評価（代数）

代数学(特に代数幾何学または代数的数論)において、付値 (つけい値)とは、体上の関数で、体の元の大きさや重複度の尺度となるものである。付値は、複素解析学における極の次数や零点の重複度、数論における素数による数の割り切れる次数、代数幾何学における2 つの代数多様体または解析多様体間の接触という幾何学的概念を考慮する際に内在する大きさの概念を、可換代数に一般化するものである。付値を持つ体は、付値体と呼ばれる。

まず、次のオブジェクトから始めます。

• 体K とその乗法群 K ^×、
• アーベル全順序群(Γ , +, ≥)。

Γ上の順序法則と群法則は、次の規則によって 集合Γ∪{∞ } ^{[a]に拡張される。}

• すべてのα ∈ Γに対して∞ ≥ α、
• すべてのα ∈ Γについて、∞ + α = α + ∞ = ∞ + ∞ = ∞です。

Kの値とは任意の写像である

v  : K → Γ ∪ {∞}

K内のすべてのa、bに対して次の特性を満たす:

• v ( a ) = ∞であるのは、 a = 0の場合のみであり、
• v ( ab ) = v ( a ) + v ( b )、
• v ( a + b ) ≥ min( v ( a ), v ( b ))であり、 v ( a ) ≠ v ( b )の場合には等しくなります。

K ^×内のすべてのaに対してv ( a ) = 0であれば、値vは自明です。 そうでない場合は、非自明です。

2 番目の性質は、任意の付値はK ^×上の群準同型であることを主張します。3 番目の性質は、任意の Γ に適合した距離空間上の三角不等式のバージョンです(以下の乗法表記を参照)。幾何学的アプリケーションで使用される付値の場合、最初の性質は、点の近くにある解析多様体の 空でない芽にはその点が含まれることを意味します。

評価は、主項の位数として解釈できます。^[b] 3 番目の特性は、和の位数がより大きな項の位数であることに対応します。^[c]ただし、2 つの項の位数が同じである場合は、それらの項が打ち消されて、和の位数が大きくなることがあります。

多くの応用において、Γ は実数 の加法部分群である^[d]。この場合、∞ は拡張された実数における +∞ として解釈できる。任意の実数aに対して、したがって +∞ は最小値の二項演算の下での単位元であることに注意する。最小値と加算の演算を伴う実数 (+∞ によって拡張) は、最小熱帯半環と呼ばれる半環を形成し、^[e]および a の付値vは、 Kから熱帯半環への半環準同型に近いが、同じ付値を持つ 2 つの要素を加算すると準同型性が失われる可能性がある。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \min(a,+\infty )=\min(+\infty ,a)=a}$

この概念はエミール・アルティンが著書『幾何代数』の中で、乗法表記で(Γ, ·, ≥)と書き表して発展させたものである。^[1]

∞の代わりに、Γに形式的な記号Oを付加し、順序と群法則を次の規則で拡張する。

• O ≤ α （すべてのα ∈ Γに対して）
• すべてのα ∈ Γに対して、 O · α = α · O = Oです。

Kの値とは任意の写像である

| ⋅ | _v  : K → Γ ∪ { O }

すべてのa、b ∈ Kに対して次の性質を満たす:

• |a| _v = Oであるのは、 a = 0の場合のみであり、
• |ab| _v = |a| _v · |b| _v、
• |a+b| _v ≤ max( |a| _v , |b| _v ) 、 |a| _v ≠ |b| _vの場合には等しくなります。

(不等式の方向は加法表記の場合とは逆になっていることに注意してください。)

Γ が乗法の下で正の実数の部分群である場合 、最後の条件は超計量不等式、つまり三角不等式 |a+b| _v ≤ |a| _v + |b| _vのより強い形式であり、| ⋅ | _vは絶対値です。この場合、 v ₊ ( a ) = −log |a| _vとすることで、値群を持つ加法表記に移行できます。 ${\displaystyle \Gamma _{+}\subseteq (\mathbb {R} ,+)}$

K上の各評価は、対応する線形順序を定義します: a ≼ b ≡ |a| _v ≤ |b| _v 。逆に、必要なプロパティを満たす" ≼ " が与えられた場合、乗算と順序付けがKと≼に基づいている評価|a| _v = { b : b ≼ a ∧ a ≼ b } を定義できます。

この記事では、上で定義した用語を加法表記で使用します。ただし、別の用語を使用する著者もいます。

• 私たちの「評価」（超計量不等式を満たす）は、「指数評価」または「非アルキメデスの絶対値」または「超計量絶対値」と呼ばれます。
• 私たちの「絶対値」（三角不等式を満たす）は「評価値」または「アルキメデスの絶対値」と呼ばれます。

与えられた評価vから定義されるオブジェクトは複数あります : K → Γ∪{∞} ;

• 値群または評価群 Γ _v = v ( K ^{× )、} Γの部分群（ただし、vは通常は全射なのでΓ _v = Γとなる）。
• 付値環 R v_は、 v ( a ) ≥ 0となるa ∈ Kの集合である。
• 素イデアル m _{v は}、 v ( a ) > 0を満たすa ∈ Kの集合である（実際はR _vの極大イデアルである）。
• 留数体 k _v = R _v / m _v、
• vに関連付けられたKの場所、以下で定義される同値性の下でのvのクラス。

それぞれ付値群 Γ ₁と Γ _2を持つKの2つの付値v ₁とv _{2は、 K} ^×のすべてのaに対してv ₂ ( a ) = φ( v ₁ ( a ))となるような順序保存群同型φ  : Γ ₁ → Γ 2_が存在する場合に同値であるといわれます。これは同値関係です。

Kの 2 つの値は、同じ値環を持つ場合にのみ同等です。

体の同値類は場所と呼ばれる。オストロフスキーの定理は有理数 体の場所の完全な分類を与える。これらはまさに、のp進完備化に対する同値類である。${\displaystyle \mathbb {Q} :}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

v をKの付値とし、L を K の体拡大とする。vの( Lへの) 拡大はLの付値wであり、 wのKへの制限はvである。このような拡大の集合は、付値の分岐理論で研究される。

L / K を有限拡大、w を v から L への拡大とする。Γ wにおけるΓ vの指数_{e (} w / v ) = [ Γ _w  : Γ _v ] は、wのv上の縮約分岐指数と呼ばれる。これは、 e( w / v ) ≤ [ L  :  K ] (拡大L / Kの次数) を満たす。wのv上の相対次数は、 f ( w / v ) = [ R _w / m _w  :  R _v / m _v ] (留数体の拡大の次数)と定義される。これは、 L / Kの次数以下でもある。L / Kが分離可能である場合、wのv上の分岐指数は e( w / v ) p ⁱと定義される。ここで、p ^{i は}拡大R _w / m _wのR _v / m _v上の不可分次数である。

順序付きアーベル群Γ が整数の加法群である場合、関連付けられた評価は絶対値と同等であり、したがって体K上の計量を誘導します。K がこの計量に関して完全である場合、それは完全な値を持つ体と呼ばれます。Kが完全でない場合は、以下の例のように、評価を使用してその完備化を構築でき、異なる評価は異なる完備化体を定義できます。

一般に、付値はK上に一様構造を誘導し、一様空間として完備である場合、 Kは完備値体と呼ばれます。球面完備性として知られる関連する特性があります。これは、 の場合の完全性と同等ですが、一般にはより強力です。 ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} ,}$

最も基本的な例は、有理数 上の素整数pに関連付けられたp進付値ν _pです。ここ で、 は素イデアルでのの局所化です。付値群は加法整数です。整数の場合、付値 ν _p ( a ) は、 aがpの累乗で割り切れるかどうかを測ります。 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,}$${\displaystyle R=\mathbb {Z} _{(p)},}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle (p)}$${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} .}$${\displaystyle a\in R=\mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle \nu _{p}(a)=\max\{e\in \mathbb {Z} \mid p^{e}{\text{ は }}a を割ります\};}$

分数の場合は、ν _p ( a / b ) = ν _p ( a ) − ν _p ( b ) となります。

これを乗法的に記述するとp進絶対値が得られ、これは通常 を底として持つため、 となります。 ${\displaystyle 1/p=p^{-1}}$${\displaystyle |a|_{p}:=p^{-\nu _{p}(a)}}$

_{ν p}に関するの完備化はp 進数の体である。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

K = F (x)、アフィン直線X = F ¹上の有理関数とし、点a ∈ X を取る。となる多項式について、x = aで消滅する順序をv _a ( f ) = kとし、v _a ( f / g ) = v _a ( f ) − v _a ( g ) と定義する。すると、付値環R はx = aで極を持たない有理関数から構成され、完成形は形式ローラン級数環F (( x − a )) となる。これは、ピュイズー級数体K {{ t }} (分数べき)、レヴィ-チヴィタ体(そのコーシー完成)、ハーン級数体に一般化でき、すべての場合において、付値は級数に現れるtの最小の指数を返す。 ${\displaystyle f(x)=a_{k}(x{-}a)^{k}+a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots +a_{n}(x{-}a)^{n}}$${\displaystyle a_{k}\neq 0}$

これまでの例を一般化して、R を主イデアル領域、Kをその分数体、π をRの既約元とします。すべての主イデアル領域は一意の因数分解領域であるため、 Rのすべての非ゼロ元a は（本質的に）一意に次のように表すことができます。

${\displaystyle a=\pi ^{e_{a}}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}}}$

ここで、e は非負の整数であり、p _{i は}πに関連しないRの既約元です。特に、整数e _{a は}aによって一意に決定されます。

Kのπ進値は次のように与えられる。

• ${\displaystyle v_{\pi }(0)=\infty }$
• ${\displaystyle v_{\pi }(a/b)=e_{a}-e_{b},{\text{ }}a,b\in R,a,b\neq 0.}$

π' がRの別の既約元で、(π') = (π) となる場合 (つまり、Rで同じイデアルを生成する場合)、π 進評価と π' 進評価は等しくなります。したがって、π 進評価はP進評価 ( P  = (π)) と呼ぶことができます。

前の例はデデキント域に一般化できます。Rをデデキント域、K をその分数体、P をRの非ゼロ素イデアルとします。すると、RのPにおける局所化( R _Pと表記)は、分数体がKである主イデアル域となります。前のセクションの構成をR _Pの素イデアルPR _{Pに適用すると、} KのP進値が得られます。

Γ ∪ {0} が乗法の下で負でない実数の集合であると仮定します。その値域 (付値群) が無限大 (したがって 0 に集積点を持つ) である場合、付値は非離散的であると言えます。

X がK上のベクトル空間で、AとB がXのサブセットであるとします。このとき、α ∈ Kが存在してλ ∈ Kであり、|λ| ≥ |α|であるとき、 B ⊆ λ Aであるとき、 A はBを吸収するということになります。AがXのすべての有限サブセットを吸収するとき、Aは放射状または吸収性であるといいます。 Xの放射状サブセットは、有限交差で不変です。また、λがKに含まれ、|λ| ≥ |α|であるとき、 λ A ⊆ Aであるとき、Aは円状であるといいます。 Lの円で囲まれたサブセットの集合は、任意の交差で不変です。Aの円で囲まれた包は、A を含むXのすべての円で囲まれたサブセットの共通部分です。

XとY が非離散評価体K上のベクトル空間であり、A ⊆ X、B ⊆ Yとし、f​​ : X → Yを線型写像とします。Bが円または放射状であれば、 も同様です。Aが円状であればf(A) も円状ですが、Aが放射状であれば、fが射影的であるという追加条件の下でf(A)は放射状になります。 ${\displaystyle f^{-1}(B)}$

• 個別評価
• ユークリッド評価
• フィールドノルム
• 絶対値（代数）

• ダニロフ、VI（2001）[1994]、「評価」、数学百科事典、EMSプレス
• PlanetMathでの離散評価。
• PlanetMathでの評価。
• Weisstein、Eric W.「評価」。MathWorld。