ティーツェ拡張定理

位相幾何学において、ティーツェ拡張定理（ティーツェ・ウリゾーン・ブロウワー拡張定理またはウリゾーン・ブロウワー補題^{[ 1 ]}としても知られる）は、通常の位相空間の閉部分集合上の任意の実数値連続関数は、必要に応じて有界性を維持しながら空間全体に拡張できることを述べている。

もし${\displaystyle X}$通常の空間で あり、$${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$$閉集合からの連続 写像${\displaystyle A}$の${\displaystyle X}$実際の数字へ${\displaystyle \mathbb {R} }$標準トポロジーを担う場合、連続拡張が存在する。${\displaystyle f}$に${\displaystyle X;}$つまり、マップが存在する $${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$$ 全ての場所で連続${\displaystyle X}$と${\displaystyle F(a)=f(a)}$すべての人々のために${\displaystyle a\in A.}$さらに、${\displaystyle F}$は次のように選択できる。 $${\displaystyle \sup\{|f(a)|:a\in A\}~=~\sup\{|F(x)|:x\in X\},}$$ つまり、もし${\displaystyle f}$有界である場合${\displaystyle F}$は、（同じ境界で）制限されるように選択できます。${\displaystyle f}$)

我々は、以下のケースにおいて定理を証明する。${\displaystyle f}$有界である。

機能${\displaystyle F}$は反復的に構築されます。まず、定義します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=\sup\{|f(a)|:a\in A\}\\E_{0}&=\{a\in A:f(a)\geq c_{0}/3\}\\F_{0}&=\{a\in A:f(a)\leq -c_{0}/3\}.\end{aligned}}}$$ 注目してください${\displaystyle E_{0}}$そして${\displaystyle F_{0}}$は閉じた互いに素な部分集合である。${\displaystyle A}$ウリゾーンの補題の証明から得られた関数の線形結合を取ることにより、連続関数が存在する。${\displaystyle g_{0}:X\to \mathbb {R} }$そのため $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\frac {c_{0}}{3}}{\text{ on }}E_{0}\\g_{0}&=-{\frac {c_{0}}{3}}{\text{ on }}F_{0}\end{aligned}}}$$ さらに $${\displaystyle -{\frac {c_{0}}{3}}\leq g_{0}\leq {\frac {c_{0}}{3}}}$$ の上${\displaystyle X}$特に、次のことが導かれる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}|g_{0}|&\leq {\frac {c_{0}}{3}}\\|f-g_{0}|&\leq {\frac {2c_{0}}{3}}\end{aligned}}}$$ の上${\displaystyle A}$我々はここで帰納法を用いて連続関数の列を構成する。${\displaystyle (g_{n})_{n=0}^{\infty }}$そのため $${\displaystyle {\begin{aligned}|g_{n}|&\leq {\frac {2^{n}c_{0}}{3^{n+1}}}\\|f-g_{0}-...-g_{n}|&\leq {\frac {2^{n+1}c_{0}}{3^{n+1}}}.\end{aligned}}}$$ これは以下の場合に成り立つことを示しました${\displaystyle n=0}$そして、${\displaystyle g_{0},...,g_{n-1}}$構築されました。定義 $${\displaystyle c_{n-1}=\sup\{|f(a)-g_{0}(a)-...-g_{n-1}(a)|:a\in A\}}$$ そして上記の議論を繰り返して${\displaystyle c_{0}}$と${\displaystyle c_{n-1}}$交換${\displaystyle f}$と${\displaystyle f-g_{0}-...-g_{n-1}}$すると、連続関数が存在することがわかります。${\displaystyle g_{n}:X\to \mathbb {R} }$そのため $${\displaystyle {\begin{aligned}|g_{n}|&\leq {\frac {c_{n-1}}{3}}\\|f-g_{0}-...-g_{n}|&\leq {\frac {2c_{n-1}}{3}}.\end{aligned}}}$$ 帰納的仮説によれば、${\displaystyle c_{n-1}\leq 2^{n}c_{0}/3^{n}}$したがって、必要な恒等式が得られ、帰納法は完了する。次に、連続関数を定義する。${\displaystyle F_{n}:X\to \mathbb {R} }$として $${\displaystyle F_{n}=g_{0}+...+g_{n}.}$$ 与えられた${\displaystyle n\geq m}$、 $${\displaystyle {\begin{aligned}|F_{n}-F_{m}|&=|g_{m+1}+...+g_{n}|\\&\leq \left(\left({\frac {2}{3}}\right)^{m+1}+...+\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}\right){\frac {c_{0}}{3}}\\&\leq \left({\frac {2}{3}}\right)^{m+1}c_{0}.\end{aligned}}}$$ したがって、シーケンス${\displaystyle (F_{n})_{n=0}^{\infty }}$はコーシーである。連続関数の空間は${\displaystyle X}$supノルムと合わせて完備距離空間であるため、連続関数が存在することが導かれる。${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$そのため${\displaystyle F_{n}}$一様に収束して${\displaystyle F}$。 以来 $${\displaystyle |f-F_{n}|\leq {\frac {2^{n+1}c_{0}}{3^{n+1}}}}$$ の上${\displaystyle A}$したがって、${\displaystyle F=f}$の上${\displaystyle A}$最後に、次のことが観察されます。 $$\displaystyle |F_{n}|\leq \sum _{n=0}^{\infty }|g_{n}|\leq c_{0}}$$ したがって${\displaystyle F}$は有界であり、 と同じ境界を持つ。${\displaystyle f}$。${\displaystyle \square }$

LEJ BrouwerとHenri Lebesgueは、定理の特殊な場合を証明した。${\displaystyle X}$は有限次元の実ベクトル空間である。ハインリッヒ・ティーツェはこれをすべての距離空間に拡張し、パヴェル・ウリゾーンは正規位相空間についてここで述べた定理を証明した。^{[ 2 ] [ 3 ]}

この定理はウリゾーンの補題（空間の正規性とも同値）と同等であり、すべての距離空間とすべてのコンパクトハウスドルフ空間は正規であるため、広く適用可能です。これを置き換えることで一般化できます。${\displaystyle \mathbb {R} }$と$\displaystyle \mathbb {R} ^{J}}$あるインデックスセットに対して${\displaystyle J,}$撤回${\displaystyle \mathbb {R} ^{J},}$または、通常の絶対的な引き戻し動作全般。

もし${\displaystyle X}$は距離空間であり、${\displaystyle A}$空でない部分集合${\displaystyle X}$そして${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$はリプシッツ定数を持つリプシッツ連続関数である。${\displaystyle K,}$それから${\displaystyle f}$リプシッツ連続関数に拡張できる${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$同じ定数で${\displaystyle K.}$ この定理は、ヘルダー連続関数に対しても有効である。つまり、${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$定数が以下のヘルダー連続関数です。${\displaystyle 1,}$それから${\displaystyle f}$ヘルダー連続関数に拡張できる${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$同じ定数で。^{[ 4 ]}

ティーツェの定理の別の変形（実際には一般化）は、H.TongとZ.Ercanによるものである。^{[ 5 ]}${\displaystyle A}$通常の位相空間の閉部分集合である${\displaystyle X.}$もし${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$は上半連続関数であり、${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} }$下半連続関数、そして${\displaystyle h:A\to \mathbb {R} }$連続関数${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$各${\displaystyle x\in X}$そして${\displaystyle f(a)\leq h(a)\leq g(a)}$各${\displaystyle a\in A}$すると、連続的な拡張が存在する${\displaystyle H:X\to \mathbb {R} }$の${\displaystyle h}$そのため${\displaystyle f(x)\leq H(x)\leq g(x)}$各${\displaystyle x\in X.}$ この定理は、以下の追加の仮定の下でも有効である。${\displaystyle \mathbb {R} }$は、一般的な局所的にソリッドなリース空間に置き換えられます。^{[ 5 ]}

Dugundji (1951) は、定理を次のように拡張しています。${\displaystyle X}$は距離空間であり、${\displaystyle Y}$は局所凸位相ベクトル空間である。${\displaystyle A}$は、の閉部分集合である。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle f:A\to Y}$が連続であれば、連続関数に拡張できる。${\displaystyle {\tilde {f}}}$すべてにおいて定義されています${\displaystyle X}$さらに、拡張機能は次のように選択できる。${\displaystyle {\tilde {f}}(X)\subseteq {\text{conv}}f(A)}$

• ブルンバーグの定理– R 上の任意の実関数は、R の稠密な部分集合上で連続な制限を持つ 
• ハーン・バナッハの定理– 有界線形汎関数の拡張に関する定理 
• ホイットニー拡張定理– テイラーの定理の部分的逆定理 
• ドゥグンジ拡張定理

• マンクレス、ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2 版）.アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9OCLC 42683260。​ （視覚障害のある利用者も利用可能）

• ワイスタイン、エリック W. 「ティーツェの拡張定理」 MathWorldより
• Mizar システムの証明: http://mizar.org/version/current/html/tietze.html#T23
• Bonan、Edmond ( 1971)、「Relèvements-Prolongements à valeurs dans les espaces de Fréchet」、Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、Série I、272 : 714–717。