分数

分数（ラテン語のfractus 、「壊れた」に由来）は、全体の一部、またはより一般的には、等しい部分の数を表します。日常的な英語では、分数は、ある特定の大きさの部分がいくつあるかを表します。たとえば、2分の1、5分の8、4分の3などです。単純な分数（例：1 / 2、17/3）は、線の上（または 1/2 のようにスラッシュの前）に表示される整数の分子と、その線の下（または後）に表示されるゼロ以外の整数の分母で構成されます。これらの整数が正の場合、分子は等しい部分の数を表し、分母はそれらの部分のうちいくつが単位または全体を構成しているかを示します。たとえば、分数 3/4 では、分子3は分数が3 つの等しい部分を表していることを示し、分母 4 は 4 つの部分が全体を構成していることを示しています。右の写真はケーキの4分の3を示しています。

分数は、比率や除算を表すために使用できます。^{[ 1 ]}したがって、分数3/4は、比率 3:4 (部分と全体の比率) と除算3 ÷ 4 (3 ÷ 4) を表すために使用できます。

負の分数は、正の分数の反対を表します。たとえば、1/2 が 0.5 ドルの利益を表す場合、−1 / 2は0.5ドルの損失を表します。符号付きの数の除算の規則（負の数を正の数で割ると負になるという規則）により、−1 / 2 、−1 / 2、1 / −2はすべて同じ分数、つまり負の2分の1を表します。また、負の数を負の数で割ると正になるため、−1 / −2は正の 2分の 1 を表します。

数学において、有理数とは、 a / bの形の分数で表すことができる数のことです。ここで、aとbは整数であり、b はゼロではありません。すべての有理数の集合は、一般的に記号で表されます。 $\mathbb {Q}$ または、商を表すQ 。分数という用語と表記a / bは、有理数を表さない数式にも使用できます (例: $\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ）、あるいは、いかなる数値も表さない（例えば、有理分数） $\textstyle {\frac {1}{x}}$ )

有理数、次のように表される ${\frac {p}{q}}$ ここで、pとqは互いに素な整数であり、は基数である。 ${b}$ 基数で終端表現を持つ ${b}$ qがbのべき乗を割り切る場合、または ${\frac {p}{q}}={\frac {C}{b^{n}}}$ 一部の人にとって ${C}$ そしていくつかの整数 ${n}$ > 0。

たすき掛けをすると、等式は ${qC}={pb^{n}}$ q は p を割り切らないので、 $b^{n}$ そして、拡大は継続しないだろう。

語彙

分数では、等しい部分の数を分子（ numerātorはラテン語で「数える人」または「数える人」を意味する）とし、部分の種類または種類を分母（ dēnōminātorはラテン語で「名前を付ける人」または「指定する人」を意味する）とします。[ ²^]^[³^]^例えば、分数8/5は8 つの部分から成り、それぞれの部分は5 番目という種類です。除算の観点からは、分子は被除数に対応し、分母は除数に対応します。

非公式には、分子と分母は配置だけで区別されることもありますが、正式な文脈では通常、分数線で区切られます。分数線は水平（1/3 のように）、斜め（2/5 のように）、または斜線（4/9 のように）になることがあります。[ 4 ]これらの記号は^それぞれ^、^水平線、スラッシュ（米国）、ストローク（英国）、分数線、ソリダス^[⁵^] 、または分数スラッシュ^[ⁿ¹^]として知られています。活版印刷では、分子と分母が一桁の分数が狭いen正方形の割合を占めるか、広いem正方形の割合を占めるかに基づいて、垂直に積み重ねられた分数はenまたはnut分数、斜線はemまたはmutton 分数とも呼ばれます。^[⁴^]伝統的な活字鋳造では、完全な分数（例1/2）を持つ活字はケース分数として知られ、分数の一部のみを表す活字はピース分数と呼ばれていました。

英語の分数の分母は一般的に序数で表され、分子が 1 でない場合は複数形になります。(たとえば、1 / 5と2/5はそれぞれone -fifthとtwo-fifthsと読みます。 )最も一般的な分数には、注目すべき例外がいくつかあります。分子が 1 の場合は、分子は完全に省略されることがよくあります。 (たとえば、1 / 5はa fifthと読むこともできます。) 分母が 1 の分数は、通常は分子のみで読み、場合によってはwholesで読みますが、 firstsで読むことはありません。(たとえば、5 / 1はfiveまたはfive wholesと読むことができます。) 分母が 2 の分数はhalfまたはhalvesと読み、seconds と読むことはありません。分母が 4 の場合はquarter / quartersとfourth / fourthsと読むことができます。また、分母の100は、パーセントとしても、百分の一としても読むことができます。

分数は、分子を分母で割った形で表すこともできます。分母は基数で表されます。（例えば、1 / 2と2/5は、それぞれ 1/2と2/5とも表すことができます。）「 / 」という用語は、分数の棒の形に関係なく使用されます。（例えば、1 / 5、1 / 5、1 / 5はすべて5 分の 1と読むことができます。）特殊な構成要素を持つ分数や、10 のべき乗ではない大きな分母を持つ分数は、この方法で表されることがよくあります（例えば、√2/2、1/ x 、 1 / 117はそれぞれ2分の2 、x分の1、1 分の117の平方根として表されます）。一方、 10 で割り切れる大きな分母を持つ分数は、通常、通常の順序の方法で読みます（例えば、6 / 1000000は600 分の 6と読みます）。

分数を綴る際には、特に形容詞として使用する場合は、ハイフンで正しく繋げます。分数⁠ 2 / 5 ⁠ は、単一の構成要素としてtwo-fifthsと表記する必要があります。ハイフンなしでtwo fifthsと表記すると、同じ値を表しますが、⁠ 1 / 5 ⁠の 2 つの別々のインスタンスとして理解されます。

分数の形式

単純分数、一般的な分数、または俗分数

単純分数（一般分数または一般分数とも呼ばれる）^{[ n 2 ]}は、次のように表される有理数です。 $a\div b$ または⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠、ここでaとbは両方とも整数です。^{[ 9 ]}他の分数と同様に、分母 ( b ) はゼロにすることはできません。例としては、⁠ 1 / 2 ⁠、 − ⁠ 8 / 5 ⁠、 ⁠ −8 / 5 ⁠、および⁠ 8 / −5 ⁠があります。この用語は元々、この種の分数を天文学で使用される六十進分数と区別するために使用されました。 ^[¹⁰^]

一般的な分数は正または負の値を取り、真分数または仮分数（下記参照）を取り得ます。複合分数、複分数、帯分数、および小数式（下記参照）は一般的な分数ではありませんが、無理数でない限り、一般的な分数に変換することができます。

単位分数は、分子が 1 の一般的な分数です (例: 1/7 )。単位分数は、負の指数を使用して次のように表すこともできます。 $2-1$ これは、 ${\frac {1}{2^{1}}}$ これもまた ${\frac {1}{2}}$ 、そして $2-2$ これは、 ${\frac {1}{2^{2}}}$ または ${\frac {1}{4}}$ 。
二進分数は、分母が 2 のべき乗である一般的な分数^です。例: 1/8 = 1/23 。

Unicodeでは、合成済みの分数文字は「数値形式」ブロックに含まれています。

真分数と仮分数

一般的な分数は、真分数と仮分数に分類できます。分子と分母が両方とも正の場合、分子が分母より小さい場合は真分数、そうでない場合は仮分数と呼ばれます。^[¹¹^]仮分数の概念は後から発展したもので、分数とは「部分」を意味するため、真分数は 1 未満でなければならないという事実からこの用語が生まれました。^[¹⁰^]これは 17 世紀の教科書The Ground of Artsで説明されています。^[¹²^]^[¹³^]

一般に、分数の絶対値が厳密に 1 より小さい場合、つまり分数が -1 より大きく 1 より小さい場合、その分数は真分数であると言われます。 ^[¹⁴^]^[¹⁵^]分数の絶対値が 1 以上の場合、その分数は仮分数、または時にはトップヘビー分数と呼ばれます。^[¹⁶^]真分数の例は次のとおりです。 ${\frac {2}{3}}$ 、−3/4、および 4/9 は仮分数の例ですが、 ${\frac {9}{4}}$ 、 ${\frac {-4}{3}}$ 、そして ${\frac {3}{3}}$ 以下に説明するように、仮分数は帯分数（整数と真分数）に変換でき、その逆も可能です。

逆数と見えない分母

分数の逆数は、分子と分母を入れ替えた別の分数です。例えば、3/7 の逆数は7/3です。ゼロでない分数とその逆数の積は 1 なので、逆数は分数の乗法逆数です。真分数の逆数は仮分数であり、1 に等しくない仮分数（つまり、分子と分母が等しくない分数）の逆数は真分数です。

分数の分子と分母が等しい場合（例えば、7 / 7）、その値は1となり、仮分数となります。その逆数も同じ値となるため、やはり1となり仮分数となります。

^{任意の整数は、分母が}1 の分数として表すことができます。たとえば、17 は 17 / 1 と表すことができ、1は「見えない分母」と呼ばれることもあります。^[ 17 ^]したがって、ゼロを除くすべての分数とすべての整数には逆数があります。たとえば、17 の逆数は1 / 17です。

比率

比率とは、2つ以上の数値間の関係を表すもので、分数で表すこともできます。通常、比率では複数の項目がグループ化され、各グループ間の関係が数値で示されます。比率は「グループ1対グループ2、…対グループn」のように表されます。例えば、自動車販売店に12台の車両があり、そのうち

2つは白で、
6つは赤で、
4つは黄色で、

すると、赤車と白車と黄車の比率は6対2対4になります。黄車と白車の比率は4対2で、4:2または2:1と表すことができます。

比率は、全体に対する比率として表される場合、分数に変換されることがよくあります。上記の例では、駐車場にあるすべての車に対する黄色の車の比率は 4:12 または 1:3 です。これらの比率を分数に変換して、駐車場にある車の 4/12または1/3が黄色であると言うことができます。したがって、誰かが駐車場から無作為に 1 台の車を選んだ場合、それが黄色である確率は 3 分の 1 です。

小数とパーセント

小数とは、分母が10の整数乗である分数のことで、一般的には10進数表記で表されます。分母は明示的に示されず、小数点記号の右側の桁数によって示されます。小数点記号は、地域によってピリオド⟨.⟩、中点⟨·⟩、またはコンマ⟨,⟩になります。（例については、 「小数点記号」を参照してください。）したがって、0.75の場合、分子は75で、小数点記号の右側に2桁あるため、暗黙の分母は10の2乗、つまり100になります。1より大きい10進数（3.75など）では、小数部分は小数点記号の右側の桁数で表されます（この場合は0.75）。 3.75は、仮分数375 / 100または帯分数3 + 75 / 100のどちらでも表すことができます。

小数は、負の指数を用いた科学的表記法でも表すことができます。6.023 × 10 ⁻⁷は、扱いにくい 0.0000006023 の便利な代替値です。10 ⁻⁷は分母を表します10 ⁷で割る10 ⁷は小数点を左に 7 桁移動させます。

小数点より右側に無限に多くの桁を持つ小数は、無限級数を表します。たとえば、1 / 3 = 0.333... は、 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... という無限級数を表します。

もう一つの分数の種類はパーセンテージ（ラテン語のper centum、「100 につき」という意味で、記号 % で表される）で、暗黙の分母は常に 100 です。したがって、51% は51 ⁄ 100を意味します。100 より大きいパーセンテージや 0 より小さいパーセンテージも同様に扱われます。たとえば、311% は311 ⁄ 100を意味し、-27% は-27 ⁄ 100を意味します。

関連する概念であるパーミル、または千分率(ppt) は、分母が 1000 であることを意味し、この部分率表記は、百万や十億などのより大きな分母でよく使用されます。たとえば、75 百万分率( ppm ) は、割合が 75 / 1000 であることを意味します。1,000,000 ⁠。

分数表記と小数表記の選択は、多くの場合、好みと状況によります。分数は、分母が比較的小さい場合に最もよく使用されます。暗算では、 16に 3/16を掛ける方が、同じ計算を分数の小数値 (0.1875) で行うよりも簡単です。また、たとえば 15 に1/3を掛ける方が、 15に3分の 1 の任意の小数近似値を掛けるよりも正確です(実際には正確です) 。金額は、分母が 100 の小数、つまり小数点以下 2 桁の小数で表されるのが一般的です。たとえば、$3.75などです。しかし、前述のように、十進法以前のイギリスの通貨では、シリングとペンスはしばしば分数の形（意味は異なる）で表されていました。例えば、「3/6」は一般的に「3と6 」と読み、 3シリングと6ペンスを意味し、分数の6分の3とは何の関係もありません。

様々な数字

帯分数（混合分数または混合数とも呼ばれる）は、ゼロ以外の整数と真分数の和であり、慣習的に、中間のプラス記号（+）やマイナス記号（ −）を用いずに、2つの部分を並置（または連結）して表記されます。分数を横書きにする場合は、整数と分数の間にスペースを入れて区切ります。

基本的な例として、ケーキ2個と別のケーキの4分の3は次のように書くことができます。 $23/4$ ケーキまたは $2\ \,3/4$ 数字のケーキ $2$ ホールケーキと分数を表す $\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ 追加された部分的なケーキを並置した表現。これは、より明示的な表記よりも簡潔である。 $2+{\tfrac {3}{4}}$ ケーキ。帯分数⁠ 2 + 3 / 4 ⁠は、2 と 4分の 3または2 と 4分の 3と読み、整数部分と分数部分はandで接続されます。^[¹⁸^]減算または否定は帯分数全体に適用されます。 $-2{\tfrac {3}{4}}$ 手段 $-{\bigl (}2+{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.$

帯分数は、異なる数量の加算の規則を適用することで仮分数に変換できます。異なる数量の一方の値を、もう一方の値と同じになるように変更します。たとえば、 $2+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {11}{4}}.$ あるいは、整数部分に分母を掛け、分子を加えることで、仮分数の分子を得ることができます。この場合、分母は仮分数と同じです。逆に、仮分数は余りのある除算を使用して帯分数に変換できます。帯分数は、商として整数部分、余りとして分数部分（ある場合）で構成されます。たとえば、11 は 4 で 2 回割り切れ、3 が余るので、 ${\tfrac {11}{4}}=2+{\tfrac {3}{4}}.$

小学校では、教師はしばしば、分数の結果はすべて帯分数で表すべきだと主張する。[19] 学校外では、帯分数は、例えば 2 + 1/2^時間や5 3/16 インチのように、測定値を表すのに一般的に使用され、特に十進法のメートル法を使用していない地域では、日常生活や職業において広く使われている。しかし、科学的な測定では、通常、十進分数に基づくメートル法が使用され、中学校レベルから、数学教育では、すべての分数を整数の商p / qである有理数として一律に扱い、仮分数と帯分数の概念は廃止される。^[²⁰^{]長年数学の訓練を受けてきた大学生は}、代数式で隣り合うのは乗算を意味するという慣習に慣れているため、帯分数に再び遭遇すると混乱することがある。 ^[²¹^]

歴史的概念

エジプトの分数

エジプト分数は、異なる正の単位分数の合計です。 ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}$ この定義は、古代エジプト人が分数をすべて次のように表現していたという事実から来ています。 ${\tfrac {1}{2}}$ 、 ${\tfrac {2}{3}}$ そして ${\tfrac {3}{4}}$ このように。すべての正の有理数はエジプト分数として展開できます。たとえば、 ${\tfrac {5}{7}}$ 次のように書くことができます ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}.$ 任意の正の有理数は、単位分数の和として無限に多くの方法で表すことができます。 2 つの書き方 ${\tfrac {13}{17}}$ は ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{68}}$ そして ${\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}$ 。

複合分画と複合分画

複雑な分数では、分子、分母、またはその両方が分数または帯分数であり、^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}分数の除算に対応します。たとえば、 ${\tfrac {1/2}{1/3}}$ そして ${\bigl (}12{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}{\big /}26$ 複雑な分数です。横方向の分数線で積み重ねて書かれた入れ子になった分数を解釈するには、短い線を長い線の中に入れ子になっているものとして扱います。複雑な分数は、 § 除算で説明するように、逆数を掛けることで簡略化できます。例:

{\begin{aligned}{\frac {\;\!{\tfrac {1}{2}}\;\!}{\tfrac {1}{3}}}&={\frac {1}{2}}\div {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}},\qquad {\frac {\;\!{\tfrac {3}{2}}\;\!}{5}}={\frac {3}{2}}\div 5={\frac {3}{2}}\times {\frac {1}{5}}={\frac {3}{10}},\\[10mu]{\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}&={\frac {12\times 4+3}{4}}\div 26={\frac {12\times 4+3}{4}}\times {\frac {1}{26}}={\frac {51}{104}}.\end{aligned}}

複雑な分数は、どちらの分数がもう一方の分数の中に含まれているかを明確に示す記号なしに記述してはなりません。そのような表現は曖昧だからです。例えば、次の式 $5/10/20$ 次のように解釈できる可能性がある ${\tfrac {5}{10}}{\big /}20={\tfrac {1}{40}}$ または $5{\big /}{\tfrac {10}{20}}=10.$ 意味は、分数を別々の区切り文字で表記するか、明示的な括弧を追加することで明確にすることができます。 $(5/10){\big /}20$ または $5{\big /}(10/20).$

複合分数は、分数の分数、または「of」という言葉で結び付けられた任意の数の分数です。[ ^{22 ] [}^{23 ]これ}は分数の乗算に対応します。複合分数を単純分数に簡約するには、乗算を実行するだけです（§ 乗算を参照）。たとえば、 ${\tfrac {3}{4}}$ の ${\tfrac {5}{7}}$ は複合分数で、 ${\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}$ 複合分数と複分数は密接に関連しており、時には一方が他方の同義語として使用されます。（例えば、複合分数 ${\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}$ は複素分数に相当する ${\tfrac {3/4}{7/5}}$ ⁠ .)

しかしながら、複素分数と複合分数はどちらも時代遅れとみなされ^{[ 24 ]}、現在では明確な定義もなく使用されており、部分的には互いに同義語として扱われたり^{[ 25 ]}、混合数詞と同義語として扱われたりしている^{[ 26 ]}。これらは専門用語としての意味を失い、複雑および複合という属性は、部分から構成されるという日常的な意味で使われる傾向がある。

分数の計算

整数と同様に、分数も交換法則、結合法則、分配法則、およびゼロ除算禁止の規則に従います。

帯分数の計算は、各帯分数を仮分数に変換するか、各帯分数を整数部分と小数部分の和として扱うかのいずれかの方法で行うことができます。

等価分数

分数の分子と分母に同じ（ゼロ以外の）数を掛けると、元の分数と等しくなります。これは、ゼロ以外の任意の数に対して、 $n$ 割合 ${\tfrac {n}{n}}$ 1 に等しい。したがって、 ${\tfrac {n}{n}}$ は 1 を掛けることと同じであり、どんな数でも 1 を掛けると元の数と同じ値になります。例として、分数から始めましょう。 ${\tfrac {1}{2}}$ 分子と分母の両方に 2を掛けると、結果は 2/4 となり、これは1/2と同じ値 (0.5) になります。これを視覚的にイメージするには、ケーキを 4 つに切ることを想像してください。そのうちの 2 つ (2/4) を合わせると、ケーキの半分( 1/2 )になります。

分数を簡約化する（約分する）

分数の分子と分母を同じゼロ以外の数で割ると、等価な分数が得られます。分数の分子と分母が両方とも1より大きい数（因数と呼ばれる）で割り切れる場合、その分数は分子と分母が小さい等価な分数に約分できます。たとえば、分数の分子と分母が両方とも1より大きい数で割り切れる場合、 ${\tfrac {a}{b}}$ で割り切れる $c$ ⁠、すると次のように書ける。 $a=cd$ 、 $b=ce$ すると分数は cd / ce となり、分子と分母の両方を c で割ることで約分して約分された分数 d / eを得ることができます。

$c$ を分子と分母の最大公約数とすると、分子と分母の絶対値が最小となる等価な分数が得られます。この分数は既約分数になったと言います。

分子と分母が 1 より大きい共通の因数を持たない場合、その分数はすでに既約分数に約分されており、既約分数、約分済み、または最も簡単な分数であると言われます。たとえば、 ${\tfrac {3}{9}}$ は既約分数ではありません。なぜなら、3と9はどちらも3で割り切れるからです。対照的に、 ${\tfrac {3}{8}}$ は既約分数で表すと、3と8の両方を割り切れる唯一の正の整数は1である。

これらの規則を使用すると、例えば5 / 10 = 1 / 2 = 10 / 20 = 50 / 100となることを示すことができます。

別の例として、63と462の最大公約数は21なので、分数⁠ 63 / 462 ⁠は分子と分母を21で割ることで既約分数にすることができます。

{\frac {63}{462}}={\frac {63\,\div \,21}{462\,\div \,21}}={\frac {3}{22}}.

ユークリッドの互除法は、任意の2つの整数の最大公約数を求める方法を提供する。

分数の比較

分母が同じ正の数の分数を比較すると、分子を比較した場合と同じ結果が得られます。

{\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}

なぜなら3 > 2であり、分母が等しいからである。

4

肯定的である。

分母が負の値である場合、分子を比較した場合とは逆の結果が分数に対して成り立ちます。

{\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\text{ because }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}{\text{ and }}-3<-2.

2つの正の分数で分子が同じ場合、分母が小さい分数の方が大きい数になります。全体を等しい部分に分割する場合、全体を構成するために必要な等しい部分の数が少ないほど、それぞれの部分は大きくなります。2つの正の分数で分子が同じ場合、それらは同じ数の部分を表しますが、分母が小さい分数では、それぞれの部分が大きくなります。

分子と分母が異なる分数を比較する一つの方法は、共通分母を見つけることです。 ${\tfrac {a}{b}}$ そして ${\tfrac {c}{d}}$ これらは変換されます ${\tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}$ そして ${\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}$ （ここでドットは乗算を表し、× の代替記号です。）この場合、bdは共通分母となり、分子adとbcを比較できます。分数を比較するために共通分母の値を決定する必要はありません。bdを評価せずにadとbcを比較するだけで済みます。たとえば、 ${\tfrac {2}{3}}$ ？ ${\tfrac {1}{2}}$ 与える ${\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}$ 。

より骨の折れる質問については ${\tfrac {5}{18}}$ ？ ${\tfrac {4}{17}},$ 各分数の分子と分母に、もう一方の分数の分母を掛けて共通分母を得ると、 ${\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}$ ？ ${\tfrac {18\times 4}{18\times 17}}$ 計算する必要はありません $18\times 17$ 分子だけを比較すればよい。5×17（= 85）は4×18（= 72）より大きいので、比較結果は ${\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}$ ⁠ .

負の数（負の分数を含む）はすべてゼロより小さく、正の数（正の分数を含む）はすべてゼロより大きいので、負の分数は正の分数より小さいという結論が導き出されます。このことから、上記の規則と合わせて、あらゆる分数を比較することが可能になります。

追加

足し算の第一のルールは、同じ種類の量だけを足し合わせることができるということです。例えば、25セント硬貨の様々な数量を足し合わせる場合などです。3分の1を25セント硬貨に加えるなど、異なる種類の量を足し合わせる場合は、まず以下のように同じ種類の量に変換する必要があります。25セント硬貨が2枚入ったポケットと、3枚入ったポケットがあると想像してください。合計で5枚の25セント硬貨があります。4枚の25セント硬貨は1ドルに相当するので、これは次のように表すことができます。

{\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}

。

\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} — もし ${\tfrac {1}{2}}$ ケーキの ${\tfrac {1}{4}}$ ケーキの切れ端は、8分の1や4分の1といった、比較可能な量に変換する必要があります。

異なる数量を加算する

異なる数量を含む分数（例えば、4分の1と3分の1）を足し合わせるには、すべての数量を同じ数量に変換する必要があります。変換する分数の種類は簡単に計算できます。各分数の2つの分母（下の数）を掛け合わせるだけです。整数の場合は、見えない分母1を適用します。

4分の1を3分の1に加える場合、どちらの種類の分数も12分の1に変換されます。

{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}+{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.

次の2つの量を加算することを考えてみましょう。

{\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}.

まず、変換します。 ${\tfrac {3}{5}}$ 分子と分母の両方に3を掛けて15分の1に分割します。 ${\tfrac {3}{5}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}$ 3/3は1 に等しいので、 3 / 3を掛けても分数の値は変わりません。

次に、分子と分母の両方に5を掛けて、2 / 3を15分の1に変換します。 ${\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}$ ⁠ .

これで、

{\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}

と同等

{\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{\frac {4}{15}}.

この方法は代数的に表現できる。

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}.

この代数的な方法は常に有効であり、単純な分数の和が常に再び単純な分数になることを保証します。ただし、単一の分母に共通因数がある場合は、それらの積よりも小さい分母を使用できます。たとえば、加算する場合 ${\tfrac {3}{4}}$ そして ${\tfrac {5}{6}}$ 単一の分母には共通因数2があるため、分母24（4×6）の代わりに、半分の分母12を使用することができ、結果の分母が小さくなるだけでなく、分子の因数も小さくなります。

{\begin{alignedat}{3}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+{\frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&&={\frac {19}{12}}\\[10mu]&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{\frac {10}{12}}&&={\frac {19}{12}}.\end{alignedat}}

最小の分母は、各分母の最小公倍数によって与えられます。これは、各分母の公約数で各分母の公約数を割ることによって得られます。これを最小公分母と呼びます。

引き算

分数の引き算の手順は、本質的には足し算と同じです。共通分母を見つけ、それぞれの分数を、選んだ共通分母を持つ等価な分数に変換します。結果として得られる分数の分母はその分母になり、分子は元の分数の分子を引いた値になります。例えば、

{\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}.

帯分数を引くには、被減数から1を借りることができます。例えば

4-2{\tfrac {3}{4}}=(4-2-1)+{\bigl (}1-{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}=1{\tfrac {1}{4}}.

乗算

分数に別の分数を掛ける

分数を掛け合わせるには、分子同士を掛け合わせ、分母同士を掛け合わせます。したがって、次のようになります。

{\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {6}{12}}.

このプロセスを説明するために、1/4 の 3 分の 1 を考えてみましょう。ケーキを例にとると、同じ大きさの小さな一切れ 3 つで 1/4 が構成され、4 つの 4 つで全体が構成されるとすると、このような小さくて同じ大きさの一切れが 12 個で全体が構成されます。したがって、1/4 の 3 分の 1 は 12 分の 1 です。次に、分子を考えてみましょう。最初の分数である 3 分の 2 は、3 分の 1 の 2 倍です。1/4 の 3 分の 1 は 12 分の 1 なので、1/4 の 3 分の 2 は 12 分の 2 です。2 番目の分数である 4 分の 3 は、4 分の 1 の 3 倍なので、4 分の 3 分の 2 は、4 分の 1 の 3 分の 2 の 3 倍です。したがって、4 分の 3 分の 2 に 4 分の 3 をかけると 12 分の 6 になります。

分数の乗算の簡略化として「約分」という方法があります。これは、乗算中に答えを既約分数に簡約化することを意味します。例えば、次のようになります。

{\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {{\color {RoyalBlue}{\cancel {\color {Black}2}}}^{~1}}{{\color {RedOrange}{\cancel {\color {Black}3}}}^{~1}}}\times {\frac {{\color {RedOrange}{\cancel {\color {Black}3}}}^{~1}}{{\color {RoyalBlue}{\cancel {\color {Black}4}}}^{~2}}}={\frac {1}{1}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}.

2は左側の分数の分子と右側の分母の両方に共通する因数であり、両方から割り切れます。3は左側の分母と右側の分子の両方に共通する因数であり、両方から割り切れます。

分数を整数で掛ける

整数はそれ自身を 1 で割ったものとして書き換えることができるため、通常の分数の乗算規則は依然として適用できます。たとえば、

6\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}.

この方法が有効なのは、分数6/1が6つの等しい部分を意味し、それぞれの部分が全体であるからです。

帯分数の掛け算

帯分数の積は、それぞれを仮分数に変換することで計算できます。^{[ 27 ]}例えば、

3\times 2{\frac {3}{4}}={\frac {3}{1}}\times {\frac {2\times 4+3}{4}}={\frac {33}{4}}=8{\frac {1}{4}}.

あるいは、帯分数を和として扱い、二項式として掛け合わせることもできます。この例では、

3\times 2{\frac {3}{4}}=3\times 2+3\times {\frac {3}{4}}=6+{\frac {9}{4}}=8{\frac {1}{4}}.

分割

分数を整数で割るには、分子が割り切れる場合は分子をその数で割るか、分母にその数を掛けるかのどちらかです。例えば、 ${\tfrac {10}{3}}\div 5$ 等しい ${\tfrac {2}{3}}$ また、等しい ${\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}$ これは、 ${\tfrac {2}{3}}$ ある数を分数で割るには、その数にその分数の逆数を掛けます。したがって、 ${\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}$ 。

分数と小数表記間の変換

一般的な分数を小数に変換するには、分子を分母で割ります（これは慣用的に「分母を分子で割る」とも表現されます）。そして、結果を必要な精度に丸めます。たとえば、1 / 4を小数に変換するには、1つ4（"4つ1 ") を正確に得る0.25。1 / 3を小数に変換するには、1 ...3（"3つ1... ")、そして、目的の精度が得られた時点で停止します。たとえば、小数点以下4桁（1万分の1）で停止します。0.3333。分数1/4は小数点以下 2 桁で正確に表すことができますが、分数1/3は有限桁の小数として正確に表すことはできません。小数式は、小数点以下を取り除き、その結果を分子として使用し、小数点以下を2桁で割ることによって分数に変換できます。1 の後に、分母と同じ数のゼロが続きます。したがって、 $1.23={\tfrac {123}{100}}.$

10進数表記の循環数字を分数に変換する

小数は計算を行う際に扱いやすいという利点がある一方で、分数ほどの精度が得られない場合もあります。同じ精度を得るには、無限に続く循環小数が必要になることもあります。そのため、循環小数を分数に変換することが有効な場合が多いのです。

循環小数を表す一般的な方法は、繰り返される数字の上に横棒（ヴィンキュラムと呼ばれる）を付けることです。例えば、0.789 = 0.789789789.... 小数点の直後から始まる繰り返しパターンについては、変換結果は、そのパターンを分子とし、同じ数の9を分母とする分数になります。例えば、次のようになります。

0.5 = 5/9

0.62 = 62/99

0.264 = 264/999

0.6291 = 6291/9999

パターンの前にゼロが先行する場合、9の後に同じ数の末尾ゼロが付加されます。

0.0 5 = 5/90

0.000 392 = 392/999000

0.00 12 = 12/9900

パターンの前に重複しない数字の並びがある場合（例えば0.1523 987）、その数は重複しない部分と重複する部分の和として表すことができます。

0.1523 + 0.0000 987

次に、両方の部分を分数に変換し、上記の方法を使用してそれらを加算します。

1523 / 10000 + 987 / 9990000 = 1522464 / 9990000

あるいは、以下のように代数を用いることもできます。

xを循環小数とする。
x = 0.1523 987
小数点が循環小数部分の直前に移動するように、両辺にちょうど十分な大きさの10のべき乗（この場合は10⁴）を掛けます^。
10,000 x = 1,523.987
両辺に、繰り返される箇所の数と同じ数の10のべき乗（この場合は10³） ^{を掛けます。}
10,000,000 x = 1,523,987.987
2つの式を互いに引き算します（a = bかつc = dの場合、a − c = b − dとなります）。
10,000,000 x − 10,000 x = 1,523,987.987 − 1,523.987
循環小数を消去するために、減算演算を続行します。
9,990,000 x = 1,523,987 − 1,523
9,990,000 x = 1,522,464
xを分数で表すには、両辺を9,990,000で割ります。
x = 1522464 / 9990000

抽象数学における分数

分数は実用的な重要性が高いだけでなく、数学者によっても研究されており、上記の分数の規則が一貫性があり信頼できるものであることが確認されています。数学者は分数を順序対として定義します。 $(a,b)$ 整数の $a$ そして $b\neq 0,$ 加算、減算、乗算、除算の演算は次のように定義されます。^{[ 28 ]}

(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,

(a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,

(a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)

(a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{with, additionally, }}c\neq 0)

これらの定義は、いずれの場合も上記の定義と一致します。異なるのは表記法のみです。あるいは、減算と除算を演算として定義する代わりに、加算と乗算に関する逆分数を次のように定義することもできます。

{\begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{\text{additive inverse fractions,}}\\&&&{\text{with }}(0,b){\text{ as additive unities, and}}\\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{\text{multiplicative inverse fractions, for }}a\neq 0,\\&&&{\text{with }}(b,b){\text{ as multiplicative unities}}.\end{aligned}}

さらに、次のように指定される関係

(a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,

これは分数の同値関係です。ある同値類に属する各分数は、その同値類全体の代表とみなすことができ、また、各同値類全体は、1 つの抽象的な分数とみなすことができます。この同値性は、上述の演算によって保持されます。つまり、分数に対する演算の結果は、その同値類からの代表の選択に依存しません。形式的には、分数の加算については、

(a,b)\sim (a',b')\quad

そして

\quad (c,d)\sim (c',d')\quad

暗示する

((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))

他の操作についても同様です。

整数の分数の場合、 $a$ と $bが$ 互いに素で $b$ $>0$ である分数a / bは、対応する分数の一意的な代表として用いられることが多く、これらの分数は同一の有理数とみなされます。このようにして、整数の分数は有理数体を構成します。

より一般的には、aとb は任意の整域Rの要素である可能性があり、その場合、分数はRの分数体の要素となります。例えば、ある整域Dの係数を持つ 1 つの不定元を含む多項式は、それ自体が整域であり、それをPとします。したがって、 Pの要素であるaとbに対して、生成される分数体は有理分数体（有理関数体とも呼ばれる）となります。

代数分数

代数分数とは、2つの代数式の商のことです。整数の分数と同様に、代数分数の分母はゼロにはなりません。代数分数の2つの例は次のとおりです。 ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ そして ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ 代数分数は算術分数と同じ体の性質に従います。

分子と分母が多項式である場合、例えば⁠ ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ 代数分数は有理分数（または有理式）と呼ばれます。無理分数は有理分数ではない分数であり、例えば、分数指数または平方根の中に変数を含む分数などです。 ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ ⁠ .

代数分数を表す用語は、通常の分数を表す用語と似ています。たとえば、分子と分母に共通する因数が 1 と −1 だけの場合、代数分数は既約分数です。分子または分母、あるいはその両方に分数が含まれる代数分数、例えば⁠ ${\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}$ は複分数と呼ばれます。

有理数の体は整数の分数の体であり、整数自体は体ではなく整域である。同様に、ある体の係数を持つ有理分数は、その体の係数を持つ多項式の分数の体を形成する。実数係数を持つ有理分数を考えると、数を表す根号式、例えば⁠ $\textstyle {\sqrt {2}}/2$ ⁠、も有理分数であり、のような超越数も同様です。 ${\textstyle \pi /2,}$ すべて ${\sqrt {2}},\pi ,$ そして $2$ これらは実数であり、したがって係数とみなされます。しかし、これらの数値は整数係数を持つ有理分数ではありません。

部分分数という用語は、有理分数をより単純な分数の和に分解するときに使用されます。たとえば、有理分数 ${\frac {2x}{x^{2}-1}}$ 2つの分数の和として分解できる。 ${\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}$ これは、有理関数の原始関数を計算する際に役立ちます（詳しくは部分分数分解を参照してください）。

過激な表現

分数の分子または分母に根号が含まれる場合もあります。分母に根号が含まれている場合、特にその分数を別の分数と加算または比較するなどの演算を行う場合は、分母を有理化すると便利です（根号式の簡略化された形式を参照）。また、除算を手作業で行う場合にも便利です。分母が単項式の平方根である場合は、分数の分子と分母の両方に分母を掛けることで有理化できます。

{\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}.

二項式の分母を有理化するプロセスは、分数の分子と分母に分母の共役を掛けて分母を有理数にすることです。例えば、次のようになります。

{\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}},

{\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}.

たとえこの過程によって分子が無理数になったとしても（上記の例のように）、分母で扱う無理数の数を減らすことで、その後の操作が容易になる場合がある。

活字のバリエーション

コンピュータのディスプレイや活字印刷では、単純な分数は1文字で表記されることがあります（例：½（2分の1 ））。 Unicodeでの表記方法については、「数値形式」の記事を参照してください。

科学出版では、分数を設定する4つの方法と使用に関するガイドラインを区別しています。^{[ 29 ]}

特殊分数：斜線付きの1文字で表され、テキスト内の他の文字とほぼ同じ高さと幅を持つ分数。一般的に、1/2、1/3、2/3、1/4、3/4などの単純な分数に使用されます。数字が小さいため、特に小さなフォントサイズでは読みやすさが問題となる場合があります。これらは現代の数学表記では使用されませんが、他の文脈で使用されます。
大文字分数: 特殊分数と同様に、これらは単一の活字として表示されますが、水平線が付いているため、縦書きになります。例としては 1/2 がありますが、他の文字と同じ高さで表示されます。一部の資料では、水平線の方向に関係なく、活字スペースを 1 つしか占めない分数の表示はすべて大文字分数として扱います。 ^[³⁰^]
シリング、またはソリダス分数: 1/2 は、この表記が十進法以前の英国通貨 ( £sd ) に使用されていたことからそのように呼ばれています。例えば、ハーフクラウンは「2/6」で、2 シリングと 6 ペンスを意味します。2シリングと 6 ペンスという表記は分数を表すものではありませんでしたが、現在では、特に散文の中に含まれる分数 (表示される分数ではなく) で、行の不均一を避けるためにスラッシュが使用されています。また、読みやすさを向上させるために、分数の中の分数 (複雑な分数) や指数の中にも使用されます。このように書かれた分数は、ピース分数とも呼ばれ、^{[ 31 ]}すべて 1 行に書かれていますが、3 つ以上のスペースを占有します。
構成分数： ${\frac {1}{2}}$ この表記法は、2行以上の通常のテキストを使用し、他のテキストの中に含まれる場合、行間の間隔が変化するという結果になります。大きく読みやすいものの、特に単純な分数や複雑な分数の中では、読みづらくなることがあります。

歴史

最も初期の分数は整数の逆数でした。古代の記号は、2 の 1 分の 1、3 の 1 分の 1、4 の 1 分の 1 などを表していました。^[³²^]エジプト人は紀元前1000年頃にエジプト分数を使用していました。約 4000 年前、エジプト人はわずかに異なる方法で分数を使って割り算をしていました。彼らは単位分数で最小公倍数を使用していました。彼らの方法は現代の方法と同じ答えを出しました。^[³³^]エジプト人はまた、特定の重量と測定システムで使用される二進分数のための異なる表記法を持っていました。 ^[³⁴^]

ギリシャ人は単位分数と（後に）単純な連分数を使用していた。ギリシャの哲学者ピタゴラス（紀元前530年頃）の弟子たちは、 2の平方根は整数の分数で表すことができないことを発見した。（これは一般的にメタポントムのヒッパソスに帰せられているが、おそらく誤りであり、彼はこの事実を明らかにしたために処刑されたと言われている。）紀元前150年、インドのジャイナ教の数学者たちは、数の理論、算術演算、分数の演算に関する研究を含むスタナンガ・スートラを著した。

ビンナと呼ばれる現代の分数の表現は、インドで生まれたようです。これらは、バクシャリ写本（紀元400年頃）^{[ 35 ]} 、ブラフマグプタ（紀元628年頃）、バースカラ（紀元1150年頃）^{[ 36 ]}で初めて記述されました。彼らの著作では、分子（サンスクリット語：amsa）を分母（cheda）の上に置くことで分数を形成しますが、その間に横棒は入りません。^{[ 36 ]}整数は1行に、分数は2つの部分に分けて次の行に書かれます。分数が小さな丸⟨०⟩または十字⟨+⟩でマークされている場合は、整数から減算されます。そのような記号がない場合は、加算されるものと理解されます。たとえば、バースカラ1世は次のように書いています。^{[ 37 ]}

6 1 2

1 1 _{1 0}

４５９

これは、

6 1 2

1 1 −1

4 5 9

そして、現代の記法では6 1 / 4、1 1 / 5、2 − 1/9 (つまり1 8/9 )と表記される。

水平分数線は、モロッコのフェズ出身のイスラム教徒の数学者で、イスラム相続法を専門としていたアル・ハッサール（1200年頃活躍）^[³⁶^]の著作で初めて確認されている。彼はその議論の中で次のように書いている。「例えば、5分の3と5分の3を書くように言われたら、このように書きます。 ${\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}$ 「. ^{[ 38 ]}同じ分数表記法（整数の前に分数が示される）^{[ 36 ]}は、13世紀のレオナルド・フィボナッチの著作にもすぐに現れる。 ^{[ 39 ]}

ディルク・ヤン・ストライクは、小数の起源について論じる中で、次のように述べている。^[⁴⁰^]

小数点が一般的な計算方法として導入されたのは、1585年にライデンで出版されたフランドルの数学者シモン・ステヴィン（1548-1620）によるフランドルのパンフレット『De Thiende』と、そのフランス語訳『 La Disme』に遡ることができる。ステヴィンは当時、北ネーデルラントに定住していた。確かに、中国ではステヴィンより何世紀も前から小数点が使われており、ペルシャの天文学者アル・カーシーは『算術の鍵』（サマルカンド、15世紀初頭）の中で、十進法と六十進法の両方を非常に容易に用いている。^[⁴¹^]

ペルシャの数学者ジャムシード・アル＝カーシーは15世紀に自ら十進分数を発見したと主張したが、J. レナート・ベルグレンは、十進分数は彼より5世紀も前の10世紀にバグダッドの数学者アブル＝ハサン・アル＝ウクリディシによって初めて使用されていたため、彼の主張は誤りであると指摘している。^[⁴²^]^[ⁿ³^]

正式な教育において

小学校

小学校では、分数はキュイジネール棒、分数棒、分数ストリップ、分数円、紙（折り畳んだり切ったりするためのもの）、パターンブロック、扇形のピース、プラスチック製の長方形、方眼紙、ドット紙、ジオボード、カウンター、コンピュータソフトウェアなどを用いて説明されてきました。

教師向け資料

米国のいくつかの州は、共通コア州基準イニシアチブの数学教育ガイドラインから学習経路を採用している。分数の学習と分数の演算の順序付けに加えて、この文書は分数を次のように定義している。「次の形式で表せる数」 $a$ ⁄ $b$ どこ $a$ は整数であり、 $b$ は正の整数です。（これらの基準では、分数という言葉は常に非負の数を指します。）」^{[ 44 ]}文書自体も負の分数に言及しています。

注記

↑ブリングハーストなどの一部のタイポグラファーは、スラッシュ⟨ / ⟩をヴィルグル、分数スラッシュ⟨ ⁄ ⟩をソリダスと誤って区別しているが^[⁶^]、実際にはどちらも標準スラッシュの同義語である^[⁷^]^[⁸^{] 。}
↑ここで「下品」とは、不快な意味ではなく、一般的または人気のある意味です。
↑数学史の学者の間では、アル＝ウクリディシの貢献の優位性について多少の意見の相違があるものの、彼が十進分数の概念に大きく貢献したことについては疑いの余地はない。^{[ 43 ]}

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[9] ブリングハーストなどの一部のタイポグラファーは、スラッシュ⟨ / ⟩をヴィルグル、分数スラッシュ⟨ ⁄ ⟩をソリダスと誤って区別しているが^[⁶^]、実際にはどちらも標準スラッシュの同義語である^[⁷^]^[⁸^{] 。}

[vulgar-10] ここで「下品」とは、不快な意味ではなく、一般的または人気のある意味です。

[46] 数学史の学者の間では、アル＝ウクリディシの貢献の優位性について多少の意見の相違があるものの、彼が十進分数の概念に大きく貢献したことについては疑いの余地はない。^{[ 43 ]}

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