代数幾何学

古典的な代数幾何学では、主な関心対象は多項式の集合の消滅集合、つまり1つ以上の多項式方程式を同時に満たすすべての点の集合です。例えば、3次元ユークリッド空間R³における半径1の2次元球は^、すべての点の集合として定義できます。${\displaystyle (x,y,z)}$と

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.\,}$

R ³における「傾斜した」円は、すべての点の集合として定義できます。${\displaystyle (x,y,z)}$ 2つの多項式方程式を満たす

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0,\,}$

${\displaystyle x+y+z=0.\,}$

まず、体kから始めます。古典的な代数幾何学では、この体は常に複素数Cでしたが、 kが代数的に閉じていると仮定するだけで、多くの同じ結果が成り立ちます。k上のn次元のアフィン空間を考えます。これをA ⁿ ( k )と表記します(文脈からkが明らかな場合は、より単純にA ⁿと表記します)。座標系を固定すると、 A ⁿ ( k ) をk ⁿと同一視することができます。k nを扱わない目的は、 k ^nが持つベクトル空間構造を「忘れる」ことを強調するためです。

関数f  : A ⁿ → A ¹は、多項式として表せる場合、すなわち、A n の座標 ( t 1 ,..., t n ) を持つすべての点 M に対して f ( M ) = p ( t 1 ,..., t n ) となるような k [ x 1 ,..., x n ] の多項式 p が存在する場合、多項式(または_正則)で_あると言われます。関数が多項式(または_正則)であるという性質は_、 A n_の座標系_の選択に依存^しません。

座標系を選択すると、アフィンn空間上の正則関数は、 k上のn変数多項式関数の環と同一視できます。したがって、 A ⁿ上の正則関数の集合は環であり、k [ A ⁿ ] と表記されます。

多項式が点においてゼロになるのは、その点で評価するとゼロになる場合である。Sをk [ A ⁿ ]の多項式の集合とする。Sの消失集合(または消失軌跡またはゼロ集合) は、 Sのすべての多項式がゼロになるA ⁿのすべての点の集合V ( S ) である。記号で表すと、

${\displaystyle V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\mid p(t_{1},\dots ,t_{n})=0{\text{ for all }}p\in S\}.\,}$

あるSに対してV ( S )となるA ⁿの部分集合を代数集合と呼ぶ。V は多様性（後述する特定の種類の代数集合）を表す。

A ⁿの部分集合Uが与えられたとき、それを生成する多項式の集合を復元できますか? UがA ⁿの任意の部分集合である場合、I ( U ) を、消滅集合がU を含むすべての多項式の集合と定義します。Iはイデアルを表します。2 つの多項式fとg が両方ともU上で消滅する場合、f + g はU上で消滅し、h が任意の多項式である場合、hf はU上で消滅するため、I ( U ) は常に多項式環k [ A ⁿ ] のイデアルになります。

当然ながら、次のような2つの疑問が生じます。

• A ⁿの部分集合Uが与えられたとき、U = V ( I ( U )) となるのはどのような場合ですか？
• 多項式の集合Sが与えられたとき、S = I ( V ( S ))となるのはどのような場合ですか？

最初の質問への答えは、ザリスキー位相を導入することで得られます。ザリスキー位相とは、閉集合が代数集合であるA ⁿ上の位相であり、 k [ A ⁿ ] の代数構造を直接反映するものです。したがって、U = V ( I ( U )) となるのは、U が代数集合、または同等にザリスキー閉集合である場合のみです。 2 番目の質問への答えは、ヒルベルトのヌルシュテレンザッツによって与えられます。その形式の一つでは、I ( V ( S )) はSによって生成されるイデアルの根基であると述べています。より抽象的な言葉で言えば、ガロア接続があり、2 つの閉包演算子が生じます。これらは同一視でき、理論において当然基本的な役割を果たします。例については、ガロア接続で詳しく説明します。

さまざまな理由から、代数集合Uに対応するイデアル全体を常に扱うことを望まない場合があります。ヒルベルトの基底定理は、k [ A ⁿ ]のイデアルは常に有限生成であることを意味します。

代数集合は、2 つのより小さな代数集合の和集合として表せない場合、既約であると呼ばれます。任意の代数集合は、有限個の既約代数集合の和集合であり、この分解は一意です。したがって、その要素は、代数集合の既約成分と呼ばれます。既約代数集合は、多様体とも呼ばれます。代数集合が多様体であるのは、それが多項式環の素イデアルの消滅集合として定義できる場合のみであることがわかります。

代数集合と代数多様体を明確に区別しない著者もおり、必要に応じて既約多様体を用いて区別を行っている。

連続関数が位相空間上の自然な写像であり、滑らかな関数が微分多様体上の自然な写像であるのと同様に、代数集合上にも、正則関数または多項式関数と呼ばれる自然な関数のクラスが存在する。A nに含まれる代数集合V上の正則関数は、^A n^上の正則関数をVに制限したものである。複素数体上で定義された代数集合の場合、正則関数は滑らかであり、解析的でもある。

正則関数が常に周囲の空間に拡張されることを要求するのは、不自然に制約が多いように思えるかもしれないが、これは通常の位相空間における状況と非常によく似ている。通常の位相空間では、ティーツェ拡張定理によって、閉集合上の連続関数は常に周囲の位相空間に拡張されることが保証されている。

アフィン空間上の正則関数と同様に、V上の正則関数は環を形成し、これをk [ V ] と表記します。この環はV の座標環と呼ばれます。

V 上の正則関数はA ⁿ上の正則関数から得られるため、座標環の間には関係があります。具体的には、V上の正則関数がk [ A ⁿ ]における2 つの関数fとgの制限である場合、 f − gはV上で零となる多項式関数であり、したがってI ( V )に属します。したがって、 k [ V ] はk [ A ⁿ ]/ I ( V )と同一視できます。  

アフィン多様体からA ¹への正則関数を使用すると、あるアフィン多様体から別のアフィン多様体への正則写像を定義できます。まず、多様体からアフィン空間への正則写像を定義します。VをA ⁿに含まれる多様体とします。V上のm 個の正則関数を選択し、それらをf ₁、 ...、f _{mと呼びます。f} = ( f ₁、 ...、f _m )とすることで、VからA ^mへの正則写像fを定義します。言い換えると、各f _{i は}fの値域の 1 つの座標を決定します。

V ′ がA ^mに含まれる多様体である場合、 fの値域がV ′に含まれるとき、 f はVからV ′への正則写像であると言います。

正則写像の定義は代数集合にも適用されます。正則写像は射とも呼ばれ、すべてのアフィン代数集合の集合を、対象がアフィン代数集合、射が正則写像である圏にまとめます。アフィン多様体は、代数集合の圏の部分圏です。

VからV ′への正則写像gとk [ V ′]の正則関数fが与えられたとき、f ∘ g ∈ k [ V ]である。写像f → f ∘ gはk [ V ′]からk [ V ] への環準同型である。逆に、k [ V ′]からk [ V ] へのすべての環準同型は、 VからV ′への正則写像を定義する。これは、代数集合の圏と、有限生成縮約k代数の反対の圏との間の圏の同値性を定義する。この同値性は、スキーム理論の出発点の 1 つです。

前の節とは対照的に、この節では代数集合ではなく多様体のみを扱います。一方、アフィン多様体とその射影完備化は同じ関数体を持つため、定義は射影多様体（次の節）にも自然に拡張できます。

Vがアフィン多様体である場合、その座標環は整域であり、したがって分数体k ( V )を持ち、これはV上の有理関数体、または略してVの関数体と呼ばれます。その要素は、 Vを含むアフィン空間上の有理関数のVへの制限です。有理関数fの定義域はVではなく、 fの分母がゼロになる部分多様体 (超曲面) の補集合です。

通常の写像と同様に、多様体Vから多様体V 'への有理写像を定義することができる。通常の写像と同様に、 VからV 'への有理写像は、k ( V ' )からk ( V ) への体準同型と同一視することができる。

2つのアフィン多様体は、両者が定義される領域において互いに逆関数となる2つの有理関数が存在する場合、双有理的に同値である。言い換えれば、それらの関数体が同型である場合も双有理的に同値である。

アフィン多様体は、アフィン空間と双有理的に同値である場合、有理多様体である。これは、その多様体が有理パラメータ化、すなわち有理関数によるパラメータ化を許容することを意味する。例えば、方程式の円は${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$は有理曲線であり、媒介変数方程式は

${\displaystyle x={\frac {2\,t}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle y={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,,}$

これは、直線から円への合理的な地図と見なすこともできる。

特異点解消問題とは、すべての代数多様体が、射影完備化が非特異である多様体と双有理的に同値であるかどうかを調べる問題である（滑らかな完備化も参照）。この問題は、1964年に広中平介によって標数0の場合には肯定的に解決されたが、標数有限の場合には未解決である。

2次、3次、4次多項式の根の公式が、実数を複素数というより代数的に完全な設定に拡張することを示唆しているのと同様に、代数多様体の多くの性質は、アフィン空間をより幾何学的に完全な射影空間に拡張することを示唆している。複素数は多項式x² + 1の根である数iを加えることによって得られるのに対し、射影空間は平行線が交わる可能性のある「無限遠」の点を適切に加えることによって得られる^。

これがどのように起こるかを見るために、多様体V ( y − x ² )を考えてみましょう。これを図示すると、放物線が得られます。xが正の無限大に近づくと、原点から点 ( x , x ² )までの直線の傾きも正の無限大に近づきます。xが負の無限大に近づくと、同じ直線の傾きも負の無限大に近づきます。 

これを多様体V ( y − x ³ ) と比較してみましょう。これは三次曲線です。x が正の無限大に近づくと、原点から点 ( x , x ³ ) までの直線の傾きは、以前と同様に正の無限大に近づきます。しかし、以前とは異なり、x が負の無限大に近づくと、同じ直線の傾きも正の無限大に近づきます。これは放物線とは正反対です。したがって、 V ( y − x ³ )の「無限大」での挙動は、V ( y − x ² )の「無限大」での挙動とは異なります。       

2つの曲線の射影的完成、すなわち射影平面における「無限遠点」への延長を考慮することで、この違いを定量化できます。放物線の無限遠点は正則点であり、その接線は無限遠点における直線です。一方、3次曲線の無限遠点は尖点です。また、両方の曲線はxによってパラメータ化されているため有理曲線であり、リーマン・ロッホの定理によれば、3次曲線には特異点が存在しなければなりません。アフィン空間におけるすべての点が正則であるため、その特異点は無限遠点に存在するはずです。

このように、双有理同値性や位相的性質など、代数多様体の多くの性質は「無限遠点」での振る舞いに依存するため、射影空間で多様体を研究するのは自然なことである。さらに、射影的手法の導入により、代数幾何学における多くの定理がより簡潔かつ明確になった。例えば、 2つの多様体の交点の数に関するベズーの定理は、射影空間においてのみ最も明確な形で記述できる。これらの理由から、射影空間は代数幾何学において根本的な役割を果たしている。

今日では、次元nの射影空間P ^{nは、通常、次元}n + 1のアフィン空間において原点とみなされる点を通る直線の集合、あるいは同等に、次元 n + 1 のベクトル空間におけるベクトル直線の集合として定義されます。次元n + 1の空間で座標系が選択されると、直線上のすべての点は、 kの要素を乗じることを除いて、同じ座標の集合を持ちます。これにより、 P ⁿの点の同次座標は、基底体kのn + 1個の要素の列として定義され、 kの非ゼロ要素を乗じることを除いて定義されます(列全体で同じ)。

n + 1変数の多項式が原点を通る直線上のすべての点でゼロになるのは、それが同次である場合に限る。この場合、多項式はP ⁿの対応する点でゼロになると言う。これにより、 P ⁿにおける射影代数集合を、有限個の同次多項式{ f ₁ , ..., f _k }がゼロになる集合V ( f ₁ , ..., f _k )として定義することができる。アフィン代数集合と同様に、射影代数集合と、それらを定義する縮約同次イデアルとの間には全単射が存在する。射影多様体は、定義イデアルが素数である射影代数集合である。言い換えれば、射影多様体とは、同次座標環が整域である射影代数集合のことである。射影座標環は、次数付き環またはn +1変数多項式を、その多様体を定義する同次（縮約）イデアルで割った商環として定義される。すべての射影代数集合は、一意的に射影多様体の有限個の和集合に分解できる。

射影多様体上で適切に定義できる唯一の正則関数は定数関数である。したがって、この概念は射影的な状況では使用されない。一方、有理関数体、すなわち関数体は有用な概念であり、アフィン変換の場合と同様に、同次座標環における同じ次数を持つ2つの同次要素の商の集合として定義される。

グロブナー基底とは、多項式イデアルの生成子の体系であり、その計算によって、イデアルによって定義されるアフィン代数多様体の多くの性質を導き出すことができる。

代数集合Vを定義するイデアルIが与えられた場合：

• Vが空であるのは（基底体の代数的に閉じた拡大体上で）任意の単項式順序に対する Gröbner 基底が{1} に縮小される場合に限る。
• ヒルベルト級数を用いることで、 Iの任意のグロブナー基底からVの次元と次数を計算し、全次数を細分化することができる。
• Vの次元が 0 の場合、 Iの任意の Gröbner 基底からVの点 (有限個) を計算することができます(多項式方程式のシステムを参照)。
• グレブナー基底の計算により、与えられた超曲面に含まれる既約成分をすべてVから取り除くことができる。
• グロブナー基底の計算により、 k 個の最初の座標への射影によるVの像のザリスキー閉包と、射影が適切でない像の部分集合を計算することができます。
• より一般的には、グロブナー基底の計算により、 Vの有理関数の像のザリスキー閉包と、その関数の臨界点を別のアフィン多様体へ計算することができる。

グレブナー基底計算では、 Iの素分解やVの既約成分を定義する素イデアルを直接計算することはできませんが、これらの計算を行うアルゴリズムのほとんどはグレブナー基底計算を伴います。グレブナー基底に基づかないアルゴリズムは正則鎖を使用しますが、例外的な状況ではグレブナー基底が必要になる場合があります。

グレブナー基底の計算は困難であると考えられています。実際、最悪の場合、変数の数に対して次数が二重指数関数的に増加する多項式と、同様に二重指数関数的に増加する多項式が含まれる可能性があります。しかし、これは最悪の場合の複雑さに過ぎず、1979年のラザールのアルゴリズムの複雑さの限界がしばしば適用されます。フォージェールのF5アルゴリズムはこの複雑さを実現しており、1979年のラザールのアルゴリズムの改良版と見なすことができます。したがって、最良の実装では、次数が100を超える代数集合をほぼルーチン的に計算できます。これは、現状では、グレブナー基底の計算の難しさは、問題の本質的な難しさと密接に関係していることを意味します。

CADは、1973年にG.コリンズによって導入されたアルゴリズムであり、実数上の量化子消去に関するタルスキー・ザイデンベルグの定理を許容可能な複雑さで実装することを目的としている。

この定理は、原子式が多項式の等式または実数係数を持つ多項式間の不等式である一階述語論理の式に関するものです。したがって、これらの式は、原子式から論理演算子and (∧)、or (∨)、not (¬)、すべての(∀)、および存在する(∃) によって構成できる式です。タルスキーの定理は、このような式から、量化子 (∀、∃) を含まない同等の式を計算できると主張しています。

CADの複雑さは、変数の数に対して二重指数関数的に増加する。これは、理論的には、このような式で表現できる実代数幾何学のあらゆる問題をCADで解くことができることを意味する。つまり、明示的に与えられた多様体や半代数集合に関するほぼすべての問題がCADによって解けるということである。

グロブナー基底の計算は、まれなケースでのみ二重指数関数的な計算量を必要とするのに対し、CADはほぼ常にこの高い計算量を必要とする。これは、入力に含まれる多項式のほとんどが線形でない限り、4つ以上の変数を含む問題を解くことができない可能性があることを意味する。

1973年以降、この分野における研究のほとんどは、CADの改良、あるいは一般的に関心のある特殊なケースにおける代替アルゴリズムの発見に費やされてきた。

最新技術の一例として、半代数集合のすべての連結成分に少なくとも1つの点を見つける効率的なアルゴリズムが存在し、それによって半代数集合が空集合であるかどうかを判定できる。一方、連結成分の数を数えるアルゴリズムとしては、実際にはCADが依然として最良の選択肢である。

計算幾何学の基本的な一般アルゴリズムは、最悪の場合の計算量が二重指数関数的になります。より正確には、入力多項式の最大次数をd 、変数の数をnとすると、その計算量は定数cに対して最大でd ^{2 cn}であり、入力によっては、別の定数c ′ に対して少なくともd ^{2 c ′ n}となります。

20世紀最後の20年間で、特定のサブ問題をより高い計算量で解決するための様々なアルゴリズムが導入されました。これらのアルゴリズムのほとんどは、${\displaystyle d^{O(n^{2})}}$[ ^{1 ]​}

グレブナー基底によって解決される問題のサブ問題を解決するアルゴリズムとしては、アフィン多様体が空集合であるかどうかを判定するアルゴリズムや、有限個の解を持つ非同次多項式系を解くアルゴリズムなどが挙げられる。このようなアルゴリズムは、ほとんどのエントリにおいて、フォージェールのF4およびF5アルゴリズムの方が実用効率が高く、計算量も同等かそれ以上であるため（おそらく、特定のエントリのクラスにおけるグレブナー基底アルゴリズムの計算量の評価は困難な作業であり、ごく少数の特殊なケースでしか行われていないため）、実装されることは稀である。

CADで解決される問題を解く実代数幾何学の主なアルゴリズムは、半代数集合のトポロジーに関連しています。連結成分の数を数えること、2点が同じ成分にあるかどうかをテストすること、実代数集合のホイットニー層化を計算することなどが挙げられます。これらのアルゴリズムの複雑さは${\displaystyle d^{O(n^{2})}}$しかし、 O記法に伴う定数が非常に大きいため、たとえ世界中のあらゆる計算能力を駆使したとしても、CADで効果的に解決できるような非自明な問題を解決するためにこれらのアルゴリズムを使用することは不可能です。そのため、これらのアルゴリズムはこれまで実装されたことがなく、漸近的な複雑さと実用的な効率性を両立させたアルゴリズムを探索することは、活発な研究分野となっています。

代数幾何学の起源の一部は、紀元前 5 世紀のヘレニズム時代のギリシャ人の研究に遡ります。たとえば、デロスの問題は、辺の長さが x の立方体が、辺の長さが a と b の長方形の箱 a 2 b と同じ体積を持つように、長さxを構成する^ことでした。メナエクモス(紀元前350年頃) は、平面円錐曲線ay = x ²とxy = abのペアを交差させることで、この問題を幾何学的に考察しました。 ^{[ 2 ]}紀元前 3 世紀には、アルキメデスとアポロニウスが、座標を使用して円錐曲線に関する追加の問題を体系的に研究しました。^{[ 2 ] [ 3 ]}アポロニウスは『円錐曲線論』で、解析幾何学と非常によく似た方法をさらに発展させたため、彼の研究は、デカルトの研究を約 1800 年も先取りしていたと考えられています。 ^{[ 4 ]}彼が用いた基準線、直径、接線は、現代の座標系の使い方と本質的に変わりません。現代の座標系では、接点から直径に沿って測った距離が横座標、接線に平行で軸と曲線の間に挟まれた線分が縦座標です。彼はさらに、放物線や曲線などの幾何学的方法を用いて、横座標と対応する座標の関係を発展させました。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}中世の数学者、例えば中世のオマル・ハイヤーム、ピサのレオナルド、ゲルソニデス、ニコール・オレームらは、^{[ 8 ]}純粋に代数的な方法で特定の三次方程式や二次方程式を解き、その結果を幾何学的に解釈しました。ペルシャの数学者オマル・ハイヤーム（西暦1048年生まれ）は、算術、代数、幾何学の間には関係があると信じていた。^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}    これはジェフリー・オークスによって批判され、彼は方程式による曲線の研究は17世紀のデカルトに始まったと主張している。^{[ 12 ]}

代数問題に幾何学的構成を適用するこのような手法は、ジェロラモ・カルダーノやニッコロ・フォンタナ「タルタリア」など、多くのルネサンス期の数学者によって、三次方程式の研究にも採用されました。構成問題に対する代数的アプローチではなく幾何学的アプローチは、16世紀と17世紀の数学者のほとんどに好まれ、特に幾何学における代数的および解析的方法の使用に反対したブレーズ・パスカルがその代表例です。 ^{[ 13 ]}フランスの数学者フランシスクス・ヴィエタ、そして後にルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーは、座標幾何学の導入によって、構成問題に関する従来の考え方に革命をもたらしました。彼らは主に、ディオファントス方程式によって定義されるような代数曲線の性質（フェルマーの場合）や、円錐曲線と三次曲線に関する古典ギリシャの著作の代数的再定式化（デカルトの場合）に関心を持っていました。

同時期に、ブレーズ・パスカルとジェラール・デザルグは、射影幾何学の総合的な概念を発展させ、異なる視点から幾何学に取り組んだ。パスカルとデザルグは曲線も研究したが、それは純粋に幾何学的な観点からであり、古代ギリシャの定規とコンパスによる作図に相当するものであった。最終的に、デカルトとフェルマーの解析幾何学が勝利を収めた。なぜなら、それは18世紀の数学者たちに、ニュートンとライプニッツの新しい微積分を用いて物理問題を研究するために必要な具体的な定量的ツールを提供したからである。しかし、18世紀末までには、座標幾何学の代数的性質のほとんどが、ラグランジュとオイラーの微積分によって包含されるようになった。

古い代数的な概念を幾何学の枠組みに取り戻すには、19世紀に非ユークリッド幾何学とアーベル積分が同時に発展する必要がありました。これらの新しい発展の最初のものは、射影空間の一般化された計量特性を明らかにしようとしたエドモン・ラゲールとアーサー・ケイリーによって取り上げられました。ケイリーは、射影空間上の同次多項式形式、より具体的には二次形式の概念を導入しました。その後、フェリックス・クラインは、空間上の幾何学は空間上の特定のクラスの変換によって符号化されるという観点から、射影幾何学（および他の種類の幾何学）を研究しました。19世紀末までに、射影幾何学者は射影空間内の図形上のより一般的な種類の変換を研究していました。射影空間上の基本的なクライン幾何学を与えると通常考えられていた射影線形変換ではなく、彼らはより高次の双有理変換にも関心を寄せました。このより弱い合同の概念は、後に20世紀のイタリア代数幾何学学派の人々が、双有理同型までの代数曲面を分類するに至った。

19世紀初頭の2つ目の発展であるアーベル積分は、ベルンハルト・リーマンをリーマン面の開発へと導いた。

同時期に、可換代数を通して代数幾何学の代数化が始まった。この方向における顕著な成果は、代数幾何学と可換代数のつながりの基礎となるヒルベルトの基底定理とヒルベルトのヌルシュテレンザッツ、そして消去理論の基礎となるマコーレーの多変数終結式である。多変数終結式が示唆する計算量の多さのためか、消去理論は20世紀半ばには忘れ去られていたが、特異点理論と計算代数幾何学によって再び注目されるようになった。^{[ a ]}

BL ファン・デル・ヴェルデン、オスカー・ザリスキー、アンドレ・ヴェイユは、評価理論やイデアル理論を含む現代の可換代数学に基づいて、代数幾何学の基礎を築きました。その目的の一つは、イタリア代数幾何学学派の成果を証明するための厳密な枠組みを提供することでした。特に、この学派は、1930年代にこれらの著者によって初めて与えられた、明確な定義のない一般点の概念を体系的に使用していました。

1950年代から1960年代にかけて、ジャン＝ピエール・セールとアレクサンダー・グロタンディークは、層理論を用いて基礎を再構築した。その後、1960年頃から、主にグロタンディークの主導により、スキームの概念が、非常に洗練されたホモロジー的手法と連携して構築された。10年間の急速な発展の後、この分野は1970年代に安定し、数論と、代数多様体、特異点、モジュライ、形式的モジュライに関するより古典的な幾何学的問題の両方に新たな応用がなされた。

定義式から直接理解するのは容易ではないものの、重要な多様体のクラスとして、アーベル多様体がある。これは、点群がアーベル群を形成する射影多様体である。その典型的な例は楕円曲線であり、その理論は豊かである。楕円曲線はフェルマーの最終定理の証明に重要な役割を果たし、楕円曲線暗号にも用いられている。

多様体に関する一般的な命題を扱う代数幾何学の抽象的な潮流と並行して、具体的な多様体を用いた効率的な計算手法も開発され、計算代数幾何学という新たな分野が誕生した。この分野の基礎となる手法の一つは、1965年にブルーノ・ブッフベルガーによって導入されたグレブナー基底理論である。また、実代数幾何学に特化したもう一つの基礎となる手法は、1973年にジョージ・E・コリンズによって導入された円筒代数分解である。

参照：派生代数幾何学。

• クライン、M. (1972).古代から現代までの数学思想第1巻. オックスフォード大学出版局. ISBN 0195061357。