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絶対幾何学は、平行線公準やそれに代わる公理系を除いたユークリッド幾何学の公理系に基づく幾何学である。伝統的に、これはユークリッドの公理系の最初の4つだけを使用することを意味していた。[1]この用語は、1832年にヤノシュ・ボヤイによって導入された。[ 2 ]これは平行線公準に関して中立であるため、中立幾何学と呼ばれることもある。ユークリッドの公理系の最初の4つは、現在ではユークリッド幾何学の基礎としては不十分であると考えられているため、代わりに他のシステム（平行線公理のないヒルベルトの公理など ）が使用されている。 [4]
プロパティ
ユークリッドの『原論』では、最初の28の命題と命題31は平行線公準の使用を避けており、したがって絶対幾何学で有効である。絶対幾何学では、外角定理（三角形の外角は、離れた角のいずれよりも大きい）や、三角形の角度の和は最大で180°であるというサッケリ・ルジャンドルの定理も証明できる。[5]
命題 31 は、与えられた直線上にない点を通る、与えられた直線に平行な直線の構築である。 [6]証明には命題 27 (交互内角定理) のみを使用する必要があるため、絶対幾何学では有効な構築である。より正確には、任意の直線lとl上にない任意の点Pが与えられた場合、 Pを通りlに平行な直線が少なくとも1 本存在する。これは、よく知られた構築を使用して証明できる。直線lとl上にない点Pが与えられた場合、 Pからlに垂線m を下ろし、次にP を通ってmに垂線n を立てる。交互内角定理により、l はnに平行である。(交互内角定理は、直線aとbが交差線tによって切断され、2 つの一致する交互内角が存在する場合、aとb は平行であると述べている。) 前述の構築と交互内角定理は平行公準に依存せず、したがって絶対幾何学では有効である。[7]
絶対幾何学では、同じ直線に垂直な2本の直線は交差できないことも証明可能であり[8] （平行線の定義により2本の直線は平行になる）、サッケリ四辺形の頂点の角が鈍角になることはできず、球面幾何学は絶対幾何学ではないことが証明されます。
他のジオメトリとの関係
絶対幾何学の定理は、ユークリッド幾何学だけでなく、非ユークリッド幾何学である双曲幾何学でも成り立つ。[9]
絶対幾何学は楕円幾何学と矛盾している。その理論では平行線は全く存在しないが、平行線が存在するというのは絶対幾何学の定理である。しかし、公理系を修正して、修正されたシステムによって定義される絶対幾何学に、平行線を持たない球面幾何学や楕円幾何学が含まれるようにすることは可能である。[10]
絶対幾何学は順序幾何学の拡張であり、したがって順序幾何学のすべての定理は絶対幾何学でも成り立つ。逆は真ではない。絶対幾何学はユークリッドの公理の最初の4つ（またはそれと同等のもの）を前提としているが、アフィン幾何学はユークリッドの3番目と4番目の公理を前提としていない。（3：「任意の中心と距離の半径を持つ円を描く。」、4：「すべての直角は互いに等しい。」）順序幾何学は絶対幾何学とアフィン幾何学の共通の基礎である。[11]
特殊相対性理論の幾何学は、絶対幾何学の9つの公理と11の命題から発展してきました。[12] [13]著者のエドウィン・B・ウィルソンとギルバート・N・ルイスは、2つの参照フレームを関連付ける変換として双曲回転を導入し、絶対幾何学の枠を超えました。
ヒルベルト平面
ヒルベルトの入射公理、媒介公理、合同公理を満たす平面はヒルベルト平面と呼ばれる。[14]ヒルベルト平面は絶対幾何学のモデルである。[15]
不完全さ
絶対幾何学は、公理系に矛盾を生じさせることなく追加の独立した公理を追加できるという意味で、不完全な 公理系です。平行線に関するさまざまな公理を追加することで絶対幾何学を拡張し、相互に互換性はないが内部的に一貫性のある公理系を得ることができ、ユークリッド幾何学または双曲幾何学が生じます。したがって、絶対幾何学のすべての定理は、双曲幾何学およびユークリッド幾何学の定理です。ただし、逆は真ではありません。
参照
注記
- ^ フェイバー 1983、131 ページ
- ^ 「空間の絶対科学を示す付録：ユークリッドの公理 XI の真偽とは無関係（決して以前に決定されたものではない）」（Faber 1983、161 ページ）
- ^ グリーンバーグは、ユークリッドの平行線公準に依存しないユークリッド幾何学の部分を指すのに中立幾何学という用語を使用したとして、W. プレノウィッツと M. ジョーダン (グリーンバーグ、p. xvi) を引用しています。彼は、絶対幾何学における絶対という言葉は、他のすべての幾何学がそれに依存すると誤解を招く意味を持つと述べています。
- ^ フェイバー 1983、131 ページ
- ^ 絶対幾何学と楕円幾何学の間には互換性がないことがわかります。後者の理論では、すべての三角形の角度の合計が 180° を超えるからです。
- ^ フェイバー 1983、296 ページ
- ^ グリーンバーグ 2007、163 ページ
- ^ Fine et al. 2022、系1.8、p.11。
- ^ 実際、絶対幾何学は、双曲幾何学とユークリッド幾何学を命題の集合として捉えた場合、それらの交差である。
- ^ エワルド、G.（1971）、幾何学入門、ワズワース
- ^ コクセター 1969、175～176 ページ
- ^ エドウィン・B・ウィルソン&ギルバート・N・ルイス(1912)「相対性理論の時空多様体。力学と電磁気学の非ユークリッド幾何学」アメリカ芸術科学アカデミー紀要48:387–507
- ^ [1]、ウィルソンとルイスが使用した公理と証明した定理のダイジェスト。Wayback Machineにアーカイブされています。
- ^ ハーツホーン 2005、p.97
- ^ グリーンバーグ 2010、p.200
参考文献
- コクセター、HSM（1969）、幾何学入門（第2版）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ
- フェイバー、リチャード L. (1983)、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の基礎、ニューヨーク: マルセル デッカー、ISBN 0-8247-1748-1
- いいよ、ベンジャミン。モルデンハウアー、アンニャ。ローゼンバーガー、ゲルハルト。シューレンベルク、アニカ。 Wienke, Leonard (2022)、幾何学と離散数学: ハイライトのセレクション、De Gruyter Textbooks (第 2 版)、Walter de Gruyter、ISBN 9783110740783
- グリーンバーグ、マーヴィン・ジェイ（2007年）、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学：発展と歴史（第4版）、ニューヨーク：WHフリーマン、ISBN 0-7167-9948-0
- グリーンバーグ、マーヴィン・ジェイ（2010）「初等平面ユークリッド幾何学および非ユークリッド幾何学の基礎に関する新旧の結果」（PDF）、アメリカ数学会月刊誌、117：198-219
- ハーツホーン、ロビン（2005）、幾何学：ユークリッドとその先、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-98650-2
- Pambuccain, Victor双曲幾何学と絶対幾何学の公理化、非ユークリッド幾何学（A. Prékopa および E. Molnár 編）。János Bolyai 記念号。国際双曲幾何学会議論文集、ハンガリー、ブダペスト、2002 年 7 月 6 ～ 12 日。ニューヨーク、NY: Springer、119 ～ 153、2006 年。
外部リンク
ウィキメディア・コモンズの絶対幾何学に関連するメディア- Weisstein、Eric W.「絶対幾何学」。MathWorld。