代数幾何学と解析幾何学

数学において、代数幾何学と解析幾何学は密接に関連した2つの分野です。代数幾何学が代数多様体を研究するのに対し、解析幾何学は複素多様体と、複数の複素変数の解析関数の消滅によって局所的に定義されるより一般的な解析空間を扱います。これらの分野間の深い関係により、代数的手法が解析空間に、解析的手法が代数多様体に適用された数多くの応用が生まれています。

X を射影複素代数多様体とする。Xは複素多様体なので、その複素点の集合X ( C ) はコンパクトな複素解析空間の構造を持つことができる。この解析空間はX ^{an と}表記される。同様に、がX上の層である場合、 X ^an上に対応する層が存在する。この解析対象と代数対象との関連は関手である。XとX anに関する原型定理によれば^、X上の任意の 2 つの連接層とに対して、自然な準同型性: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\text{an}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\rightarrow {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}({\mathcal {F}}^{\text{an}},{\mathcal {G}}^{\text{an}})}$

は同型です。ここで は代数多様体Xの構造層であり、は解析多様体X ^anの構造層です。より正確には、代数多様体X上の連接層のカテゴリは解析多様体X ^an上の解析連接層のカテゴリと同値であり、同値性はへの写像によってオブジェクトに与えられます。(特に自体が連接であることに注目してください。これはOka の連接定理として知られています^[1]。また、代数多様体 の構造層が連接であることが「Faisceaux Algebriques Coherents」 ^[2]で証明されました。^[3]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\text{an}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

もう一つの重要な主張は次の通りである。代数多様体X上の任意の連接層に対して、準同型 写像${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{q}\ :\ H^{q}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{q}(X^{an},{\mathcal {F}}^{an})}$

はすべてのqに対して同型です。これは、 X上のq番目のコホモロジー群がX上のコホモロジー群^anに同型であることを意味します。

この定理は、上で述べたよりもはるかに一般的に適用されます (以下の正式な記述を参照)。この定理とその証明は、Chow の定理、Lefschetz の原理、小平消失定理など、多くの帰結をもたらします。

代数多様体は局所的に多項式の共通零点集合として定義され、複素数上の多項式は正則関数であるため、C上の代数多様体は解析空間として解釈できます。同様に、多様体間の正則射は解析空間間の正則写像として解釈されます。やや驚くべきことに、解析対象を代数的に解釈するために、逆のことが可能な場合がよくあります。

たとえば、リーマン球面からそれ自身への解析関数が有理関数か同一無限大関数（リウヴィルの定理の拡張）のいずれかであることは簡単に証明できます。そのような関数fが定数でない場合、f(z)が無限大となるzの集合は孤立しており、リーマン球面はコンパクトであるため、 f(z)が無限大となるz は有限個存在します 。そのようなすべてのzでのローラン展開を考え、特異部を減算すると、 Cに値を持つリーマン球面上の関数が残り、リウヴィルの定理により定数になります。したがって、f は有理関数です。この事実は、代数多様体としての複素射影直線と、リーマン球面としての複素射影直線との間に本質的な違いがないことを示しています。

代数幾何学と解析幾何学の比較結果には、19 世紀以来の長い歴史があります。ここでは、いくつかの重要な進歩を年代順に挙げます。

リーマン面理論は、コンパクトなリーマン面には十分な数の有理型関数が存在し、それが（滑らかな射影的）代数曲線になることを示している。リーマンの存在定理^{[4] [5] [6] [7]}という名前で、コンパクトなリーマン面の分岐被覆に関するより深い結果が知られていた。位相空間などの有限被覆は、分岐点の補集合の基本群の置換表現によって分類される。リーマン面の性質は局所的であるため、そのような被覆は複素解析的な意味での被覆であることが非常に簡単にわかる。すると、それらは代数曲線の被覆写像から得られる、つまり、そのような被覆はすべて関数体の有限拡大から得られると結論付けることができる。

20世紀には、ソロモン・レフシェッツにちなんで名付けられたレフシェッツ原理が代数幾何学で引用され、Kを複素数体であるかのように扱うことで、任意の標数0の代数閉体K上の代数幾何学に対する位相的手法の使用を正当化した。この原理の基本的な形式は、 Cに関する第1階の体論の正しい記述が、標数0の任意の代数閉体Kに対して真であると主張している。正確な原理とその証明はアルフレッド・タルスキによるもので、数理論理学に基づいている。^{[8] [9] [10]}

この原理により、 C上の代数多様体に対する解析的あるいは位相的手法を用いて得られた結果のいくつかを、特性0の他の代数的に閉じた基底体にも持ち込むことができる。 （例えば、小平型消失定理^[11]）

ウェイ・リャン・チョウによって証明されたチョウ（1949）は、利用可能な比較の中で最もすぐに役立つ例である。これは、（通常の位相的な意味で）閉じている複素射影空間の解析的部分空間は代数的部分多様体である、と述べている。^{[12]これは、「}強位相で閉じている複素射影空間の解析的部分空間は、すべてザリスキ位相で閉じている」と言い換えることができる。これにより、代数幾何学の古典的な部分で複素解析的手法を自由に使用できるようになる。

2つの理論間の多くの関係の基礎は、1950年代前半に、例えばホッジ理論の技法を含む代数幾何学の基礎を築く作業の一環として整えられました。理論を統合した主要な論文は、ジャン＝ピエール・セールによるGéometrie Algébrique et Géométrie Analytiqueであり、^{[13]現在では一般に}GAGAと呼ばれています。この論文では、代数多様体、正則射、層のクラスを解析空間、正則写像、層のクラスに関連付ける一般的な結果が証明されています。この論文では、これらすべてが層のカテゴリの比較に還元されています。

現在では、 GAGA スタイルの結果という語句は、あらゆる比較定理に使用され、代数幾何学のオブジェクトのカテゴリとその射から、解析幾何学のオブジェクトと正則写像の明確に定義されたサブカテゴリへの移行を可能にしています。

1. をC上の有限型のスキームとします。すると、 Xの閉点の集合として連続包含写像 λ _X : X ^an → X を持つ位相空間X ^{anが存在します。} X ^an上の位相は「複素位相」と呼ばれます (部分空間位相とは非常に異なります)。${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$
2. φ: X → Y がC上の局所有限型のスキームの射であると仮定します。このとき、λ _Y ∘ φ ^an = φ ∘ λ _Xとなる連続写像 φ ^an : X ^an → Y ^anが存在します。
3. X ^an上には環空間となる層があり、λ _X : X ^an → X は環空間の写像となる。この空間はの「解析化」と呼ばれ、解析空間である。任意の φ: X → Yに対して、上で定義した写像 φ ^{an は解析空間}の写像である。さらに、写像 φ ↦ φ ^anは開浸漬を開浸漬に写像する。X = Spec( C [ x ₁ ,..., x _n ])の場合、 X ^an = C ⁿであり、任意の多円板Uに対して、 U上の正則関数の空間の適切な商である。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }(U)}$
4. X上の任意の層（代数層と呼ばれる）に対して、X上の層^an （解析層と呼ばれる）と- 加群の層の写像が存在する。層はとして定義される。対応は、層のカテゴリから の層のカテゴリへの正確な関数を定義する。次の 2 つのステートメントは、セールの GAGA 定理^{[14] [15]}の核心である（アレクサンダー・グロタンディーク、アムノン・ニーマンらによって拡張された）。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \lambda _{X}^{*}:{\mathcal {F}}\rightarrow (\lambda _{X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$${\displaystyle \lambda _{X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _{\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$
   
5. f : X → YがC上の有限型のスキームの任意の射であり、一貫性がある場合、自然写像は単射である。f が固有である場合、この写像は同型である。この場合、すべての高次の直接像層の同型も存在する。 ^[16]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$${\displaystyle (R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$
6. ここで、 X ^{an が}ハウスドルフかつコンパクトであると仮定します。 が上の 2 つの連接代数層であり、 が- 加群の層の写像である場合、を満たす- 加群の層の唯一の写像が存在します。 がX ^an上の - 加群の連接解析層である場合、 - 加群の連接代数層と同型 が存在します。${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle f\colon {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an} }}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \varphi :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$${\displaystyle f=\varphi ^{\mathrm {an} }}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}}$

GAGA 定理は、一般性はやや劣るが、複素射影多様体X上の連接代数層のカテゴリと、対応する解析空間X ^an上の連接解析層のカテゴリは同値であると主張している。解析空間X ^{an は、座標チャートを介して}C ⁿから複素構造をXに引き戻すことで大まかに得られる。確かに、この方法で定理を言い表すと、上記の形式的な記述で頻繁に使用される完全なスキーム理論言語が GAGA の出版時点ではまだ発明されていなかったことを考えると、精神的にはセールの論文に近い。

• 平坦な加群- 平坦性の概念はセール（1956）によって導入された。代数的局所環と解析的局所環は同じ完備化を持ち、それによって「平坦なカップル」（カップルプラット）となる。^[17]

• Kiran Kedlaya. 18.726 代数幾何学 (LEC # 30 - 33 GAGA)2009 年春。マサチューセッツ工科大学: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA。