交差理論

交差する代数サイクルVとWのうまく機能する仕組みには、問題となるサイクルの集合論的交差V ∩ Wを取るだけでは不十分です。2 つのサイクルが「適切な位置」にある場合、交差積V · Wは、2 つの部分多様体の集合論的交差で構成されるはずです。しかし、サイクルは不適切な位置にある場合もあります。たとえば、平面上の 2 つの平行線、または直線を含む平面 (3 次元空間で交差する) などです。どちらの場合も、交差は点であるべきです。なぜなら、1 つのサイクルを移動した場合、これが交差になるからです。2 つのサイクルVとWの交差は、(集合論的) 交差V ∩ Wの余次元が、それぞれVとWの余次元の和、つまり「期待値」である場合に、適切であると呼ばれます。

したがって、代数サイクル上の適切な同値関係を用いてサイクルを移動するという概念が用いられる。同値性は、任意の2つのサイクルVとWに対して、共通部分V′∩W ′が適切となるような同値なサイクルV ′とW′が存在するほど十分に広範でなければならない。もちろん、他方で、2番目の同値なV′′とW′′に対しては、V′∩W ′がV′′∩W ′′と同値でなければならない。

交差理論の目的においては、有理同値性が最も重要である。簡単に言うと、多様体X上の 2 つのr次元サイクルは、 ( r + 1)次元部分多様体Y上に有理関数fが存在する場合、すなわち関数体k ( Y )の要素、または同等に関数f : Y → P ^{1が存在し、} V − W = f ⁻¹ (0) − f ⁻¹ (∞)となる場合、有理同値である。ここで、f ⁻¹ (⋅)は重複度を考慮して数えられる。有理同値性は、上述のニーズを満たす。 

サイクルの交点多重度を定義する際の指針となる原則は、^ある意味での連続性です。次の基本的な例を考えてみましょう。放物線y = x²と軸y = 0の交点は2 · (0, 0)であるべきです。なぜなら、サイクルのいずれかが（定義されていない意味で）移動すると、サイクルが図示された位置に近づくときに(0, 0)に収束する交点が正確に 2 つ存在するからです。（放物線と直線y = −3の交点が空に見えるのは、方程式の実数解のみが図示されているためであり、この図は誤解を招く可能性があります。）

交差多重度の最初の完全な定義はSerreによって与えられた。周囲の多様体Xを滑らか（またはすべての局所環が正則）とする。さらに、VとWを2つの（既約縮約閉）部分多様体とし、それらの交差が真であるとする。構成は局所的であるため、多様体はXの座標環の2つのイデアルIとJで表すことができる。Zを集合論的交差V ∩ Wの既約成分とし、zをその一般点とする。交差積V · WにおけるZの多重度は次のように定義される。

${\displaystyle \mu (Z;V,W):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{X,z}}{\text{Tor}}_{i}^{{\mathcal {O}}_{X,z}}({\mathcal {O}}_{X,z}/I,{\数学 {O}}_{X,z}/J),}$

これは、部分多様体に対応する因子環のねじれ群の、zにおけるXの局所環の長さにわたる交代和です。この式は、Serre の Tor 公式と呼ばれることもあります。

備考：

• 最初の項、長さ

  $\displaystyle \left({\mathcal {O}}_{X,z}/I\right)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,z}}\left({\mathcal {O}}_{X,z}/J\right)={\mathcal {O}}_{Z,z}}$

  これは多重度の「素朴な」推測ですが、Serreが示すように、それだけでは十分ではありません。

• 正則局所環は有限であるため、和は有限である。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,z}}$有限のTor次元を持つ。
• VとWの共通部分が真集合でない場合、上記の重複度はゼロになります。真集合であれば、重複度は厳密に正になります。（どちらの記述も定義からは明らかではありません。）
• スペクトル系列の議論を用いると、 μ ( Z ; V , W ) = μ ( Z ; W , V )であることが示される。

チャウ環は、有理同値性を法とする代数サイクル群と、以下の可換な交差積からなる群である。

${\displaystyle V\cdot W:=\sum _{i}\mu (Z_{i};V,W)Z_{i}}$

VとWが適切に交わるとき、${\displaystyle V\cap W=\cup _{i}Z_{i}}$これは、集合論的交差を既約成分に分解したものである。

2つの部分多様体VとWが与えられた場合、それらの共通部分V ∩ Wを取ることができますが、より微妙ではありますが、単一の部分多様体の自己共通部分を定義することも可能になります。

例えば、曲面S上の曲線Cが与えられた場合、その曲線自身との交わり (集合として) は、まさにそれ自身です。C ∩ C = C。これは明らかに正しいのですが、一方で不十分です。曲面上の任意の 2 つの異なる曲線 (共通の成分を持たない) が与えられた場合、それらは何らかの点の集合で交わり、例えばその点の数を数えて交点数を得ることができます。そして、与えられた曲線に対して同じことをしたい場合があります。類推すると、異なる曲線の交点は 2 つの数を掛け合わせること ( xy)に似ており、自己交点は単一の数を二乗すること ( x² ⁾に似ています。形式的には、この類推は対称双線形形式(乗算) と二次形式(二乗)として表現されます。

これに対する幾何学的な解決策は、曲線C をそれ自身と交差させるのではなく、少しずらしたバージョンと交差させることです。平面では、これは単に曲線C をある方向に平行移動させることを意味しますが、一般には、 Cと線形的に等価な曲線C′を取り、交点C · C′ を数えることで、交点数C · Cを得るという話になります。異なる曲線CとDとは異なり、実際の交点はC′の選択に依存するため定義されませんが、「 C′′の自己交点」は、C上のk個の一般的な点として解釈できます。ここで、k = C · Cです。より正確には、 Cの自己交点は、重複度C · Cで取ったCの一般的な点です。

あるいは、この問題を双対化して[ C ] ∪ [ C ]のクラスを調べることで、代数的に「解決」（または動機付け）することもできます。これは数値を与えるだけでなく、幾何学的解釈の問題も提起します。コホモロジークラスへの移行は、曲線を線形システムに置き換えることと類似していることに注意してください。

自己交差数は負の値をとる場合があることに注意してください。以下の例がそれを示しています。