グレードリング

数学、特に抽象代数学において、次数付き環とは、基礎となる加法群が⁠ ⁠となるアーベル群の直和となるような環のことである。添え字集合は通常、非負の整数の集合または整数の集合であるが、任意のモノイドでもよい。直和分解は通常、段階的分解またはグレーディングと呼ばれる。 ${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$

次数付き加群も同様に定義されます (正確な定義については以下を参照)。これは次数付きベクトル空間を一般化します。次数付き環でもある次数付き加群は次数付き代数と呼ばれます。次数付き環は次数付き⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -代数と見なすこともできます。

結合性は次数付き環の定義では重要ではない（実際はまったく使用されない）ため、この概念は非結合性代数にも適用されます。たとえば、次数付きリー代数を考えることができます。

一般に、次数付き環のインデックス セットは、明示的に指定されていない限り、非負の整数の集合であると想定されます。この記事ではこれが当てはまります。

次数付き環とは、直和に分解できる環である。

${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }$

加法群の 、

${\displaystyle R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}}$

すべての非負整数および⁠ ⁠に対して。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

の非ゼロ元は⁠ ⁠の同次元であると言われています。直和の定義により、の非ゼロ元はすべて、それぞれが0 または ⁠ ⁠ の同次元である和として一意に表すことができます。非ゼロ元は⁠ ⁠の 同次成分です。 ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a}$

基本的なプロパティは次のとおりです。

• ${\displaystyle R_{0}}$は⁠ ⁠の部分環であり、特に乗法単位元は次数 0 の同次元です。${\displaystyle R}$${\displaystyle 1}$
• 任意の に対して、は両側⁠ ⁠ -加群であり、直和分解は⁠ ⁠ -加群の直和です。${\displaystyle n}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{0}}$
• ${\displaystyle R}$は結合的な⁠ ⁠${\displaystyle R_{0}}$ -代数です。

任意の⁠ ⁠に対して、の同次成分が⁠ ⁠にも属する場合、イデアルは 同次です。(同様に、 ⁠ ⁠の次数付き部分加群である場合も同様です。§ 次数付き加群を参照してください。)同次イデアルと⁠ ⁠ の積は⁠ ⁠の次数の同次部分と呼ばれる⁠ ⁠ -部分加群です。同次イデアルは、その同次部分の直和です。 ${\displaystyle I\subseteq R}$${\displaystyle a\in I}$${\displaystyle a}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I}$

が⁠ ⁠の両側同次イデアルである場合、も次数付き環であり、次のように分解される。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle R/I=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}/I_{n},}$

ここで、⁠ ⁠の次数の同次部分です。 ${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I}$

• 任意の（次数のない）環R には、 ⁠ ⁠${\displaystyle R_{0}=R}$、およびi ≠ 0とすることで次数を与えることができます。これはR上の 自明な次数と呼ばれます。${\displaystyle R_{i}=0}$
• 多項式環は 次数によって次数が付けられます。つまり、それはi次同次多項式からなるの直和です。${\displaystyle R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$${\displaystyle R_{i}}$
• S を次数付き整域 Rのすべての非ゼロ同次元の集合とします。このとき、Sに関するRの局所化は次数付き環になります。${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• I が可換環 R のイデアルである場合、 はIに沿ったRの付随次数環と呼ばれる次数環です。幾何学的には、これはIによって定義される部分多様体に沿った正規円錐の座標環です。${\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$
• X を位相空間とし、H ⁱ ( X ; R ) を環Rの係数を持つi番目のコホモロジー群とする。このとき、Rの係数を持つXのコホモロジー環H ^* ( X ; R )は、その基底群がカップ積によって与えられる乗法構造を持つ次数付き環である。${\textstyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)}$

加群理論における対応する考え方は次数付き加群、すなわち次数付き環R上の左加群 Mであって、

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

そして

${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$

すべてのiとjに対して。

例:

• 次数付きベクトル空間は、体（体に自明な次数付けがある）上の次数付き加群の例です。
• 次数付き環は、それ自身の上の次数付き加群です。次数付き環のイデアルは、次数付き部分加群である場合にのみ同次です。次数付き加群の消滅子は同次イデアルです。
• 可換環R内のイデアルIとR加群Mが与えられると、その直和は関連する次数付き環上の次数付き加群になります。${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$

次数付き加群の射は次数付き射または次数付き準同型と呼ばれ、次数 を尊重する基礎加群の準同型、すなわち⁠ ⁠です。次数付きサブ加群は、それ自体が次数付き加群であり、集合論的包含が次数付き加群の射となるようなサブ加群です。明示的に、次数付き加群NがMの次数付きサブ加群である場合と、それがMのサブ加群であり⁠ ⁠を満たす場合とで同じです。次数付き加群の射の 核と像は次数付きサブ加群です。${\displaystyle f:N\to M}$${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$${\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}$

注意: 次数付き環から、像が中心にある別の次数付き環に次数付き射を与えることは、後者の環に次数付き代数の構造を与えることと同じです。

次数付き加群 が与えられた場合、の -ツイストはによって定義される次数付き加群です(代数幾何学におけるセールのツイスト層を参照)。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$

MとN を次数付き加群とする。 が加群の射である場合、 であればfは次数dを持つという。微分幾何学における微分形式の外微分は、次数 1 を持つそのような射の例である。 ${\displaystyle f\colon M\to N}$${\displaystyle f(M_{n})\subseteq N_{n+d}}$

可換次数環R上の次数付き加 群Mが与えられた場合、形式的な冪級数を関連付けることができます。 ${\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}$

${\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}$

(は有限であると仮定します。) これはMのヒルベルト・ポアンカレ級数と呼ばれます。 ${\displaystyle \ell (M_{n})}$

基となるモジュールが有限生成である場合、次数付きモジュールは有限生成であると言われます。生成元は同次であるとみなすことができます (生成元をその同次部分に置き換えることによって)。

Rが多項式環 ⁠ ⁠${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$、kが体、M がその上の有限生成次数付き加群であるとします。このとき、関数はMのヒルベルト関数と呼ばれます。この関数は、 Mのヒルベルト多項式と呼ばれる、大きなnに対する整数値多項式と一致します。 ${\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}$

環R上の結合代数 Aは、環として次数が付けられている場合、 次数付き代数です。

環R が次数を持たない通常の場合(特にRが体の場合)、自明な次数が与えられます ( Rのすべての要素は次数 0 です)。したがって、次数付き部分はR -加群です。 ${\displaystyle R\subseteq A_{0}}$${\displaystyle A_{i}}$

環Rも次数付き環で ある場合、

${\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

言い換えると、A はR上の次数付き左加群である必要があります。

次数付き代数の例は数学ではよく見られます。

• 多項式環。n次の同次元は、n次の同次多項式とまったく同じです。
• ベクトル空間Vのテンソル代数。 n次の同次要素はn次テンソル、⁠ ⁠です。${\displaystyle T^{\bullet }V}$ ${\displaystyle T^{n}V}$
• 外積代数 と対称代数も次数代数です。${\displaystyle \textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V}$ ${\displaystyle S^{\bullet }V}$
• 任意のコホモロジー理論におけるコホモロジー環も 次数があり、コホモロジー群の直和となる。${\displaystyle H^{\bullet }}$${\displaystyle H^{n}}$

次数代数は、可換代数や代数幾何学、ホモロジー代数、代数位相幾何学でよく使われます。一例を挙げると、同次多項式と射影多様体との密接な関係です（同次座標環を参照）。

上記の定義は、任意のモノイド Gを添え字集合として次数付けされた環に一般化されている。G次数付けされた環Rは、 直和分解を持つ環である。

${\displaystyle R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}$

そのような

${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.}$

Rの要素のうち、一部の要素は、等級iの同次要素であると言われています。 ${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle i\in G}$

以前定義した「次数付き環」の概念は、加算による自然数のモノイドである -次数付き環と同じものになります。次数付きモジュールと代数の定義も、インデックス セットを任意のモノイドGに置き換えることで、このように拡張できます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

備考：

• 環に単位元が必要ない場合、モノイドの代わりに半群を使用できます。

例:

• 群は自然に対応する群環に次数を付けます。同様に、モノイド環は対応するモノイドによって次数を付けられます。
• (結合的)超代数は、次数付き代数の別名です。例としては、クリフォード代数があります。ここで、同次要素は次数 0 (偶数) または次数 1 (奇数) のいずれかです。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

いくつかの次数付き環（または代数）は、反可換構造を備えています。この概念は、次数のモノイドが の加法モノイド（2 つの元を持つ体）に準同型であることを必要とします。具体的には、符号付きモノイドは、 がモノイドであり、 が加法モノイドの準同型であるペアで構成されます。反可換 -次数付き環は、に関して次数付けされた環Aであり、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle (\Gamma ,\varepsilon )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \varepsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\varepsilon (\deg y)}yx,}$

すべての同次要素xとyに対して。

• 外積代数は、商写像である構造に関して次数が付けられた反可換代数の例です。${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• 超可換代数（歪可換結合環と呼ばれることもある）は、反可換 -次数代数と同じものであり、ここでは⁠ ⁠の加法構造の恒等写像です。${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

直感的には、次数付きモノイドは、加法部分を使わずに によって生成される次数付きリング の部分集合です。つまり、次数付きモノイドの元の集合は です。 ${\textstyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$

正式には、次数付きモノイド^[1]は、次数関数が となるモノイドです。 の次数は必ず 0 となることに注意してください。 一部の著者は、 m が単位元でない 場合、となることを要求しています。${\displaystyle (M,\cdot )}$${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')}$${\displaystyle 1_{M}}$${\displaystyle \phi (m)\neq 0}$

非単位元の段階がゼロでないと仮定すると、段階nの元の数は最大で であり、ここでg はモノイドの生成集合Gの濃度です。したがって、段階n以下の元の数は最大で です( の場合)、それ以外の場合は です。実際、そのような各元は最大でn個のG元の積であり、そのような積のみが存在します。同様に、単位元は 2 つの非単位元の積として表すことはできません。つまり、そのような段階付きモノイドには単位約数は存在しません。 ${\displaystyle g^{n}}$ ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle g=1}$${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$

これらの概念により、冪級数環の概念を拡張できます。インデックス族は ではなく、各整数nに対して次数nの要素の数が有限であると仮定すると、任意の次数付きモノイドになります。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

より正式には、 を任意の半環と次数付きモノイドとします。すると は、Rでインデックス付けされたKの係数を持つべき級数の半環を表します。その要素はRからKへの関数です。2 つの要素の和は点ごとに定義され、に送る関数であり、積は無限和 に送る関数です。この和は正しく定義されています (つまり、有限です)。なぜなら、各mに対して、 pq = mとなるペア( p、q )は有限個しかないからです。 ${\displaystyle (K,+_{K},\times _{K})}$${\displaystyle (R,\cdot ,\phi )}$${\displaystyle K\langle \langle R\rangle \rangle }$${\displaystyle s,s'\in K\langle \langle R\rangle \rangle }$${\displaystyle m\in R}$${\displaystyle s(m)+_{K}s'(m)}$${\displaystyle m\in R}$${\displaystyle \sum _{p,q\in R \atop p\cdot q=m}s(p)\times _{K}s'(q)}$

形式言語理論では、アルファベット Aが与えられた場合、A上の単語の自由モノイドは、単語の段階がその長さである段階付きモノイドと見なすことができます。

• 関連するグレードリング
• 微分階数代数
• フィルタ代数、一般化
• 成績評価（数学）
• 評価カテゴリ
• 段階的ベクトル空間
• テンソル代数
• 微分傾斜モジュール