代数統計

代数統計とは、代数を利用して統計を発展させるものです。代数は、実験計画、パラメータ推定、仮説検定などに役立っています。

伝統的に、代数統計は実験計画法や多変量解析（特に時系列）と関連付けられてきました。近年、「代数統計」という用語は制限されることもあり、統計における代数幾何学や可換代数の使用を示すために使用されることもあります。

過去に、統計学者は代数を使用して統計の研究を進めてきました。一部の代数統計は、関連スキームなど、代数と組合せ論における新しいトピックの発展につながりました。

たとえば、ロナルド A. フィッシャー、ヘンリー B. マン、ローズマリー A. ベイリーは、アーベル群を実験計画に適用しました。実験計画は、有限体上のアフィン幾何学、そしてその後のR.C. ボーズによる連想スキームの導入によっても研究されました。直交表は、 CR. ラオによって実験計画にも 導入されました。

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局所コンパクト群上の不変測度は、統計理論、特に多変量解析において 長い間使用されてきました。バーリングの因数分解定理と（抽象的な）調和解析に関する研究の多くは、時系列統計において重要な定常確率過程のウォルド 分解をより深く理解することを目指していました。

ウルフ・グレナンデルは、代数構造に関する確率論のこれまでの結果を包含して、「抽象的推論」の理論を展開した。グレナンデルの抽象的推論とパターン理論は、空間統計や画像解析に有用であり、これらの理論は格子理論に依存している。

半順序ベクトル空間とベクトル格子は統計理論全体で使用されています。ギャレット・バーコフはヒルベルトの射影計量を使用して正錐を計量化し、収縮写像定理を使用してイェンチの定理を証明しました。^{[1]バーコフの結果は、}ジョナサン・ボーウェインと同僚によって最大エントロピー推定（無限次元の線型計画法と見なすことができます）に使用されています。

ベクトル格子と円錐測度は、ルシアン・ル・カンによって統計的意思決定理論に導入されました。

近年、「代数統計」という用語は、有限状態空間を持つ離散確率変数に関連する問題を研究するための代数幾何学と可換代数の使用を指すために、より限定的に使用されています。可換代数と代数幾何学は、離散確率変数の一般的に使用される多くのクラスを代数多様体として見ることができるため、統計に応用されています。

0、1、2の値を取る ランダム変数 Xを考えてみましょう。このような変数は、3つの確率によって完全に特徴付けられます。

${\displaystyle p_{i}=\mathrm {Pr} (X=i),\quad i=0,1,2}$

これらの数字は

${\displaystyle \sum _{i=0}^{2}p_{i}=1\quad {\mbox{and}}\quad 0\leq p_{i}\leq 1.}$

逆に言えば、そのような数値3つはランダム変数を明確に指定するため、ランダム変数Xをタプル( p ₀、p ₁、p ₂ )∈ R ³で識別できます。

ここで、 Xがパラメータqとn = 2を持つ二項ランダム変数であると仮定します。つまり、Xはある実験を2回繰り返したときの成功回数を表し、各実験の成功確率はqです。すると、

${\displaystyle p_{i}=\mathrm {Pr} (X=i)={2 \choose i}q^{i}(1-q)^{2-i}}$

そして、このようにして生じる組（ p ₀、p ₁、p ₂）がまさに次を満たすものであること を示すのは難しくない。

${\displaystyle 4p_{0}p_{2}-p_{1}^{2}=0.\ }$

後者は R 3 の代数多様体（または曲面）を定義する多項式方程式であり、^この多様体は 、

${\displaystyle \sum _{i=0}^{2}p_{i}=1\quad {\mbox{and}}\quad 0\leq p_{i}\leq 1,}$

代数曲線の一部が得られ、これはすべての 3 状態ベルヌーイ変数の集合と同一視できます。パラメータq を決定することは、この曲線上の 1 つの点を特定することと同じです。つまり、特定の変数Xがベルヌーイであるという仮説をテストすることは、特定の点がその曲線上にあるかどうかをテストすることと同じです。

代数幾何学は最近、赤池情報量基準の特異統計モデルへの一般化を含む統計学習理論への応用も見出されている。^[2]

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