ホイットニー条件

数学の一分野である微分位相幾何学において、ホイットニー条件は、1965 年に ハスラー・ホイットニーによって導入された多様体の一対の部分多様体に対する条件です。

位相空間の成層とは、閉部分集合F _iによる有限の濾過であり、濾過の連続する要素F _iとF _{( i − 1)の差は空か、} i次元の滑らかな部分多様体のいずれかである。差F _i − F _{( i − 1)}の接続成分は、 i次元の層である。すべての層のペアが以下に定義されるホイットニー条件 A と B を満たす場合、その層はホイットニー成層と呼ばれる。

XとY を、i次元とj次元のR ⁿの2 つの互いに素な (局所的に閉じた) 部分多様体とします。

• XとY がホイットニーの条件 Aを満たすのは、X内の点x ₁、x ₂、…の列がY内の点yに収束し、点x _mにおけるXへの接線i平面T _mの列が、 m が無限大に近づくにつれてi平面Tに収束する場合、 TにはyにおけるYへの接線j平面が含まれる場合です。
• XとY がホイットニーの条件 Bを満たすのは、 X内の点の各シーケンスx ₁、x _{2 、… と}Y内の点の各シーケンスy ₁、y ₂、…がY内の同じ点yに収束し、 x _mとy _mの間の割線のシーケンスL _{m が}m が無限大に近づくにつれて線Lに収束し、点x _mにおけるXの接線i平面T _mのシーケンスがm が無限大に近づくにつれてi平面Tに収束する場合、L がTに含まれる場合です。

ジョン・マザーは、1970年にハーバード大学で行った講義のノート（現在広く配布されている）の中で、ホイットニーの条件Bがホイットニーの条件Aを意味することを初めて指摘した。彼はまた、トム・マザーの成層空間の概念を定義し、すべてのホイットニーの成層はトム・マザーの成層空間であり、したがって位相的に成層空間であることを証明した。この基本的な結果に対する別のアプローチは、1969年に ルネ・トムによって以前に与えられた。

デイヴィッド・トロットマンは、1977年のウォーリック大学の学位論文で、滑らかな多様体Mの閉部分集合の成層がホイットニーの条件 A を 満たすのは、滑らかな多様体NからMへの滑らかな写像の空間の部分空間 (この写像は成層の全ての層に横断的な写像全てから成る) が開いている場合のみであることを示した (ホイットニー位相、つまり強い位相を用いて)。トムの横断性定理によれば、 Mの任意の可算な部分多様体族に横断的な写像の部分空間は常に稠密である。横断写像の集合の稠密性は、横断性が滑らかな写像の「一般的な」性質であると解釈されることが多く、一方、開性は性質が「安定」であると解釈されることが多い。

ホイットニー条件が広く使われるようになったのは、1965 年のホイットニーの定理によるもので、代数多様体、あるいは解析多様体はどれもホイットニーの成層化、すなわちホイットニー条件を満たす滑らかな部分多様体への分割が可能である。より一般的な特異空間には、半代数集合(ルネ・トムによる) や部分解析集合(広中平祐による) などのホイットニーの成層化を与えることができる。このため、ホイットニーの成層化は工学、制御理論、ロボット工学で利用されるようになった。ポーランドのクラクフにあるヤゲロニア大学の Wieslaw Pawlucki の指導のもとで執筆された論文で、ベトナムの数学者 Ta Lê Loi は、 o 極小構造のすべての定義可能集合にホイットニーの成層化を与えることができることをさらに証明した。^[要出典]

• トム・マザー成層空間
• 位相的に層化された空間
• トムの第一同位体補題
• 階層化された空間

• マザー、ジョン・ トポロジカル安定性に関するノート、ハーバード、1970 年 (プリンストン大学の Web ページで入手可能)。
• Thom、René Ensembles et morphismes stratifiés、Bulletin of the American Mathematical Society Vol. 2 75、240〜284ページ）、1969年。
• Trotman, David 層状化に対する横断性の安定性はホイットニー(a)-正則性を意味する、 Inventiones Mathematicae 50(3)、pp. 273–277、1979年。
• Trotman, David 「成層における正則性条件の比較」、特異点、第 2 部 (カリフォルニア州アーカタ、1981 年)、Proc. Sympos. Pure Math. の第 40 巻、pp. 575–586。アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、1983 年。
• ホイットニー、ハスラー『 解析多様体の局所的性質』微分および組合せ位相幾何学（マーストン・モース記念シンポジウム）pp. 205–244 プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー州、1965年。
• ホイットニー、ハスラー、「解析多様体への接線」、数学年報81、第3号（1965年）、pp.496-549。