Loading article…
数学において、双有理幾何学は代数幾何学の一分野であり、その目的は、低次元部分集合の外側で2つの代数多様体が同型となる条件を判定することである。これは、多項式ではなく有理関数によって与えられる写像を研究することに相当し、有理関数が極を持つ場所では写像が定義されない場合がある。
ある多様体（既約であると理解される）からの合理的な写像別の品種へ破線の矢印X ⇢ Yで表され、空でない開集合からY への射として定義される。に代数幾何学で使用されるザリスキ位相の定義により、空でない開部分集合は常に密集している実際には、より低次元の部分集合の補集合である。具体的には、有理写像は有理関数を用いて座標で表すことができる。
XからYへの双有理写像とは、有理写像f : X ⇢ Yであって、 fの逆写像Y ⇢ Xが存在するような写像のことである。双有理写像は、 Xの空でない開集合からYの空でない開集合への同型写像を誘導し、またその逆も同様である。定義により、XとYの空でない開集合間の同型写像は双有理写像f : X ⇢ Yを与える。この場合、XとYは双有理的、または双有理的に同値であると言われる。代数的に言えば、体k上の 2 つの多様体は、それらの関数体がkの拡大体として同型である場合に限り双有理的である。
特殊なケースとして、双有理射f : X → Yがあります。これは双有理射を意味します。つまり、fはあらゆる場所で定義されますが、その逆射は定義されない場合があります。通常、これは双有理射がXのいくつかのサブ多様体をYの点に縮約することによって起こります。
多様体Xは、ある次元のアフィン空間（または同等に射影空間）と双有理である場合に有理であると言われます。有理性とは非常に自然な性質であり、 Xからある低次元の部分集合を除いたものが、アフィン空間からある低次元の部分集合を除いたものと同一視できることを意味します。
例えば、円方程式付きアフィン平面には有理曲線が存在する。なぜなら、有理写像f が存在するからである。⇢ Xは次のように与えられる
有理逆関数g : X ⇢ を持つによって与えられた
有理数tに対して写像fを適用すると、ピタゴラス三つ組の体系的な構成が得られます。
合理的な地図は、複素アフィン直線上では、は開集合上の射である、同様に、有理写像g : X ⇢は点 (0,−1) では定義されていません。
より一般的には、任意の次元nの滑らかな二次曲面(次数 2) 超曲面X は、立体射影により有理曲面となる。(体k上の二次曲面Xの場合、Xはk有理点を持つと仮定する必要がある。kが代数的に閉じている場合は、これは自動的に成り立つ。) 立体射影を定義するために、p をXの点とする。すると、 Xから射影空間への双有理写像が定義される。pを通る直線の写像は、 X内の点q をpとqを通る直線に写像することによって与えられます。これは双有理同値ですが、多様体の同型ではありません。なぜなら、q = pの場合には定義されず（また、逆写像はXに含まれるpを通る直線では定義されない）、多様体の同型ではないからです。
Segre埋め込みは埋め込みを与えるによって与えられた
この画像は二次曲面ですで。これは、この二次曲面が有理曲面であることのもう一つの証明となる。は明らかに合理的であり、 と同型な開部分集合を持つ。。
すべての代数多様体は射影多様体と双有理関係にある（チャウの補題）。したがって、双有理分類の目的においては、射影多様体のみを扱えば十分であり、これが通常最も便利な設定である。
特異点解消に関する1964年の広中定理は、さらに深い意味を持つ。すなわち、標数0の体（複素数など）上では、すべての多様体は滑らかな射影多様体と双有理的関係にある。このことから、滑らかな射影多様体を双有理的同値性まで分類すれば十分である。
次元1では、2つの滑らかな射影曲線が双有理であれば、それらは同型である。しかし、ブローアップ構成により、次元2以上ではこの条件は満たされない。ブローアップにより、次元2以上のすべての滑らかな射影多様体は、例えばより大きなベッチ数を持つ無限に多くの「より大きな」多様体と双有理となる。
これは、最小モデルという概念につながります。各双有理同値類には、一意の最も単純な多様体が存在するのでしょうか？現代の定義では、射影多様体Xは、標準直線束K X がX内のすべての曲線上で非負の次数を持つ場合、最小であるとされています。言い換えれば、K Xはnefです。拡大された多様体は決して最小ではないことは容易に確認できます。
この概念は代数曲面（2次元の多様体）には完全に当てはまります。現代的な用語で言えば、 1890年から1910年にかけてのイタリア代数幾何学学派の中心的な成果の一つである曲面の分類において、すべての曲面Xは積に双有理的である、ということが挙げられます。ある曲線Cまたは極小曲面Yに対して。[ 1 ]この 2 つのケースは互いに排他的であり、Y が存在する場合は一意である。Yが存在する場合、それはXの極小モデルと呼ばれる。
最初は、有理数でない代数多様体が存在することを示す方法が明確ではありません。これを証明するには、代数多様体の双有理不変量が必要です。双有理不変量とは、双有理的に同値なすべての多様体に対して同じ、または同型であるような数、環などのことです。
双有理不変量の有用なセットの 1 つは多種多様体です。次元nの滑らかな多様体Xの標準束は、 n形式の線束K X = Ω nを意味し、これはXの余接束のn次外積です。整数dに対して、K Xのd次テンソル積は再び線束になります。d ≥ 0の場合、大域切断のベクトル空間H 0 ( X , K X d )は、滑らかな射影多様体間の双有理写像f : X ⇢ Yが同型H 0 ( X , K X d ) ≅ H 0 ( Y , K Y d )を誘導するという注目すべき性質を持ちます。[ 2 ]
d ≥ 0の場合、d番目の多種数P dをベクトル空間H 0 ( X , K X d )の次元として定義します。このとき、多種数は滑らかな射影多様体の双有理不変量となります。特に、d > 0の多種数P d がゼロでない場合、Xは有理数ではありません。
基本的な双有理不変量は小平次元であり、これはdが無限大に近づくときの多種多様体P dの成長を測定する。小平次元は、次元nのすべての多様体をn + 2種類の小平次元 −∞、0、1、...、またはnに分類する。これは多様体の複雑さの尺度であり、射影空間の小平次元は −∞ である。最も複雑な多様体は、小平次元がその次元nに等しいものであり、一般型の多様体と呼ばれる。
より一般的には、任意の自然数項に対して
r ≥ 0の余接束 Ω 1のr番目のテンソルのべき乗の、大域切断のベクトル空間H 0 ( X , E (Ω 1 ))は、滑らかな射影多様体に対する双有理不変量である。特に、ホッジ数は
これらはXの双有理不変量である。（他のほとんどのホッジ数h p、q は、爆発によって示されるように、双有理不変量ではない。）
基本群π 1 ( X ) は、滑らかな複素射影多様体の双有理不変量である。
アブラモビッチ、カル、マツキ、ウォダルチク（2002）によって証明された「弱因数分解定理」は、2 つの滑らかな複素射影多様体間の任意の双有理写像は、有限個の滑らかな部分多様体のブローアップまたはブローダウンに分解できることを示しています。これは知っておくべき重要なことですが、2 つの滑らかな射影多様体が双有理であるかどうかを判断するのは依然として非常に難しい場合があります。
射影多様体X は、標準束K Xがネフである場合に最小であると呼ばれる。次元が 2 のXの場合、この定義では滑らかな多様体のみを考慮すれば十分である。次元が 3 以上の場合、最小多様体は、K Xが依然として良好な振る舞いをするある種の弱い特異点を持つことが許容されなければならない。これらは終端特異点と呼ばれる。
とはいえ、最小モデル予想によれば、あらゆる多様体Xは有理曲線で覆われているか、あるいは最小多様体Yと双有理関係にあるかのいずれかである。Yが存在する場合、YはXの最小モデルと呼ばれる。
最小モデルは次元が3以上であれば一意ではないが、双有理的な最小多様体は互いに非常に近い。例えば、余次元が2以上の部分集合の外側では同型であり、より正確には、それらは一連の浮動小数点演算によって関連付けられている。したがって、最小モデル予想は、代数多様体の双有理的な分類について強力な情報を提供するだろう。
この予想は、森によって3次元で証明されました。[ 3 ]一般的な問題は未解決のままですが、高次元では大きな進展がありました。特に、Birkar、Cascini、Hacon、およびMcKernan（2010）[ 4 ]は、標数0の体上の一般型の多様体はすべて最小モデルを持つことを証明しました。
多様体は、有理曲線で覆われている場合、単線多様体と呼ばれます。単線多様体には最小モデルはありませんが、良い代替案があります。Birkar、Cascini、Hacon、およびMcKernanは、標数0の体上のすべての単線多様体がファノファイバー空間に対して双有理であることを示しました。[ a ]これは、ファノファイバー空間と（最も興味深い特殊なケースとして）ファノ多様体の双有理分類の問題につながります。定義により、射影多様体Xは、反標準束がは十分である。ファノ多様体は、射影空間に最も類似した代数多様体とみなすことができる。
2次元では、代数的に閉じた体上のすべてのファノ多様体（デル・ペッツォ曲面として知られる）は有理多様体である。1970年代の重要な発見は、3次元から有理多様体ではないファノ多様体が多数存在するということである。特に、クレメンス・グリフィス（1972）によれば滑らかな3次多様体は有理多様体ではなく、イスコフスキフ・マニン（1971）によれば滑らかな4次多様体は有理多様体ではない。しかしながら、どのファノ多様体が有理多様体であるかを正確に決定する問題は、まだ解決には程遠い。例えば、 に滑らかな3次超曲面が存在するかどうかは知られていない。n ≥ 4の場合、これは有理数ではありません。
代数多様体は、双有理自己同型群の数において大きく異なります。一般型の多様体はすべて、双有理自己同型群が有限であるという意味で極めて厳格です。その反対の極端な例として、射影空間の双有理自己同型群が挙げられます。体k上のクレモナ群Cr n ( k )は、 n ≥ 2の場合、大きい（ある意味で無限次元）です。n = 2の場合、複素クレモナ群は「二次変換」によって生成される
グループと共に自己同型写像のマックス・ネーターとカステルヌオーヴォによる。対照的に、 n ≥ 3次元のクレモナ群は非常に謎に包まれており、生成元の明示的な集合は知られていない。
Iskovskikh–Manin（1971）は、滑らかな4次3次元多様体の双有理自己同型群がその自己同型群に等しく、それが有限であることを示した。この意味で、有理多様体の双有理自己同型群は巨大であるため、4次3次元多様体は有理多様体とは程遠い。この「双有理剛性」現象は、その後、他の多くのファノファイバー空間でも発見されている。
双有理幾何学は、幾何学の他の分野にも応用されているが、特に代数幾何学における伝統的な問題において応用されている。
有名なことに、最小モデルプログラムは、ヤーノシュ・コラーとニコラス・シェパード＝バロンによって、一般型の多様体のモジュライ空間を構築するために使用され、現在ではKSBモジュライ空間として知られています。[ 5 ]
双有理幾何学は最近、ケーラー・アインシュタイン計量の一般的な存在結果によるファノ多様体の K-安定性の研究、双有理モデル上での計算による K-安定性のテストのためのファノ多様体の明示的な不変量の開発、およびファノ多様体のモジュライ空間の構成において重要な応用が見出されている。[ 6 ]ファノ多様体の有界性のビルカーの証明などの双有理幾何学の重要な結果は、モジュライ空間の存在結果を証明するために使用されている。
![{\displaystyle ([x,y],[z,w])\mapsto [xz,xw,yz,yw].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375395e20d9ffe5658e7a8c4156823c3a4e04ce8)
