ニスネヴィッチ位相幾何学

代数幾何学において、ニスネヴィッチ位相は、完全に分解された位相とも呼ばれ、代数 K 理論、A¹ ホモトピー理論、およびモチーフ理論で使用されているスキームのカテゴリ上のグロタンディーク位相です。これは、アデルの理論に触発されたエフセイ・ニスネヴィッチによって最初に導入されました。

スキームの射がエタール射であって、あらゆる（閉じていない可能性もある）点x ∈ Xに対して、ファイバーf ⁻¹ ( x )に点y ∈ Y が存在し、留数体の誘導写像k ( x ) → k ( y ) が同型となる場合、そのスキームの射はニスネビッチ射と呼ばれる。同様に、 f は平坦、非分岐、局所的に有限表示でなければならず、あらゆる点x ∈ Xに対して、ファイバーf ⁻¹ ( x )に点y が存在し、k ( x ) → k ( y ) が同型となる必要がある。 ${\displaystyle f:Y\to X}$

射の族 { u _α  : X _α → X } は、族内の各射がエタールであり、すべての (おそらく閉じていない) 点 x ∈ X に対して、αと点y ∈ X α st u α ( y ) = x が存在し、留数体の_誘導写像k ₍ x ) → k ( y )が同型である場合、ニスネビッチ被覆と呼ばれます。族が有限である場合、これはからXへの射がニスネビッチ射であることと同等です。ニスネビッチ被覆は、スキームのカテゴリとスキームの射上のプレトポロジーの被覆族です。これにより、ニスネビッチ位相と呼ばれる位相が生成されます。ニスネビッチ位相を持つスキームのカテゴリはNisと表記されます。 ${\displaystyle \coprod u_{\alpha}}$${\displaystyle \coprod X_{\alpha}}$

Xの小さなニスネビッチ サイトは、小さなエタール サイトと同じ基礎カテゴリを持ちます。つまり、オブジェクトは、固定されたエタール射U → X を持つスキームUであり、射は、 Xへの固定されたマップと互換性のあるスキームの射です。許容される被覆はニスネビッチ 射です。

Xの大きなニスネビッチ サイトは、Xへの固定写像を持つカテゴリ スキームと、 Xスキームの射を基礎としています。トポロジーはニスネビッチ射によって与えられるものです。

ニスネビッチ位相には、特異多様体の研究に適したいくつかの変種があります。これらの位相の被覆には、特異点の解決またはより弱い形式の解決が含まれます。

• cdh位相では、適切な双有理射を被覆として許容します。
• h 位相では、被覆として De Jong の変更が許されます。
• l ′ 位相では、ガッバーの局所均一化定理の結論のように、射が許容されます。

cdh および l′ トポロジーはエタール トポロジーと比較できず、h トポロジーはエタール トポロジーよりも細かいです。

カテゴリがqcqs（準コンパクトかつ準分離）スキーム上の滑らかなスキームで構成されていると仮定すると、ニスネビッチ^[1]注3.39による元の定義は、スキームの射の族がニスネビッチ被覆となるための上記の定義と同等であり、 ${\displaystyle \{p_{\alpha}:U_{\alpha}\to X\}_{\alpha \in A}}$

1. すべてはエタールであり、${\displaystyle p_{\alpha}}$
2. すべての体 に対して、 -点のレベルで、すべての被覆射の(集合論的) 余積は射影的です。${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p_{k}:\coprod _{\alpha }U_{\alpha }(k)\to X(k)}$${\displaystyle p_{\alpha}}$

ニスネビッチ被覆に対する次のもう一つの同値な条件は、ルリーによるものである^[要出典]：ニスネビッチ位相は、有限に提示された閉部分スキームの有限列が存在するようなエタール射のすべての有限族によって生成される。${\displaystyle \{p_{\alpha}:U_{\alpha}\to X\}_{\alpha \in A}}$

${\displaystyle \varnothing =Z_{n+1}\subseteq Z_{n}\subseteq \cdots \subseteq Z_{1}\subseteq Z_{0}=X}$

となるため、${\displaystyle 0\leq m\leq n}$

${\displaystyle \coprod _{\alpha \in A}p_{\alpha }^{-1}(Z_{m}-Z_{m+1})\to Z_{m}-Z_{m+1}}}$

セクションを認めます。

これらの射を - 点上で評価する場合、写像が全射であることを意味することに注意してください。逆に、自明なシーケンスを取ると、反対方向の結果が得られます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle Z_{0}=X}$

ニスネヴィッチ位相をモティヴィックコホモロジーに導入する主な動機の一つ^[2]は、ザリスキー開被覆がザリスキー層の解決をもたらさないという事実である^[3]。${\displaystyle \pi :U\to X}$

${\displaystyle \cdots \to \mathbf {Z} _{tr}(U\times _{X}U)\to \mathbf {Z} _{tr}(U)\to \mathbf {Z} _{tr}(X)\to 0}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {Z} _{tr}(Y)(Z):={\text{Hom}}_{cor}(Z,Y)}$

は、転送を伴う前層のカテゴリ上の表現可能な関手です。ニスネビッチ位相では、局所環はヘンゼル環であり、ヘンゼル環の有限被覆はヘンゼル環の積で与えられ、正確性を示します。

x がスキームXの点である 場合、ニスネヴィッチ位相におけるxの局所環は、ザリスキ位相におけるxの局所環のヘンゼル化である。これは、局所環が厳密なヘンゼル化であるエタール位相とは異なる。2 つのケースの間の重要な点の 1 つは、留数体を持つ局所環を見るとわかる。この場合、ヘンゼル化と厳密なヘンゼル化の留数体は異なる^[4]${\displaystyle (R,{\mathfrak {p}})}$${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,{\mathfrak {p}})^{h}&\rightsquigarrow \kappa \\(R,{\mathfrak {p}})^{sh}&\rightsquigarrow \kappa ^{sep}\end{aligned}}}$

したがって、厳密なヘンゼル化の剰余体は、元の剰余体の可分閉包を与えます。 ${\displaystyle \kappa}$

によって与えられたエタールカバーを考えてみましょう

${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{2}-t))\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$

基底のジェネリック点に対する剰余体の関連射を見ると、これは次数2の拡張であることがわかる。

${\displaystyle \mathbb {C} (t)\to {\frac {\mathbb {C} (t)[x]}{(x^{2}-t)}}}$

これは、このエタール被覆がニスネビッチではないことを意味します。のジェネリック点に対して点の同型が存在するため、エタール射を追加してニスネビッチ被覆を得ることができます。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-\{0,1\}\to \mathbb {A} ^{1}-\{0\}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-\{0\}}$

体 上のスキームとして をとると、被覆^{[1] pg 21 は}次のように表される。${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i:\mathbb {A} ^{1}-\{a\}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}\\f:\mathbb {A} ^{1}-\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}\end{aligned}}}$

ここでは包含、であるとき、この被覆はが 上で解を持つ場合に限りニスネビッチ被覆である。そうでない場合、被覆は - 点上の全射にはなり得ない。この場合、被覆はエタール被覆のみである。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle f(x)=x^{k}}$${\displaystyle x^{k}=a}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

すべてのザリスキ被覆^{[1] 21 ページは}ニスネビッチであるが、その逆は一般には成り立たない。^[5]これは、ザリスキ被覆に関係なく留数体は常に同型であり、定義によりザリスキ被覆は点上の全射を与えるため、任意の定義を使用して簡単に証明できる。さらに、ザリスキ包含は常にエタール射である。

ニスネビッチは、もともとアデリックな用語で定義されていたアフィン群スキームの類集合のコホモロジー的解釈を提供するために、彼の位相を導入した。彼はそれを用いて、整正則ノイザン基底スキーム上の簡約群スキームの下での有理的に自明なトルサーは、ザリスキ位相において局所的に自明であるというアレクサンダー・グロタンディークとジャン＝ピエール・セールの予想を部分的に証明した。ニスネビッチ位相の重要な性質の 1 つは、降下スペクトル列の存在である。Xを有限クルル次元のノイザンスキームとし、G _n ( X ) をX上の連接層のカテゴリのキレン K 群とする。がニスネビッチ位相に関するこれらの群の層化である場合、収束スペクトル列が存在する。 ${\displaystyle {\tilde {G}}_{n}^{\,{\text{cd}}}(X)}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X_{\text{cd}},{\tilde {G}}_{q}^{\,{\text{cd}}})\Rightarrow G_{qp}(X)}$

p ≥ 0、q ≥ 0、およびp - q ≥ 0の場合。 がXの特性と等しくない素数である場合、 の係数を持つ K 群に対して同様の収束スペクトル列が存在します。 ${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \mathbf {Z} /\ell \mathbf {Z} }$

ニスネヴィッチ位相は代数K理論、A¹ホモトピー理論、動機理論にも重要な応用が見出されている。^{[6] [7]}

• 転送付きプレシェーブ
• 複雑な動機（数学）
• A¹ ホモトピー理論
• ヘンゼルリング

• Nisnevich, Yevsey A. (1989)。「スキーム上の完全に分解された位相幾何学と代数的 K 理論における関連する降下スペクトル列」。JF Jardine および VP Snaith (編)。代数的 K 理論: 幾何学および位相幾何学との関連。1987 年 12 月 7 日から 11 日までアルバータ州レイク ルイーズで開催された NATO 先端研究機関の議事録。NATO先端科学機関シリーズ C: 数学および物理科学。第 279 巻。ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers Group。pp. 241–342。、ニスネヴィッチのウェブサイトで入手可能

• Levine, Marc (2008)、モティヴィックホモトピー理論(PDF)