準カテゴリ

数学、より具体的には圏論において、準圏（準圏、弱カン複体、 内カン複体、無限圏、∞圏、ボードマン複体、四元論とも呼ばれる）は、圏の概念の一般化である。このような一般化の研究は、高次圏理論として知られている。

準カテゴリーは Boardman と Vogt (1973) によって導入されました。André Joyalは準カテゴリーの研究を大きく進め、通常の基本的なカテゴリー理論のほとんどといくつかの高度な概念と定理には準カテゴリーの類似物があることを示しました。準カテゴリーの理論に関する詳細な論文はJacob Lurie (2009)によって解説されています 。

準カテゴリは、特定の単体集合です。通常のカテゴリと同様に、準カテゴリにはオブジェクト (単体集合の 0 単体) とこれらのオブジェクト間の射 (1 単体) が含まれます。ただし、カテゴリとは異なり、2 つの射の合成は一意に定義される必要はありません。2 つの特定の射の合成として使用できるすべての射は、高次の可逆射 (「ホモトピー」として考えられる 2 単体) によって互いに関連しています。これらの高次の射も合成できますが、この場合も合成は、さらに高次の可逆射などまでしか明確に定義されません。

高次圏理論（少なくとも、高次射が可逆な場合の高次圏理論）の考え方は、標準的な圏の概念とは対照的に、2つのオブジェクトの間には（写像集合ではなく）写像空間が存在するべきであるというものである。これは、高次圏が単に位相的に豊富な圏であるべきであることを示唆している。しかし、準圏のモデルは位相的に豊富な圏のモデルよりも応用に適しているが、ルリーによって、この2つはキレンと同等の自然なモデル構造を持つことが証明されている。

定義により、準カテゴリC は、内部 Kan 条件 (弱 Kan 条件とも呼ばれる) を満たす単体集合です。つまり、 Cのすべての内部ホーン、つまり である単体集合の写像には、フィラー、つまり写像 への拡張があります。(単体集合との定義については、Kan ファイブレーション#定義を参照してください。) ${\displaystyle \Lambda ^{k}[n]\to C}$${\displaystyle 0<k<n}$${\displaystyle \Delta [n]\to C}$${\displaystyle \Delta [n]}$${\displaystyle \Lambda ^{k}[n]}$

2 単体は可換三角形 (少なくともホモトピーまでは) を表すと考えられています。マップは合成可能なペアを表します。したがって、準カテゴリでは、マップを合成する方法を多数選択できるため、射の合成法則を定義することはできません。 ${\displaystyle \Delta [2]\to C}$${\displaystyle \Lambda ^{1}[2]\to C}$

定義の 1 つの結果は、が自明な Kan ファイブレーションであるということです。言い換えると、合成法則は一意に定義されていませんが、収縮可能な選択を除いて一意です。 ${\displaystyle C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}}$

準カテゴリC が与えられると、Cのホモトピーカテゴリと呼ばれる通常のカテゴリhC をそれに関連付けることができます。ホモトピーカテゴリは、 Cの頂点をオブジェクトとして持ちます。射は、頂点間の辺のホモトピー類によって与えられます。合成は、n  = 2 のホーンフィラー条件を使用して与えられます。

一般の単体集合の場合、 sSetからCatへの関数が存在し、これは基本カテゴリ関数と呼ばれ、準カテゴリCの場合、基本カテゴリはホモトピーカテゴリと同じ、つまり です。 ${\displaystyle \tau_{1}}$${\displaystyle \tau_{1}(C)=hC}$

• カテゴリの神経は、任意の内角の充填が一意であるという追加の特性を持つ準カテゴリです。逆に、任意の内角が一意に充填されるような準カテゴリは、あるカテゴリの神経と同型です。Cの神経のホモトピー カテゴリは、 Cと同型です。
• 位相空間Xが与えられると、その特異集合 S ( X )を定義できます。これはX の基本 ∞ 群としても知られています。S ( X ) は、すべての射が可逆である準カテゴリです。 S ( X )のホモトピーカテゴリは、Xの基本群です。
• 前の例よりも一般的な例ですが、すべてのKan 複合体は準カテゴリの例です。 Kan 複合体では、すべてのホーン (内側のホーンだけでなく) からのすべてのマップを埋めることができます。これにより、Kan 複合体のすべての射は可逆になります。したがって、Kan 複合体は群体と類似しています。カテゴリの神経は、カテゴリが群体である場合に限り、Kan 複合体です。

• (∞, 1)-カテゴリは、 n > 1 のすべてのn射が同値である、必ずしも準カテゴリではない ∞-カテゴリです。(∞, 1)-カテゴリには、シーガルカテゴリ、単体強化カテゴリ、位相カテゴリ、完全シーガル空間など、 いくつかのモデルがあります。準カテゴリも (∞, 1)-カテゴリです。
• モデル構造sSet-categories には、(∞,1)-カテゴリ (∞,1)Cat を表すモデル構造があります。
• ホモトピー Kan 拡張ホモトピー Kan 拡張の概念、特にホモトピー極限とホモトピー余極限の概念は、Kan 複素数強化カテゴリの観点から直接定式化されます。詳細については、ホモトピー Kan 拡張を参照してください。
• (∞,1)-トポス理論の表現(∞,1)-トポス理論のすべては、sSet-カテゴリの観点からモデル化できます。(ToënVezzosi) (∞,1)-サイトの概念をモデル化する sSet-サイト C の概念と、C 上の ∞-スタック (∞,1)-トポスの表現である、sSet-サイト上の sSet 強化前束上のモデル構造があります。

• モデルカテゴリー
• 安定無限大カテゴリ
• ∞-群
• 高等圏理論
• 球状集合

• Boardman, JM; Vogt, RM (1973)、「位相空間上のホモトピー不変代数構造」、数学講義ノート、第347巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/BFb0068547、ISBN 978-3-540-06479-4、MR  0420609
• Groth、Moritz、無限圏に関する短期講座(PDF)
• ジョヤル、アンドレ(2002)、「準カテゴリとカン複合体」、純粋および応用代数ジャーナル、175 (1): 207–222、doi :10.1016/S0022-4049(02)00135-4、MR  1935979
• ジョヤル、アンドレ、ティアニー、マイルズ (2007)、「準カテゴリ対シーガル空間」、代数、幾何学、数理物理学のカテゴリ、コンテンポラリー数学、第 431 巻、プロビデンス、ロードアイランド州 :アメリカ数学協会、pp. 277–326、arXiv : math.AT/0607820、MR 2342834
• Joyal, A. (2008)、準カテゴリーの理論とその応用、CRMバルセロナでの講義(PDF) 、 2011年7月6日にオリジナル(PDF)からアーカイブ
• Joyal, A., 準カテゴリに関するノート(PDF)
• ルリー、ジェイコブ（2009）、高等トポス理論、数学研究年報、第170巻、プリンストン大学出版局、arXiv：math.CT/0608040、ISBN 978-0-691-14049-0、MR  2522659
• Joyal の Catlab エントリ: 準カテゴリの理論
• nラボの準カテゴリ
• nラボの無限カテゴリ
• nラボのファンダメンタル+カテゴリ
• Bergner, Julia E (2011). 「ホモトピー理論のホモトピー理論に関するワークショップ」arXiv : 1108.2001 [math.AT].
• nラボにおける (∞, 1)-カテゴリ
• Hinich, Vladimir (2017-09-19). 「無限カテゴリに関する講義」. arXiv : 1709.06271 [math.CT].
• Toën, Bertrand; Vezzosi, Gabriele (2005)、「ホモトピー的代数幾何学 I: トポス理論」、Advances in Mathematics、193 ( 2): 257–372、arXiv : math.AG/0207028、doi : 10.1016 /j.aim.2004.05.004