アーベル積分

数学において、ノルウェーの数学者ニールス・ヘンリック・アーベルにちなんで名付けられたアーベル積分は、複素平面上の次の形式の積分である。

${\displaystyle \int _{z_{0}}^{z}R(x,w)\,dx,}$

どこ${\displaystyle R(x,w)}$は2つの変数の任意の有理関数である${\displaystyle x}$そして${\displaystyle w}$これらは、次の式で関連付けられています。

${\displaystyle F(x,w)=0,}$

どこ${\displaystyle F(x,w)}$は既約多項式である${\displaystyle w}$、

${\displaystyle F(x,w)\equiv \varphi _{n}(x)w^{n}+\cdots +\varphi _{1}(x)w+\varphi _{0}\left(x\right),}$

その係数${\displaystyle \varphi _{j}(x)}$、${\displaystyle j=0,1,\ldots ,n}$は有理関数である${\displaystyle x}$アーベル積分の値は、積分範囲だけでなく、積分を行う経路にも依存します。したがって、それは多価関数です。${\displaystyle z}$。

アーベル積分は楕円積分の自然な一般化であり、

${\displaystyle F(x,w)=w^{2}-P(x),\,}$

どこ${\displaystyle P\left(x\right)}$は次数3または4の多項式です。アーベル積分のもう1つの特殊なケースは超楕円積分で、ここで${\displaystyle P(x)}$上記の式において、 は4次より大きい多項式である 。

アーベル積分の理論は、1841年に発表されたアーベルの論文^{[ 1 ]}に端を発する。この論文は、彼が1826年にパリに滞在中に執筆され、同年10月にオーギュスタン＝ルイ・コーシーに提出された。後に他の研究者によって完全に発展させられたこの理論^{[ 2 ]}は、 19世紀数学の輝かしい業績の一つ​​であり、現代数学の発展に大きな影響を与えた。より抽象的で幾何学的な言葉で言えば、それはアーベル多様体の概念、より正確には代数曲線をアーベル多様体に写像する方法に含まれている。アーベル積分は後に著名な数学者ダフィット・ヒルベルトの第16問題と結びつき、現代数学における最も重要な課題の一つとして考えられ続けている。

リーマン面理論において、アーベル積分は第一種微分関数の不定積分に関連する関数である。リーマン面が与えられたと仮定しよう。${\displaystyle S}$そしてその上に微分1形式${\displaystyle \omega }$それはあらゆる場所で正則である${\displaystyle S}$、そして一点を固定する${\displaystyle P_{0}}$の上${\displaystyle S}$そこから統合することができます。

${\displaystyle \int _{P_{0}}^{P}\omega }$

多値関数として${\displaystyle f\left(P\right)}$あるいは（より良いのは）選択された経路の正直な機能${\displaystyle C}$描かれた${\displaystyle S}$から${\displaystyle P_{0}}$に${\displaystyle P}$。 以来${\displaystyle S}$一般的に多重接続されるため、指定する必要がある${\displaystyle C}$しかし、その値は実際には相同性クラスのみに依存します${\displaystyle C}$。

の場合${\displaystyle S}$種数1のコンパクトリーマン面、すなわち楕円曲線の場合、そのような関数は楕円積分です。

このような関数は、超楕円積分を研究するために最初に導入されました。つまり、次の場合に該当します。${\displaystyle S}$これは超楕円曲線である。これは、代数関数を含む積分の場合への積分理論における自然なステップである。${\displaystyle {\sqrt {A}}}$、 どこ${\displaystyle A}$次数が の多項式です${\displaystyle >4}$この理論の最初の重要な洞察はアーベルによって与えられ、後にヤコビ多様体の観点から定式化された。${\displaystyle J\left(S\right)}$選択${\displaystyle P_{0}}$標準的な正則関数を生み出す

${\displaystyle S\to J(S)}$

複素多様体の。正則1形式が定義特性を持つ。${\displaystyle S\to J(S)}$（ gがSの種数である場合、 g個の独立なものが存在する）は、S上の第一種微分に対する基底へと引き戻される。 

• アーベル微分

• アベル、ニールス H. (1841)。「超越的な機能を備えた一般的なクラスの記憶」。Mémoires présentés par divers savants à l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France (フランス語)。パリ。176～ 264ページ。 
• ポール・アペル;グルサ、エドゥアール（1895）。Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales (フランス語)。パリ：ゴーティエ・ヴィラール。
• ブリス、ギルバート A. (1933).代数関数. プロビデンス:アメリカ数学会.
• フォーサイス、アンドリュー・R. (1893).複素変数関数の理論. プロビデンス:ケンブリッジ大学出版局.
• グリフィス、フィリップ；ハリス、ジョセフ（1978）。代数幾何学の原理。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。
• カール・ノイマン(1884)。Vorlesungen über Riemann の Theorie der Abel'schen Integrale (第 2 版)。ライプツィヒ：BGトイブナー。