。そのため、関は独力で解決しなければならなかった。ホーナー法の考案者は関だとされることもあるが、歴史的には正しくない。関はホーナー法の改良案も提案した。それは、いくつかの反復の後に高次の項を省略するというものである。この方法はたまたまニュートン・ラプソン法と同じであるが、全く異なる観点によるものである。厳密に言えば、彼も彼の弟子も微分の概念を持っていなかった。

関は、数値解法を支援するための代数方程式の特性も研究しました。その中で最も注目すべきは、多項式とその「導関数」の結果である判別式に基づく多重根の存在条件です。彼の「導関数」の作業定義は、二項定理によって計算されるf ( x + h )のO(h)項でした。

彼は多項式方程式の実根の数についていくつかの評価を得た。

関のもう一つの貢献は円周率の修正、すなわち円周率の計算である。関は、20世紀にアレクサンダー・エイトケンによって再発見された、現在ではエイトケンのデルタ二乗法と呼ばれる方法を用いて、小数点第10位まで正確な円周率の値を得た。

小惑星7483 関孝和は関孝和にちなんで名付けられました。

関孝和の著書や関孝和に関する著作から得られた統計的概要によると、OCLC / WorldCatには、 3つの言語で50以上の出版物に掲載されたおよそ50以上の作品と、100以上の図書館所蔵資料が含まれています。^[10]

• 1683 –建符之法(驗符之法) OCLC 045626660
• 1712 –かつよさんぽう(要要算法) OCLC 049703813
• 関孝和全集(關孝和全集) OCLC 006343391、作品集

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  1992年の切手に描かれた関氏。江戸時代の水墨画から取られている。
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  石碑と銅像のある関の記念碑
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  東京の浄林寺の外にある関の墓標

• 算額（さんがく）は、神社で木版に刻まれた数学の問題を一般の人々に提示する習慣である。
• そろばん​​
• 日本の数学
• ナプキンリング問題

• 遠藤利貞（1896年）。日本の数学史(日本數学史史、大日本数学史)。東京： _____。 OCLC 122770600
• 堀内、アニック。 （1994年）。 Les Mathematiques Japonaises a L'Epoque d'Edo (1600–1868): 関孝和 (?-1708) と建部賢弘 (1664–1739) のトレヴォーの練習。パリ: 哲学図書館 J. ヴリン。ISBN  9782711612130 ; OCLC 318334322
• ハワード・ホイットリー、イブス（1990） 。数学史入門。フィラデルフィア：サンダース。ISBN 9780030295584 ; OCLC 20842510 
• プール、デイビッド (2005)。『線形代数：現代入門』カリフォルニア州ベルモント：トムソン・ブルックス/コール。ISBN 9780534998455 ; OCLC 67379937 
• Restivo, Sal P. (1992)。社会と歴史における数学：社会学的探究。ドルドレヒト：Kluwer Academic Publishers。ISBN 9780792317654 ; OCLC 25709270 
• 佐藤健一。 (2005)、『近世日本数学史 関孝和の実像を求めて』。東京：東京大学出版会。ISBN 4-13-061355-3 
• セリン、ヘレイン。(1997)。非西洋文化における科学、技術、医学の歴史百科事典。ドルドレヒト：クルーワー/シュプリンガー。ISBN 9780792340669 ; OCLC 186451909 
• デイヴィッド・ユージン・スミスと三上義雄(1914)。『日本の数学史』シカゴ: Open Court Publishing。OCLC 1515528 代替オンライン、全文コピーは archive.org で

• 数学文化
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「関 孝和 真介」、MacTutor 数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学