結果

数学において、2つの多項式の終結式は、多項式が共通の根（おそらく体拡大内）を持つ場合、または同等に、共通の因数（係数体上）を持つ場合に限り、係数の多項式表現がゼロに等しくなる式です。古いテキストでは、終結式は消去式とも呼ばれています。^[1]

結果は、直接または判別式を介して数論で広く使用されています。判別式は、本質的には多項式とその導関数の結果です。有理数または多項式係数を持つ2つの多項式の結果は、コンピュータで効率的に計算できます。これはコンピュータ代数の基本的なツールであり、ほとんどのコンピュータ代数システムの組み込み関数です。特に、円筒代数分解、有理関数の積分、および2変数多項式方程式によって定義された曲線の描画に使用されます。

n変数のn 同次多項式の終値（多変量終値、または通常の終値と区別するためにマコーレーの終値とも呼ばれる）は、マコーレーによって導入された通常の終値の一般化である。^[2]これは、グレブナー基底とともに、消去法の主要なツールの1つである。

2つの一変数多項式AとBの合成式は、一般的に次のように表される。${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Res} (A,B).}$

結果式の多くの応用では、多項式は複数の不定値に依存し、不定値の 1 つでは単変量多項式、その他の不定値では多項式を係数として考えることができます。この場合、結果式の定義と計算に選択された不定値は、下付き文字で示されます。または${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Res} _{x}(A,B).}$

多項式の次数は結果の定義に使用されます。ただし、次数dの多項式は、先頭の係数がゼロである高次の多項式と見なすこともできます。結果にこのような高次の次数を使用する場合は、通常、またはのように下付き文字または上付き文字で示されます。${\displaystyle \operatorname {res} _{d,e}(A,B)}$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}^{d,e}(A,B).}$

体上または可換環上の 2 つの一変数多項式の結果は、一般にそれらのシルベスター行列の行列式として定義されます。より正確には、 および を それぞれ 次数dおよびeの非ゼロ多項式とします。 iより厳密に小さい次数の多項式を要素とするi次元のベクトル空間(または係数が可換環に属する場合は自由モジュール) を で表します。 となる 写像は 、同じ次元の 2 つの空間間の線型写像 です。 xのべき乗(降順で記載)の基底上で、この写像は次元d + eの正方行列で表され、 AおよびBのシルベスター行列と呼ばれます(多くの著者や記事「シルベスター行列」では、シルベスター行列はこの行列の転置として定義されていますが、この規則は線型写像の行列を記述する通常の規則に反するため、ここでは使用しません)。 $${\displaystyle A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}}$$$${\displaystyle B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}}$$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}}$$${\displaystyle \varphi :{\mathcal {P}}_{e}\times {\mathcal {P}}_{d}\rightarrow {\mathcal {P}}_{d+e}}$$$${\displaystyle \varphi (P,Q)=AP+BQ}$$

AとBの合成結果は、 e列のa _iとd列のb _jを 持つ行列式です （ aの最初の列とbの最初の列が同じ長さ、つまりd = eであるという事実は、ここでは行列式の表示を簡略化するためだけです）。たとえば、d = 3、e = 2とすると、 $${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{0}&0&\cdots &0&b_{0}&0&\cdots &0\\a_{1}&a_{0}&\cdots &0&b_{1}&b_{0}&\cdots &0\\a_{2}&a_{1}&\ddots &0&b_{2}&b_{1}&\ddots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &a_{0}&\vdots &\vdots &\ddots &b_{0}\\a_{d}&a_{d-1}&\cdots &\vdots &b_{e}&b_{e-1}&\cdots &\vdots \\0&a_{d}&\ddots &\vdots &0&b_{e}&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &a_{d-1}&\vdots &\vdots &\ddots &b_{e-1}\\0&0&\cdots &a_{d}&0&0&\cdots &b_{e}\end{vmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{0}&0&b_{0}&0&0\\a_{1}&a_{0}&b_{1}&b_{0}&0\\a_{2}&a_{1}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\a_{3}&a_{2}&0&b_{2}&b_{1}\\0&a_{3}&0&0&b_{2}\end{vmatrix}}.}$$

多項式の係数が積分領域に属する場合、 と は それぞれ、積分領域を含む任意の代数閉体におけるAとBの根とその重複度です。これは、以下に示す結果の特性から単純に導かれます。整数係数の一般的なケースでは、代数閉体は一般に複素数体 として選択されます。 $${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=a_{0}^{e}b_{0}^{d}\prod _{\begin{array}{c}1\leq i\leq d\\1\leq j\leq e\end{array}}(\lambda _{i}-\mu _{j})=a_{0}^{e}\prod _{i=1}^{d}B(\lambda _{i})=(-1)^{de}b_{0}^{d}\prod _{j=1}^{e}A(\mu _{j}),}$$${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{d}}$${\displaystyle \mu _{1},\dots ,\mu _{e}}$

この節およびそのサブセクションでは、AとBはそれぞれ次数dとeのxの2つの多項式であり、それらの結果は次のように表される。 ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B).}$

可換環 R の係数を持つ 2 つの多項式の合成関数には、次の性質が成り立ちます。R が体、またはより一般的には整域である場合、合成関数は、これらの性質を満たす 2 つの多項式の係数の唯一の関数です。

• R が別の環Sの部分環である場合、つまり、AとB はRまたはS上の多項式として考えたときに同じ結果を持ちます。${\displaystyle \operatorname {res} _{R}(A,B)=\operatorname {res} _{S}(A,B).}$
• d = 0（つまり が非ゼロの定数）の場合、同様にe = 0の場合、${\displaystyle A=a_{0}}$${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=a_{0}^{e}.}$${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=b_{0}^{d}.}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (x+a_{1},x+b_{1})=b_{1}-a_{1}}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (B,A)=(-1)^{de}\operatorname {res} (A,B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (AB,C)=\operatorname {res} (A,C)\operatorname {res} (B,C)}$

• 積分領域に係数を持つ 2 つの多項式の結果は、それらが正の次数の共通約数を持つ場合にのみ 0 になります。
• 積分領域に係数を持つ 2 つの多項式の結果は、それらの係数を含む代数的に閉じた体で共通の根を持つ場合にのみ 0 になります。
• 次数がe未満の多項式Pと次数がd未満の多項式Q が存在し、これは任意の可換環上の多項式へのベズーの恒等式を一般化したものです。言い換えると、2 つの多項式の結果は、これらの多項式によって生成されるイデアルに属します。${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=AP+BQ.}$

AとB をそれぞれ次数dとeの、係数が可換環 Rにある 2 つの多項式とし、Rから別の可換環Sへの環準同型を仮定します。多項式の係数に適用すると、多項式環の準同型に拡張され、 とも表記されます。この表記法を使用すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle R[x]\to S[x]}$${\displaystyle \varphi .}$

• がAとBの次数を保存する 場合（つまり、およびの場合）、${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \deg(\varphi (A))=d}$${\displaystyle \deg(\varphi (B))=e}$$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$
• もし、そして${\displaystyle \deg(\varphi (A))<d}$${\displaystyle \deg(\varphi (B))<e,}$$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=0.}$$
• かつAの主 係数が${\displaystyle \deg(\varphi (A))=d}$${\displaystyle \deg(\varphi (B))=f<e,}$${\displaystyle a_{0}}$$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=\varphi (a_{0})^{e-f}\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$
• かつBの主 係数が${\displaystyle \deg(\varphi (A))=f<d}$${\displaystyle \deg(\varphi (B))=e,}$${\displaystyle b_{0}}$$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=(-1)^{e(d-f)}\varphi (b_{0})^{d-f}\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$

これらの特性は、終結式を行列式として定義することから簡単に演繹できます。これらは主に 2 つの状況で使用されます。整数係数を持つ多項式の終結式を計算する場合、一般に、いくつかの素数を法として計算し、中国剰余定理を使用して目的の終結式を取得する方が高速です。Rが他の不定値の多項式環であり、 S が R の不定値の一部またはすべてを数値に特殊化することによって得られる環である場合、これらの特性は、次数が特殊化によって保存されるかのように言い換えることができ、2 つの多項式の特殊化の終結式は終結式の特殊化です。この特性は、たとえば円筒代数分解にとって基本的です。

• ${\displaystyle \operatorname {res} (A(x+a),B(x+a))=\operatorname {res} (A(x),B(x))}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (A(ax),B(ax))=a^{de}\operatorname {res} (A(x),B(x))}$
• とがそれぞれAとBの逆多項式である場合、${\displaystyle A_{r}(x)=x^{d}A(1/x)}$${\displaystyle B_{r}(x)=x^{e}B(1/x)}$$${\displaystyle \operatorname {res} (A_{r},B_{r})=(-1)^{de}\operatorname {res} (A,B)}$$

これは、結果がゼロであるという性質が、変数の線形変化および射影変化に対して不変であることを意味します。

• aとbが非ゼロ定数（つまり不定値xとは独立）であり、AとBが上記の通りであれば、$${\displaystyle \operatorname {res} (aA,bB)=a^{e}b^{d}\operatorname {res} (A,B).}$$
• AとBが上記の通りで、CがA – CBの次数がδであるような別の多項式である場合、 $${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=b_{0}^{\delta -d}\operatorname {res} (B,A).}$$
• 特に、Bがモニックであるか、deg C < deg A – deg Bである場合、f = deg C > deg A – deg B = d – eである場合、$${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=\operatorname {res} (B,A),}$$$${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=b_{0}^{e+f-d}\operatorname {res} (B,A).}$$

これらの特性は、多項式のユークリッド互除法とそのすべての変種 (擬似剰余シー​​ケンス) において、2 つの連続する剰余 (または擬似剰余) の結果が、計算しやすい係数だけ最初の多項式の結果と異なることを意味します。逆に言えば、これにより、最後の剰余または擬似剰余の値から最初の多項式の結果を推測できます。これが、部分剰余擬似剰余シー​​ケンス アルゴリズムの出発点となるアイデアです。このアルゴリズムでは、上記の公式を使用して、部分剰余多項式を擬似剰余として取得し、結果を最後の非ゼロ擬似剰余 (結果がゼロでない場合) として取得します。このアルゴリズムは、整数上の多項式、またはより一般的には、正確な除算以外の除算を行わない (つまり、分数を含まない) 整数領域上の多項式に対して機能します。これには算術演算が含まれますが、標準的なアルゴリズムを使用してシルベスター行列の行列式を計算するには算術演算が必要です。 ${\displaystyle O(de)}$${\displaystyle O((d+e)^{3})}$

このセクションでは、 d + e + 2係数が異なる不定値で ある2 つの多項式 と を考えます 。 をこれらの不定値によって定義される整数上の多項式環とします。 結果は、次数dおよびeの一般的な結果と呼ばれることがよくあります。 これは次の特性を持ちます。 $${\displaystyle A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}}$$$${\displaystyle B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}}$$$${\displaystyle R=\mathbb {Z} [a_{0},\ldots ,a_{d},b_{0},\ldots ,b_{e}]}$$${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$

• ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$絶対的に既約な多項式です。
• がAとBによって生成されるのイデアルである場合、 はによって生成される主イデアルです。${\displaystyle I}$${\displaystyle R[x]}$${\displaystyle I\cap R}$${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$

次数dとeの一般的な結果は、さまざまな点で同次です。より正確には、次のようになります。

• これはe次の同次行列である。${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{d}.}$
• これは次数dの同次である。${\displaystyle b_{0},\ldots ,b_{e}.}$
• すべての変数においてd + e次同次であり、${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{j}.}$
• および に重みiが与えられている場合（つまり、各係数の重みが基本対称多項式としての次数である場合）、これは全重みdeの準同次です。${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$
• PとQ がそれぞれ次数dとeの同次多変数多項式である場合、§ 表記法で示される不定値xに関する次数dとeのそれらの結果は、他の不定値に関して次数deの同次になります。${\displaystyle \operatorname {res} _{x}^{d,e}(P,Q)}$

は、それ自体が体上の多項式環である多項式環上の2 つの多項式AとBによって生成されるイデアルとします。AとBの少なくとも 1 つがxに関してモニックである場合、次のようになります。 ${\displaystyle I=\langle A,B\rangle }$${\displaystyle R[x],}$${\displaystyle R=k[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$

• ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)\in I\cap R}$
• イデアルとは同じ代数集合を定義します。つまり、代数的に閉じた体のn個の要素の組がの要素の共通零点となるのは、それが の零点となる場合のみです。${\displaystyle I\cap R}$${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B)}$${\displaystyle I\cap R}$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B).}$
• イデアルは主イデアルと同じ根号を持つ。つまり、の各要素はの倍数のべき乗を持つ。${\displaystyle I\cap R}$ ${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B).}$${\displaystyle I\cap R}$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B).}$
• すべての不可約因数は、すべての要素を分割します${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$${\displaystyle I\cap R.}$

最初の主張は結果の基本的な性質です。他の主張は 2 番目の主張の直接の帰結であり、次のように証明できます。

AとBの少なくとも一方がモニックであるため、タプルがの零点となるのは、がAとBの共通零点となる場合のみとなります。このような共通零点は、 のすべての要素の零点でもあります。逆に、が の要素の共通零点である場合、 は結果の零点となり、 がAとBの共通零点となるような が存在します。したがって、 と はまったく同じ零点を持ちます。 ${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\alpha )}$${\displaystyle I\cap R.}$${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$${\displaystyle I\cap R,}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\alpha )}$${\displaystyle I\cap R}$${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B)}$

理論的には、結果は、それを根の差の積として表す公式を使用して計算できます。ただし、根は一般に正確に計算されない可能性があるため、このようなアルゴリズムは非効率的で数値的に不安定です。結果は各多項式の根の対称関数であるため、対称多項式の基本定理を使用して計算することもできますが、これは非常に非効率的です。

結果はシルベスター行列（およびベズー行列）の行列式なので、行列式を計算する任意のアルゴリズムを使用して計算できます。これには算術演算が必要です。より複雑なアルゴリズムが知られているため（以下を参照）、この方法は実際には使用されません。 ${\displaystyle O(n^{3})}$

§ 多項式の変化に対する不変性から、結果の計算は多項式のユークリッド互除法と密接に関連していることがわかります。これは、次数dとeの 2 つの多項式の結果の計算が係数のフィールドでの算術演算 で実行できることを示しています。${\displaystyle O(de)}$

しかし、係数が整数、有理数、または多項式の場合、これらの算術演算は、同じ順序の係数の GCD 計算の数を意味し、アルゴリズムを非効率にします。この問題を解決し、係数の分数と GCD 計算を回避するために、部分終結疑似剰余シー​​ケンスが導入されました。係数の環準同型の下での終結値の良好な動作を使用すると、より効率的なアルゴリズムが得られます。整数係数を持つ 2 つの多項式終結値を計算するには、十分な数の素数を法としてそれらの終結値を計算し、次に中国剰余定理を使用して結果を再構築します。

整数と多項式の高速乗算を使用すると、結果と最大公約数のアルゴリズムの時間計算量が向上します。これは、乗算の複雑さに入力のサイズの対数を乗じたオーダーです (ここで、sは入力多項式の桁数の上限です)。 ${\displaystyle \log(s(d+e)),}$

帰結は多項式方程式のシステムを解くために導入され、そのようなシステムを解くアルゴリズムが存在するという最も古い証明を提供します。これらは主に 2 つの未知数を持つ 2 つの方程式のシステムを対象としていますが、一般的なシステムを解くこともできます。

PとQ がそれぞれ全次数dとeの多項式である 2つの多項式方程式のシステムについて考えます 。すると はxの多項式となり、一般に次数deになります (§ 同次性の特性により)。 xの値がRの根となるのは、係数を含む代数的に閉じた体にが存在する場合、またはかつである場合に限ります(この場合、 に対してPとQ は無限大で共通の根を持つと言えます)。 $${\displaystyle {\begin{aligned}P(x,y)&=0\\Q(x,y)&=0,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R=\operatorname {res} _{y}^{d,e}(P,Q)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle P(\alpha ,\beta )=Q(\alpha ,\beta )=0}$${\displaystyle \deg(P(\alpha ,y))<d}$${\displaystyle \deg(Q(\alpha ,y))<e}$${\displaystyle x=\alpha }$

したがって、システムの解は、Rの根を計算し、各根に対しておよびの共通根を計算することによって得られます。${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle P(\alpha ,y),}$ ${\displaystyle Q(\alpha ,y),}$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P,Q).}$

ベズーの定理は、PとQの次数の積であるの値から生じます。実際、変数の線形変換の後、結果の各根xに対して、 ( x、y )がPとQの共通零点となるようなyの値がちょうど 1 つ存在すると仮定できます。これは、共通零点の数が最大で結果の次数、つまり最大でPとQの次数の積であることを示しています。多少の技術的工夫を加えると、この証明は、重複度と無限大における零点を数えると、零点の数がまさに次数の積であることを示すように拡張できます。 ${\displaystyle \deg \left(\operatorname {res} _{y}(P,Q)\right)\leq de}$

一見すると、 1 つの未知数を消去するために に対する すべてのペアの終値を計算し、単変数多項式が得られるまでこのプロセスを繰り返すことによって、終値を一般的な多項式方程式 に適用できるように見えます。残念ながら、これにより、除去が困難な多くの誤った解が生成されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0\\&\;\;\vdots \\P_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0\end{aligned}}}$$${\displaystyle (P_{i},P_{j})}$${\displaystyle x_{n}}$

19 世紀末に導入された方法は、次のように機能します。k − 1 個の新しい不定値を導入し、を計算します。 これは、係数が の多項式である多項式であり、単変数多項式が共通のゼロ(おそらく無限大 )を持つ場合に限り、これらの多項式係数の共通のゼロであるという特性があります。このプロセスは、単変数多項式が見つかるまで反復できます。 ${\displaystyle U_{2},\ldots ,U_{k}}$$${\displaystyle \operatorname {res} _{x_{n}}(P_{1},U_{2}P_{2}+\cdots +U_{k}P_{k}).}$$${\displaystyle U_{2},\ldots ,U_{k}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1},}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}$${\displaystyle P_{i}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1},x_{n})}$

正しいアルゴリズムを得るには、この方法に 2 つの補数を追加する必要があります。まず、各ステップで、最後の変数の多項式の次数が合計次数と同じになるように、変数の線形変更が必要になる場合があります。次に、どのステップでも結果がゼロである場合、これは多項式に共通因数があり、解が 2 つの要素に分かれていることを意味します。1 つは共通因数がゼロの要素で、もう 1 つは続行する前にこの共通因数を因数分解して得られる要素です。

このアルゴリズムは非常に複雑で、膨大な時間計算量があります。そのため、その関心は主に歴史的なものです。

整数論における基本的なツールである多項式の判別式はであり、はの最高係数、 はその次数です。 ${\displaystyle a_{0}^{-1}(-1)^{n(n-1)/2}\operatorname {res} _{x}(f(x),f'(x))}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle n}$

および が となる代数的数である場合、 は結果の の根であり、はの根です。ここでは の次数です。が の根であるという事実と組み合わせると、これは代数的数の集合が体 であることを示します。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle P(\alpha )=Q(\beta )=0}$${\displaystyle \gamma =\alpha +\beta }$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),Q(z-x)),}$${\displaystyle \tau =\alpha \beta }$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),x^{n}Q(z/x))}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Q(y)}$${\displaystyle 1/\beta }$${\displaystyle y^{n}Q(1/y)=0}$

を、最小多項式を持つ元によって生成される代数体拡大とします。のすべての元は、が多項式であるとして、次のように表記できます。 すると、はの根となり、この結果は の最小多項式の累乗となります。${\displaystyle K(\alpha )}$${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle \beta \in K(\alpha )}$${\displaystyle \beta =Q(\alpha ),}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),z-Q(x)),}$${\displaystyle \beta .}$

多項式P ( x , y )とQ ( x , y )の零点として定義された2 つの平面代数曲線が与えられれば、その結果からそれらの交差を計算できます。より正確には、 の根は交点のx座標と共通垂直漸近線の x 座標であり、 の根は交点の y 座標と共通水平漸近線のy座標 です。${\displaystyle \operatorname {res} _{y}(P,Q)}$${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P,Q)}$

有理平面曲線は、P、Q、Rが多項式 であるパラメトリック方程式 によって定義できます。曲線の 暗黙の方程式は次のように与えられます。この曲線の 次数は、 P、Q、Rの最高次数であり、結果の合計次数に等しくなります。 $${\displaystyle x={\frac {P(t)}{R(t)}},\qquad y={\frac {Q(t)}{R(t)}},}$$$${\displaystyle \operatorname {res} _{t}(xR-P,yR-Q).}$$

記号積分において、有理分数の原始積分を計算するには、部分分数分解を使用して積分を「有理数部分」と「対数部分」に分解します。「有理数部分」は、原始分数が有理分数である有理数部分の和です。「対数部分」は、 の形式の有理分数の和です。 ここで、 Qは平方のない多項式で、P はQよりも次数の低い多項式です。このような関数の原始積分には、必ず対数と、一般に代数的数 ( Qの根) が含まれます。実際、原始積分は、和 がQ のすべての複素根に渡る部分です。 $${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}},}$$$${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx=\sum _{Q(\alpha )=0}{\frac {P(\alpha )}{Q'(\alpha )}}\log(x-\alpha ),}$$

この式に含まれる代数的数の数は一般にQの次数に等しいが、より少ない代数的数を含む式が計算されることも頻繁にある。Lazard -Rioboo-Trager 法は、代数的数の計算を行わずに、代数的数の数が最小限である式を生成する。

を右側に現れる結果の 平方なし因数分解 とします。Trager は、原始積分は 内部和が の根を通るところ(和がゼロの場合は、空和となる) であり、xのi次多項式であることを証明しました。Lazard-Rioboo の貢献は、がi次部分結果であり、であることの証明です。したがって、結果が部分結果疑似剰余シー​​ケンスによって計算される場合、これは無料で得られます。 $${\displaystyle S_{1}(r)S_{2}(r)^{2}\cdots S_{k}(r)^{k}=\operatorname {res} _{r}(rQ'(x)-P(x),Q(x))}$$$${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx=\sum _{i=1}^{k}\sum _{S_{i}(\alpha )=0}\alpha \log(T_{i}(\alpha ,x)),}$$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle S_{i}=1}$${\displaystyle T_{i}(r,x)}$${\displaystyle T_{i}(r,x)}$${\displaystyle rQ'(x)-P(x)}$${\displaystyle Q(x).}$

これまでのすべての応用例、およびその他多くの応用例は、結果がコンピュータ代数における基本的なツールであることを示しています。実際、ほとんどのコンピュータ代数システムには、結果の計算の効率的な実装が含まれています。

結果は、2 つの不定値における 2 つの同次多項式に対しても定義されます。総次数がそれぞれpおよびqである 2 つの同次多項式P ( x , y )およびQ ( x , y )を考えると、それらの同次結果は 、A が次数q − 1の 2 変量同次多項式上を走り、B が次数p − 1の同次多項式上を走る線型写像の単項式基底上の行列の行列式です。言い換えると、PとQの同次結果は、 P ( x , 1)とQ ( x , 1)を次数pおよびqの多項式と見なした場合の結果です ( xの次数は総次数より低い場合があります)。 (ここでは 2 つの結果を区別するために「Res」の大文字を使用していますが、略語の大文字化に関する標準的な規則はありません)。 $${\displaystyle (A,B)\mapsto AP+BQ,}$$$${\displaystyle \operatorname {Res} (P(x,y),Q(x,y))=\operatorname {res} _{p,q}(P(x,1),Q(x,1)).}$$

同次終結式は、本質的に通常の終結式と同じ特性を持ちますが、本質的に 2 つの違いがあります。多項式の根の代わりに、射影直線上の零点を考慮し、多項式の次数は環準同型の下では変化しない可能性があります。つまり、

• 積分領域上の 2 つの同次多項式の結果は、係数を含む代数的に閉じた体上に非ゼロの共通ゼロを持つ場合にのみゼロになります。
• PとQ が可換環 R の係数を持つ2つの2変数同次多項式であり、Rから別の可換環Sへの環準同型である場合、 R上の多項式に拡張すると、${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle \operatorname {Res} (\varphi (P),\varphi (Q))=\varphi (\operatorname {Res} (P,Q)).}$$
• 同次結果がゼロになるという性質は、変数の任意の射影変換に対して不変です。

通常の合力の任意の特性は、同様に同次合力に拡張することができ、結果の特性は、通常の合力の対応する特性と非常に類似しているか、またはより単純です。

フランシス・サワービー・マコーレーにちなんで名付けられたマコーレーの終値は、多変量終値あるいは多多項式終値とも呼ばれ、^{[3]同次終値を}n 個の不定元におけるn 個の同次多項式に一般化したものである。マコーレーの終値は、これらのn 個の同次多項式の係数における多項式であり、多項式が係数を含む代数的に閉じた体において共通の非ゼロ解を持つ場合、または同値として、多項式によって定義されるn 個の超曲面がn –1次元射影空間において共通のゼロを持つ場合に限り、消滅する。多変量終値は、グレブナー基底とともに、有効消去理論(コンピュータ上の消去理論)の主要なツールの 1 つである。

同次結果と同様に、マコーレーの結果は行列式で定義できるため、環準同型 の下で適切に動作します。ただし、単一の行列式では定義できません。したがって、最初に汎用多項式で定義する方が簡単です。

n変数のd次同次多項式は最大 個の係数を持つことができます 。これらの係数が異なる不定値である場合、その多項式はジェネリック であると言われます。 $${\displaystyle {\binom {n+d-1}{n-1}}={\frac {(n+d-1)!}{(n-1)!\,d!}}}$$

を、それぞれ 次数のn個の不定元におけるn 個の一般的な同次多項式とします 。これらを合わせると、不定係数が含まれます。Cを、これらすべての不定係数における整数上の多項式環とします。したがって、多項式はに属し、その結果 (まだ定義されていない) はCに属します。 ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$ ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n}.}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\binom {n+d_{i}-1}{n-1}}}$$${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$${\displaystyle C[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$

マコーレー次数は、マコーレーの理論で基本的な整数です。結果を定義するには、C線型写像 の単項式基底上の行列であるマコーレー行列 を考慮します。 この写像では、それぞれが次数の同次多項式上を走り、余領域は次数Dの同次多項式のCモジュールです。 ${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1,}$$${\displaystyle (Q_{1},\ldots ,Q_{n})\mapsto Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n},}$$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle D-d_{i},}$

n = 2の場合、マコーレー行列はシルベスター行列で、は正方行列ですが、これはn > 2の場合には当てはまりません。したがって、行列式を考慮する代わりに、すべての最大小行列、つまりマコーレー行列と同じ行数を持つ正方部分行列 の行列式を考慮します。マコーレーは、これらの主小行列によって生成されるCイデアルは主イデアルであり、これはこれらの小行列の最大公約数によって生成されることを証明しました。整数係数の多項式を扱っているため、この最大公約数はその符号まで定義されます。一般的なマコーレーの結果は、各iについて、 の係数に1が代入される場合を除き、のすべての係数に 0 が代入されたときに 1 になる最大公約数です。 ${\displaystyle P_{i},}$${\displaystyle x_{i}^{d_{i}},}$

• 一般的なマコーレー結果は既約多項式です。
• これは、ベズー境界の係数において次数同次です。${\displaystyle B/d_{i}}$${\displaystyle P_{i},}$${\displaystyle B=d_{1}\cdots d_{n}}$
• のD次の単項式の結果との積は、によって生成されるイデアルに属する。${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle C[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}.}$

これから、次数の同次多項式は係数が体kにある、つまり、に属すると考える。その終値は、一般終値における不定係数を実係数で置き換えることによって得られるkの元として定義される。${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$ ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}].}$${\displaystyle P_{i}.}$

結果の主な性質は、 kの代数的に閉じた拡大において非ゼロの共通零点を持つ場合にのみ、結果がゼロになることです。 ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$

この定理の「場合のみ」の部分は、前の段落の最後の性質から生じ、射影零定理の有効なバージョンです。結果がゼロでない場合、 は マコーレー次数で あり、 は最大同次イデアルです。これは、 が唯一の共通零点(0, ..., 0)以外に共通零点を持たないことを意味します。$${\displaystyle \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ^{D}\subseteq \langle P_{1},\ldots ,P_{n}\rangle ,}$$${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1}$${\displaystyle \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}.}$

結果の計算は行列式と多項式の最大公約数の計算に簡略化できるため、有限数のステップで結果を計算する アルゴリズムが存在します。

しかし、一般的な結果は、膨大な数の不定値に依存する非常に高次の多項式（nの指数関数）です。したがって、 nが非常に小さく、入力多項式の次数が非常に小さい場合を除き、一般的な結果は、最新のコンピュータを使用しても実際には計算できません。さらに、一般的な結果の単項式の数は非常に多いため、計算可能であったとしても、 nの値や入力多項式の次数がかなり小さい場合でも、結果を使用可能なメモリ デバイスに保存することはできません。

したがって、結果を計算することは、係数が体に属する多項式、または体上の少数の不定値の多項式に対してのみ意味があります。

体に係数を持つ入力多項式の場合、結果の正確な値はめったに重要ではなく、ゼロに等しいかどうかだけが重要です。マコーレー行列の階数が行数より低い場合にのみ結果がゼロになるため、このゼロに等しいかどうかは、マコーレー行列にガウス消去法を適用することでテストできます。これにより、計算の複雑さが 増します。ここで、d は入力多項式の最大次数です。 ${\displaystyle d^{O(n)},}$