代数曲線

数学において、アフィン代数平面曲線は、 2変数多項式の零点集合です。射影代数平面曲線は、3変数同次多項式の射影平面上の零点集合です。アフィン代数平面曲線は、定義多項式を同次化することで射影代数平面曲線に変換できます。逆に、同次方程式h ( x , y , t ) = 0の射影代数平面曲線は、方程式h ( x , y , 1) = 0のアフィン代数平面曲線に制限できます。これら2つの操作は互いに逆演算であるため、代数平面曲線という用語は、アフィンの場合と射影の場合のどちらを考慮しているのかを明示的に指定せずに使用されることがよくあります。

平面代数曲線の定義多項式が既約である場合、その平面代数曲線は既約である。そうでない場合、その代数曲線は、既約因子によって定義される1つまたは複数の既約曲線（成分と呼ばれる）の和集合である。

より一般的に言えば、代数曲線とは次元が１の代数多様体のことです。場合によっては、次元が１の代数集合も代数曲線と呼ばれることがありますが、この記事ではそうではありません。言い換えれば、代数曲線とは、既約な代数平面曲線と双有理的に同値な代数多様体のことです。曲線がアフィン空間または射影空間に含まれる場合、そのような双有理的同値性に対して射影をとることができます。

これらの双有理同値性により、代数曲線の研究の大部分は代数平面曲線の研究に帰着します。しかし、双有理同値性の下では保持されない性質もあり、非平面曲線上で研究する必要があります。これは特に次数と滑らかさの場合に当てはまります。たとえば、種数が0で次数が2より大きい滑らかな曲線が存在しますが、そのような曲線の任意の平面射影には特異点があります（種数-次数公式を参照）。

平面でない曲線は、しばしば空間曲線または歪曲線と呼ばれる。

ユークリッド平面上の代数曲線は、座標が二変数多項式方程式p ( x , y ) = 0の解である点の集合です。この方程式は、y をxの関数として明示的に定義する関数のグラフである曲線とは対照的に、曲線の陰関数方程式と呼ばれることがよくあります。

このような陰関数方程式で与えられる曲線の場合、まず最初に問題となるのは、曲線の形状を決定し、それを描画することです。これらの問題は、関数のグラフの場合のように簡単に解決できるものではありません。関数のグラフの場合、xの様々な値に対してyの値を容易に計算できるからです。定義方程式が多項式であるということは、曲線がこれらの問題を解決するのに役立つ何らかの構造的特性を持っていることを示唆しています。

すべての代数曲線は、有限個の滑らかな単調弧に一意に分解することができ、分岐は、時に「特異点」と呼ばれるいくつかの点で接続され、場合によっては孤立点。滑らかな単調弧xの開区間で定義され単調な滑らかな関数のグラフです。各方向において、弧は非有界（通常は無限弧）であるか、または終点が特異点（これは後述します）であるか、または座標軸のいずれかに平行な接線を持つ点のいずれかです。

例えば、チルンハウゼン三次曲線の場合、原点（0,0）を端点とする無限弧が2つ存在します。この点は曲線の唯一の特異点です。また、この特異点を一方の端点とし、もう一方の端点が水平接線を持つ弧が2つ存在します。さらに、水平接線を持つ点のいずれかを最初の端点とし、垂直接線を持つ唯一の点を2番目の端点とする弧が2つ存在します。これに対し、正弦曲線は単調な弧が無限に存在するため、代数曲線ではありません。

代数曲線を描くには、特異点とその接線、無限枝とその漸近線（存在する場合）、そして弧がそれらをどのように結んでいるかを知ることが重要です。変曲点も特異点として考慮すると便利です。これらの情報をすべて紙に描き出すと、曲線の形状は通常かなり明確に現れます。そうでない場合は、いくつかの点とその接線を追加すれば、曲線の形状を適切に記述できます。

注目すべき点とその接線を計算する方法は、以下の「平面曲線の注目すべき点」のセクションで説明します。

射影空間内の曲線を考えることはしばしば望ましい。射影平面内の代数曲線または平面射影曲線は、射影平面内の点の集合であり、その射影座標は3変数P ( x , y , z )の同次多項式の零点である。

方程式p ( x , y ) = 0の任意のアフィン代数曲線は、方程式^h p ( x , y , z ) = 0の射影曲線に完成させることができる。 $${\displaystyle ^{h}p(x,y,z)=z^{\deg(p)}p\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)}$$これはpの均質化 の結果です。逆に、P ( x , y , z ) = 0が射影曲線の均質方程式である場合、P ( x , y , 1) = 0はアフィン曲線の方程式であり、これは射影曲線の 3 番目の射影座標がゼロでない点から構成されます。これら 2 つの操作は互いに逆であり、 $${\displaystyle ^{h}p(x,y,1)=p(x,y)}$$ そして、pがp ( x , y ) = P ( x , y , 1)で定義される場合、 $${\displaystyle ^{h}p(x,y,z)=P(x,y,z)}$$同次多項式P がzで割り切れない 場合。

例えば、方程式の射影曲線 $${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}}$$は、方程式の 単位円 の射影的完成である。$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0.}$$

これは、アフィン曲線とその射影補完が同一の曲線であることを意味する。より正確には、アフィン曲線は射影曲線の一部であり、その部分の大きさが「完全な」曲線を十分に定義できるほど大きいことを意味する。この観点は、射影補完のうちアフィン部分に属さない点（有限個）を、アフィン曲線の「無限遠点」と呼ぶことで一般的に表現される。

射影曲線はそれ自体で研究されることが多い。また、アフィン曲線の研究にも役立つ。例えば、p ( x , y )がアフィン曲線を定義する多項式である場合、偏微分p'xとp'yに加えて、_無限遠点における微分を考えることが有用である_。$${\displaystyle p'_{\infty }(x,y)={^{h}p'_{z}(x,y,1)}。}$$

例えば、方程式p ( x , y ) = 0のアフィン曲線の点( a , b )における接線の方程式は次のようになります。 $${\displaystyle xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{\infty }(a,b)=0.}$$

この節では、二変数多項式p ( x , y )で定義される平面代数曲線と、均質化によって定義されるその射影的完備化について考察する。${\displaystyle P(x,y,z)={}^{h}p(x,y,z)}$pの。

特異点近傍における代数曲線の解析構造を研究することで、特異点のトポロジーに関する正確な情報が得られる。実際、特異点近傍では、実数代数曲線は、特異点でのみ交差する有限個の枝の集合であり、尖点または滑らかな曲線のように見える。

正則点の近傍では、曲線の座標の一方を他方の座標の解析関数として表すことができます。これは解析的陰関数定理の系であり、曲線がその点の近傍で滑らかであることを意味します。特異点の近傍では状況はより複雑になり、分岐の解析的媒介変数方程式を与えるピュイズー級数が関係してきます。

特異点を記述するには、特異点が原点に位置するように曲線を平行移動するのが適切です。これは、次の形式の変数変換から成ります。${\displaystyle X=x-a,Y=y-b,}$どこ${\displaystyle a,b}$これらは特異点の座標です。以下では、対象となる特異点は常に原点にあるものとします。

代数曲線の式は${\displaystyle f(x,y)=0,}$ここで、fはxとyに関する多項式である。この多項式は、 xに関するピュイズー級数の代数的に閉じた体上の係数を持つyに関する多項式とみなすことができる。したがって、 f は次の形式の因数に因数分解できる。${\displaystyle y-P(x),}$ここでPはピュイズー級数です。f が既約多項式である場合、これらの因子はすべて異なります。これは、 fが平方因子を持たないことを意味し、この性質は係数体に依存しません。

ここで出現するピュイズー系列は、 $${\displaystyle P(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}x^{n/d},}$$ ここでdは正の整数であり、${\displaystyle n_{0}}$は整数であり、原点を通る曲線の枝のみを考慮するため、正であると仮定してもよい。一般性を失うことなく、 dはnの最大公約数と互いに素であると仮定できる。${\displaystyle a_{n}\neq 0}$（あるいは、指数に用いる公分母をより小さくすることもできる。）

させよう${\displaystyle \omega _{d}}$は原始的なd乗根である。上記のピュイズー級数が の因数分解に現れる場合${\displaystyle f(x,y)=0}$⁠、次にdシリーズ $${\displaystyle P_{i}(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}\omega _{d}^{i}x^{n/d}}$$因数分解にも現れる（ガロア理論 の結果）。これらのd級数は共役と呼ばれ、分岐指数dの曲線の単一の枝とみなされる。

実数曲線、つまり実数係数を持つ多項式で定義される曲線の場合、3つのケースが発生する可能性があります。いずれにも該当しない場合${\displaystyle P_{i}(x)}$実係数を持つ場合、非実数分岐が存在する。${\displaystyle P_{i}(x)}$実数係数を持つ場合、次のように選択できます。${\displaystyle P_{0}(x)}$dが奇数の場合、 xのすべての実数値は実数値を与える。${\displaystyle P_{0}(x)}$⁠ 、そして、 d > 1の場合は特異であるが、正則に見える実枝を持つ。dが偶数の場合は、⁠${\displaystyle P_{0}(x)}$そして​​${\displaystyle P_{d/2}(x)}$実数値を持つが、 x ≥ 0の場合に限る。この場合、実数部は尖点のように見える（または、使用する尖点の定義によっては尖点である）。

例えば、通常の尖点には枝が1つしかありません。それが方程式で定義される場合${\displaystyle y^{2}-x^{3}=0,}$すると因数分解は${\displaystyle (y-x^{3/2})(y+x^{3/2});}$分岐指数は2であり、2つの因子は実数で、それぞれが半分の枝を定義します。尖点が回転すると、方程式は次のようになります。${\displaystyle y^{3}-x^{2}=0,}$そして因数分解は${\displaystyle (y-x^{2/3})(y-j^{2}x^{2/3})(y-(j^{2})^{2}x^{2/3}),}$と${\displaystyle j=(1+{\sqrt {-3}})/2}$（係数）${\displaystyle (j^{2})^{2}}$⁠は、上記の定義がどのように示されるかを示すためにjに単純化されていません。${\displaystyle P_{i}(x)}$⁠は専門化されています）。ここでは分岐指数は3であり、1つの要因のみが実在します。これは、最初のケースでは、2つの要因が同じ分岐を定義するものとして考慮する必要があることを示しています。

代数曲線は次元1の代数多様体である。これは、次元nのアフィン空間におけるアフィン曲線が、少なくともn - 1個のn変数多項式によって定義されることを意味する。曲線を定義するには、これらの多項式がクルル次元1の素イデアルを生成する必要がある。この条件は実際には容易に検証できない。したがって、非平面曲線を表現するには、以下の方法が好ましい場合がある。  

させて${\displaystyle f,g_{0},g_{3},\ldots ,g_{n}}$fは、2 つの変数x ₁とx _{2に関する}n個の多項式であり、f は既約である。n次元のアフィン空間内の点であって、その座標が方程式と不等式を満たすもの。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(x_{1},x_{2})=0\\&g_{0}(x_{1},x_{2})\neq 0\\x_{3}&={\frac {g_{3}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\\&{}\ \vdots \\x_{n}&={\frac {g_{n}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\end{aligned}}}$$

は、有限個の点が除去された代数曲線のすべての点です。この曲線は、多項式hのイデアルの生成子のシステムによって定義され、整数kが存在して、${\displaystyle g_{0}^{k}h}$によって生成された理想に属する${\displaystyle f,x_{3}g_{0}-g_{3},\ldots ,x_{n}g_{0}-g_{n}}$この表現は、曲線とfで定義される平面曲線との間の双有理同値関係です。すべての代数曲線はこのように表現できます。ただし、最初の2つの変数への射影をほぼ常に単射にするためには、線形変数変換が必要になる場合があります。変数変換が必要な場合、無限体上で定義されている限り、ほとんどすべての変換が便利です。

この表現を用いることで、平面上に投影された非平面代数曲線の対応する性質から、そのグラフ表現を含むあらゆる性質を容易に導き出すことができる。

陰関数方程式で定義される曲線の場合、上記の曲線の表現は、より小さい変数のブロックが ( x ₁、x _{2 ) となるような}ブロック順序付けのGröbner 基底から容易に導出できます。多項式fは、基底においてx ₁とx ₂のみに依存する唯一の多項式です。分数g _i / g _0は、 i = 3, ..., nに対して、基底においてx _iに関して線形であり、 x ₁、x ₂およびx _iのみに依存する多項式を選択することによって得られます。これらの選択が不可能な場合、これは方程式が多様体ではない代数集合を定義するか、多様体の次元が 1 ではないか、または座標変換が必要であることを意味します。後者のケースは、f が存在し、一意であり、i = 3, ..., nに対して、先頭の単項式がx ₁、x ₂およびx _iのみに依存する多項式が存在する場合に発生します。

代数曲線の研究は、既約代数曲線の研究に帰着します。既約代数曲線とは、2つのより小さな曲線の和集合として表すことができない曲線のことです。双有理同値を除いて、体F上の既約曲線は、 F上の1変数代数関数体と圏論的に同値です。このような代数関数体とは、 F上の超越元xを含むFの体拡大Kであり、KはF ( x )の有限代数拡大です。F(x)は、 F上の不定元xに関する有理関数体です。 

例えば、複素数の体Cを考えてみましょう。この体上で、C の有理関数の体 C(x) を定義できます。y² = x³ - x - 1の場合、体C ( ^x , y )は楕円関数体です。要素xは一意^に決定されません。この体は、例えばC ( y ) の拡張とみなすこともできます。関数体に対応する代数曲線は、y² = ^{x³ -} x - 1^を満たすC²の点 ( x , y )の集合です。   

体Fが代数的に閉じていない場合、関数体の観点は、例えば点を持たない「曲線」も含むため、点の軌跡を考える観点よりも少し一般的になります。例えば、基底体Fが実数体Rである場合、 x ² + y ² = −1はR ( x )の代数的拡大体を定義しますが、 R ²の部分集合として考えられる対応する曲線には点がありません。方程式x ² + y ² = −1は、スキームの意味でのR上の既約代数曲線( R上の有限型の、分離した一次元スキーム) を定義します。この意味で、 F上の既約代数曲線 (双有理同値を除いて) とF上の一変数代数関数体との間の一対一対応は一般に成り立ちます。

2つの曲線は、曲線としては同型でなくても、双有理的に同値（すなわち、関数体が同型）である場合がある。特異点を持たない非特異曲線を扱う場合、状況はより単純になる。体上の2つの非特異射影曲線は、それらの関数体が同型である場合に限り同型である。

ツェンの定理は、代数的に閉じた体上の代数曲線の関数体に関するものである。

複素射影代数曲線は、n次元複素射影空間CP ⁿに存在します。これは複素次元がnですが、実多様体と同様に位相次元は2 nであり、コンパクトで連結かつ向き付け可能です。C上の代数曲線も同様に位相次元が 2 です。言い換えれば、それは曲面です。

この曲面の位相的種数、すなわちハンドルまたはドーナツホールの数とは、代数的手段で計算できる代数曲線の幾何学的種数に等しい。簡単に言えば、次数がdで通常の特異点 (異なる接線を持つ多重度 2 の特異点) のみを持つ非特異曲線の平面投影を考えると、種数は( d − 1)( d − 2)/2 − kとなる。ここでkはこれらの特異点の数である。

接空間の本質的な概念を用いると、代数曲線C上の点Pは、滑らか(同義:非特異) または特異点に分類されます。n + 1 個の変数に関するn − 1 個の同次多項式が与えられた場合、偏微分の( n − 1) × ( n + 1) 行列としてヤコビ行列を求めることができます。この行列のランクがn − 1 であれば、多項式は代数曲線を定義します (そうでなければ、より高次元の代数多様体を定義します)。曲線上の点Pでヤコビ行列を評価したときにランクがn − 1 のままであれば、その点は滑らかまたは正則な点であり、そうでなければ特異点です。特に、曲線が単一の同次多項式方程式f ( x , y , z ) = 0 で定義される平面射影代数曲線である場合、特異点は1×( n + 1) 行列のランクがゼロとなる点Pであり、すなわち、                $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0.}$$

fは多項式であるため、この定義は純粋に代数的なものであり、体Fの性質（特に実数や複素数である必要はない）について何ら仮定を置いていません。もちろん、(0,0,0)は曲線上の点ではなく、したがって特異点ではないことを思い出すべきです。

同様に、単一の多項式方程式f ( x , y ) = 0で定義されるアフィン代数曲線の場合 、特異点は、 1× nヤコビ行列のランクがゼロとなる曲線の点P であり、すなわち、

$${\displaystyle f(P)={\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)=0.}$$

曲線の特異点は双有理不変量ではありません。しかし、曲線の特異点の位置を特定し分類することは、双有理不変量である種数を計算する一つの方法です。この方法が有効となるためには、曲線を射影的に考え、Fが代数的に閉じていることを要求し、曲線に属するすべての特異点を考慮する必要があります。

特異点の分類

特異点には、曲線が自身と交差する複数の点や、さまざまなタイプの尖点が含まれます。たとえば、(0,0) で方程式x ³  = y ^{2で表される曲線で示される尖点などです。}

曲線C は、最大で有限個の特異点を持つ。特異点を持たない場合、滑らかな曲線または非特異曲線と呼ばれる。一般的に、この定義は代数的に閉じた体上で、射影空間（すなわち、代数幾何学の意味で完備な空間）内の曲線Cに対して理解される。例えば、方程式の平面曲線は、${\displaystyle y-x^{3}=0}$無限遠に特異点（尖点）を持つため、特異であるとみなされる。

この節の残りの部分では、二変数多項式f ( x , y )の零点集合として定義される平面曲線Cを考察する。結果の一部は非平面曲線にも一般化できるが、すべてではない。

特異点はいくつかの不変量に​​よって分類されます。多重度mは、 fのm – 1 次までのすべての階の導関数がゼロになる最大の整数として定義されます(また 、曲線と直線がPで交わる最小の数でもあります)。直感的に、特異点は δ は、通常の二重点δ をPに集中させる場合、不変量δ。これを厳密にするために、ブローアッププロセスは、いわゆる無限に近い点mをそれらの重複度として、無限に近い点についてm ( m −1)/2合計するとδ。既約かつ縮約された曲線と点Pに対して、 δ を代数的に長さとして定義できます。  ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}/{\mathcal {O}}_{P}}$どこ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{P}}$Pのローカルリングであり、${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}}$は、その完全閉包である。^{[ 1 ]}

特異点のミルナー数 μ は、半径 ε の小球上の写像 grad f ( x , y ) / |grad f ( x , y )| の次数であり、連続写像の位相次数という意味で定義されます。ここで、grad fはfの(複素) 勾配ベクトル場です。 これは、ミルナー-ユングの公式によってδ とrに関連付けられています。

μ = 2δ − r + 1。

ここで、 Pの分岐数rは、 Pにおける局所的に既約な分岐の数です。例えば、通常の尖点ではr = 1、通常の二重点ではr = 2 です。多重度mは少なくともrであり、Pが特異であるのはmが少なくとも 2 の場合のみです。さらに、δ は少なくともm ( m -1)/2 です。

すべての特異点のデルタ不変量を計算すると、曲線の種数gを決定できます。dが次数である場合、

$${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},}$$

ここで、和は複素射影平面曲線のすべての特異点Pについて取られる。これは種数公式と呼ばれる。

特異点に不変量 [ m , δ, r ] を割り当てます。ここで、 mは多重度、δ はデルタ不変量、rは分岐数です。すると、通常の尖点は不変量 [2,1,1] を持つ点となり、通常の二重点は不変量 [2,1,2] を持つ点となり、通常のm多重点は不変量 [ m , m ( m  −  1)/2, m ]を持つ点となります。

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