派生スキーム

アフィン代数幾何学が可換環論（一般に可換代数と呼ばれる）と（圏論的な意味で）同値であるのと同様に、標数ゼロ上のアフィン導来代数幾何学は可換微分次数環論と同値である。導来スキームの主な例の一つは、スキームの部分スキームの導来交差から得られ、コズル複体となる。例えば、${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]=R}$そうすれば、派生スキームが得られる

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{\bullet })=\mathbf {RSpec} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})\right)}$

どこ

${\displaystyle {\textbf {RSpec}}:({\textbf {dga}}_{\mathbb {C} })^{op}\to {\textbf {DerSch}}}$

はエタールスペクトルです。分解を構築できるので

${\displaystyle {\begin{matrix}0\to &R&{\xrightarrow {\cdot f_{i}}}&R&\to 0\\&\downarrow &&\downarrow &\\0\to &0&\to &R/(f_{i})&\to 0\end{matrix}}}$

派生環${\displaystyle R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})}$導出されたテンソル積は、コズル複素数である。${\displaystyle K_{R}(f_{1},\ldots ,f_{k})}$この導出されたスキームを振幅に切り捨てる${\displaystyle [-1,0]}$これは、派生代数幾何学を動機づける古典的なモデルを提供する。射影スキームがある場合、

${\displaystyle \operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\right)}$

どこ$\displaystyle \deg(f_{i})=d_{i}}$導出されたスキームを構築できます${\displaystyle (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {E}}^{\bullet },(f_{1},\ldots ,f_{k}))}$どこ

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-d_{k}){\xrightarrow {(\cdot f_{1},\ldots ,\cdot f_{k})}}{\mathcal {O}}]}$

振幅付き${\displaystyle [-1,0]}$。

させて${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$標数 の体上で定義された固定微分次数代数である${\displaystyle 0}$.それから${\displaystyle A_{\bullet }}$-微分段階代数${\displaystyle (R_{\bullet },d_{R})}$以下の条件が満たされる場合、半自由と呼ばれます。

1. 基礎となる段階的代数${\displaystyle R_{\bullet }}$は多項式代数である${\displaystyle A_{\bullet }}$つまり、それは${\displaystyle A_{\bullet }[\{x_{i}\}_{i\in I}]}$
2. 濾過が存在する${\displaystyle \varnothing =I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \cdots }$インデックスセットについて${\displaystyle I}$どこ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=I}$そして${\displaystyle d_{R}(x_{i})\in A_{\bullet }[\{x_{j}\}_{j\in I_{n}}]}$いかなる場合でも${\displaystyle x_{i}\in I_{n+1}}$。

結局、${\displaystyle A_{\bullet }}$微分次数代数は半自由からの全射準同型を許容する${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$微分次数代数、半自由分解と呼ばれる。これらは適切なモデル圏のホモトピー同値を除いて一意である。(相対)余接複体${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$-微分段階代数${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B})}$半自由分解を用いて構築することができる${\displaystyle (R_{\bullet },d_{R})\to (B_{\bullet },d_{B})}$: それは次のように定義されます

${\displaystyle \mathbb {L} _{B_{\bullet }/A_{\bullet }}:=\Omega _{R_{\bullet }/A_{\bullet }}\otimes _{R_{\bullet }}B_{\bullet }.}$

代数を用いることで多くの例を構築することができる${\displaystyle B}$標数 0 の体上の多様体を表す表現を見つける${\displaystyle R}$多項式代数の商として、そしてこの表示に関連付けられたコズル複体を取る。コズル複体は微分次数付き代数の半自由分解として機能する。${\displaystyle (B_{\bullet },0)}$どこ${\displaystyle B_{\bullet }}$これは、次数0に非自明な次数付き部分を持つ次数付き代数です。

超曲面の余接複素数${\displaystyle X=\mathbb {V} (f)\subset \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}}$簡単に計算できます。dga があるので${\displaystyle K_{R}(f)}$派生強化を表す${\displaystyle X}$、コタンジェント複素数は次のように計算できます。

${\displaystyle 0\to R\cdot ds{\xrightarrow {\Phi }}\bigoplus _{i}R\cdot dx_{i}\to 0}$

どこ${\displaystyle \Phi (gds)=g\cdot df}$そして${\displaystyle d}$これは通常の普遍導出です。完全交差を取ると、コズル複体は

${\displaystyle R^{\bullet }={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1})}}\otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{k})}}}$

は複体と準同型である

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}[+0].}$

これは、導出された環の余接複体を構成できることを意味する。${\displaystyle R^{\bullet }}$上記の各コタンジェント複体のテンソル積として${\displaystyle f_{i}}$。

導出幾何学の文脈における余接複体は、古典的なスキームの余接複体とは異なることに注意してください。つまり、次のように定義される超曲面に特異点がある場合${\displaystyle f}$すると、余接複体は無限の振幅を持つことになる。これらの観察結果は、有限長の複体を扱っていることから、派生幾何学における隠れた滑らかさの哲学を支持する動機付けとなる。

多項式関数が与えられた場合${\displaystyle f:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m},}$次に、（ホモトピー）プルバック図について考察する。

${\displaystyle {\begin{matrix}Z&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\downarrow f\\\{pt\}&{\xrightarrow {0}}&\mathbb {A} ^{m}\end{matrix}}}$

ここで、下側の矢印は原点における点の包含を表す。次に、導出されたスキームは${\displaystyle Z}$接線複素数を持つ${\displaystyle x\in Z}$射によって与えられる

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}=T_{x}\mathbb {A} ^{n}{\xrightarrow {df_{x}}}T_{0}\mathbb {A} ^{m}}$

ここで、複素数の振幅は${\displaystyle [-1,0]}$接空間は、以下の方法で復元できることに注意してください。${\displaystyle H^{0}}$そして${\displaystyle H^{-1}}$どれだけ遠く離れているかを測定します${\displaystyle x\in Z}$滑らかな点であることから。

スタックが与えられた場合${\displaystyle [X/G]}$接線複体に関する良い説明があります。

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}={\mathfrak {g}}_{x}\to T_{x}X.}$

射が単射でない場合、${\displaystyle H^{-1}}$空間の特異度を再び測定します。さらに、この複体のオイラー標数は、商スタックの正しい（仮想）次元を与えます。 特に、主のモジュライスタック を見ると、${\displaystyle G}$-バンドルの場合、接線複体は単に${\displaystyle {\mathfrak {g}}[+1]}$。

アフィン多様体を考える

${\displaystyle M=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y])}$

そして、次の正規関数${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{3}}$。 それから、

${\displaystyle \Gamma _{df}(a,b)=(a,b,2a,3b^{2})}$

ここで、最後の 2 つの座標を次のように扱います。${\displaystyle dx,dy}$導出された臨界軌跡は、導出されたスキームである。

${\displaystyle {\textbf {RSpec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(dx,dy)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2x-dx,3y^{2}-dy)}}\right).}$

導出された交差の左側の項は完全な交差であるため、導出された環を表す複体を次のように計算できます。

${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2-dx,3y^{2}-dy)}}}$

どこ${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])}$コズル複合施設です。

例えば、

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=x^{2}+y^{3}\end{cases}}}$

私たちは複合施設を持っています

${\displaystyle R\cdot \partial x\wedge \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R\cdot \partial x\oplus R\cdot \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R}$

派生強化を表す${\displaystyle \operatorname {Crit} (f)}$。