立方体を2倍にする

立方体の倍増問題（デロス問題とも呼ばれる）^は、古代の幾何学の問題である^{。立方体の辺}の長さが与えられたとき、この問題では^、最初の立方体の体積の^{2倍の体積を}持つ2番目の立方体の辺の長さを作図する必要がある。円積問題や角の三等分問題といった関連問題と同様に、立方体の倍増問題はコンパスと定規だけを使って作図することは不可能であることが現在では知られているが、古代においても他の方法を用いた解法が知られていた。

エウトキオスによれば、アルキタスは独創的な幾何学的作図によって立方体の倍増問題を最初に解決した。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}コンパスと定規による解法が存在しないことは、1837年にピエール・ワンツェルによって最終的に証明された。

代数的に言えば、単位立方体を2倍にするには、長さxの線分を作図する必要がある。ここでx ³ = 2である。言い換えれば、x =$\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$2の立方根。これは、辺の長さが1の立方体の体積が1/3 = 1であり、その2倍の体積（体積が2）の立方体の辺の長さが2の立方根となるためです。したがって、^立方体を2倍にすることは不可能であり、次の記述と同等です。$\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$は構成可能な数ではありません。これは、コンパスと定規で構成された新しい点の座標が、以前の点の座標によって生成される体上の多項式の根であり、次数が2次以下のものであるという事実の結果です。これは、構成可能な点によって生成される体の拡張の次数が2のべき乗でなければならないことを意味します。$\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$しかし、は次数3である。

平面上の点(0,0) と (1,0)で定義される単位線分から始めます。距離 で隔てられた 2 つの点で定義される線分を構築する必要があります。$\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$コンパスと定規を使った作図では、このような線分を自由に移動させて原点に接触させ、単位線分と平行にすることができることが容易に示せるので、同様に、(0,0) から ($\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$、0) は、点 ($\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$、0）。

それぞれ、コンパスと定規の道具を使うことで、あらかじめ定義された1点を中心として別の点を通る円を描いたり、あらかじめ定義された2点を通る直線を描いたりすることができます。新たに定義される点は、そのような2つの円の交点、円と直線の交点、または2つの直線の交点のいずれかによって生じます。初等解析幾何学の演習により、これら3つの場合すべてにおいて、新たに定義された点のx座標とy座標は、係数があらかじめ定義された点の座標（および有理数）を含む加算、減算、乗算、除算である、次数が2以下の多項式を満たすことがわかります。より抽象的な用語で言い換えると、新しいx座標とy座標は、部分体上で次数が最大2の最小多項式を持ちます。${\displaystyle \mathbb {R} }$前の座標によって生成される。したがって、各新しい座標に対応する場の拡張の次数は2または1である。

したがって、任意の構成点の座標が与えられた場合、点が定義された順序で点のx座標とy座標を帰納的に遡って、元の点のペア (0,0) と (1,0) に到達するまで進めることができます。すべての体拡張は次数が 2 または 1 であり、体拡張は${\displaystyle \mathbb {Q} }$元の点のペアの座標の次数が明らかに1であることから、タワールールから、上のフィールド拡張の次数は${\displaystyle \mathbb {Q} }$構築された点の任意の座標の は2 のべき乗です。

さて、p ( x ) = x³ - 2 = 0は、容易に既約であることが分かる^。${\displaystyle \mathbb {Z} }$– どのような因数分解でも、ある線形因子( x − k )が含まれることになる${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$したがって、k はp ( x )の根でなければなりません。しかし、k は2 を割り切る必要もあります (有理根定理より)。つまり、k = 1、2、-1、または-2であり、これらはいずれもp ( x )の根ではありません。ガウスの補題により、p ( x )は 上でも既約です。${\displaystyle \mathbb {Q} }$したがって、は上の最小多項式である。${\displaystyle \mathbb {Q} }$のために$\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$. フィールド拡張${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} }$したがって、次数は3である。しかし、これは2のべき乗ではないので、上記より：

• $\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$は構築可能な点の座標ではないので、
• 線分$\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$定規とコンパスでは作図できず、
• 定規とコンパスだけを使って立方体を2倍にすることはできない。

この問題の名前は、アポロンが送った疫病をどう退治するかを知るためにデルフォイの神託所に尋ねたデロス島の住民に関する物語に由来する。^{[ 5 ] [ 1 ]： 9}プルタルコスによれば、^{[ 6 ]}デロス島の住民は、当時、住民間の関係を悪化させていた内部の政治的問題の解決策を見つけるためにデルフォイの神託所に尋ねた。神託は、正立方体であるアポロンの祭壇の大きさを2倍にしなければならないと答えた。この答えはデロス島の住民には奇妙に思えたので、彼らはプラトンに相談した。プラトンは、神託を与えられた立方体の体積を2倍にするという数学の問題として解釈することができ、こうして神託は、デロス島の住民が情熱を鎮めるために幾何学と数学の研究に専念するようにというアポロンの助言であると説明した。^{[ 7 ]}

プルタルコスによれば、プラトンはこの問題をエウドクソス、アルキタス、メナエクモスに与え、彼らは機械的な手段を用いて問題を解決したが、純粋な幾何学を用いて問題を解決しなかったとしてプラトンから叱責を受けた。^{[ 8 ]}これが、紀元前350年代に偽プラトン的シシュポス（388e）の著者がこの問題を未解決のまま言及している理由かもしれない。^{[ 9 ]}しかし、この話の別のバージョン（アスカロンのエウトキオスがエラトステネスに帰属させたもの）では、3人全員が解決策を見つけたが、それらは抽象的すぎて実用的な価値がなかったとされている。^{[ 10 ]}

この問題の解決策を見つける上で重要な進展は、キオス島のヒポクラテスが、線分と長さが2倍の別の線分との間の2つの幾何平均比例関係を見つけることと同等であることを発見したことである。 ^{[ 11 ]}現代の表記法では、これは長さaと2 aの線分が与えられた場合、立方体の複製は、長さrとsの線分を見つけることと同等であることを意味する。

${\displaystyle {\frac {a}{r}}={\frac {r}{s}}={\frac {s}{2a}}.}$

つまり、

${\displaystyle r=a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}.}$

しかし、ピエール・ワンツェルは1837年に2の立方根は作図不可能であることを証明した。つまり、定規とコンパスでは作図できないということである。^{[ 12 ]}

メナエクモスの元の解法は、2 つの円錐曲線の交点に関するものでした。立方体を倍にする他のより複雑な方法としては、ネウシス、ディオクレスのシッソイド、ニコメデスのコンコイド、またはフィロン線などがあります。古代ギリシャの恐らく女性の数学者であるパンドロシオンは、3 次元の平面を使用して数値的に正確な近似解を見つけましたが、適切な数学的証明を提供していないとしてアレクサンドリアのパップスから激しく批判されました。^{[ 13 ]}紀元前 4 世紀にアルキタスは、3 つの回転面の交点として特定の点を決定する 3 次元の幾何学的構成を使用して問題を解決しました。

デカルトの幾何学的方程式解法では、放物線を用いて三次方程式を導入し、その解が2の立方根となる方程式を立てることが可能である。ただし、放物線自体は三次元的な方法以外では作図できないことに注意が必要である。

コンパスと定規を使って立方体を倍にできるという誤った主張は、数学の奇抜な文献（疑似数学）に数多く見られる。

折り紙は、紙を折ることによって2の立方根を作るためにも使用できます。

目盛りの付いた定規を使用する

長さが別の長さの2倍の立方根である目盛りの付いた定規を使用した簡単なニューシス作図法がある。 ^{[ 14 ]}

1. 指定された長さで定規に印を付けます。これが最終的にGHになります。
2. 与えられた長さを各辺とする正三角形ABCを作図しなさい。
3. 線分ABをDまで同じ長さだけ延長する。
4. 線分BCを延長して線分CEを作る。
5. 線分DCを延長して線分CFを形成する。
6. 目盛りの付いた定規を点Aを通るように置き、目盛りの付いた長さの一方の端Gが半直線CF上に、もう一方の端Hが半直線CE上に来るようにします。したがって、GHが与えられた長さです。

するとAGは与えられた長さ×$\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$。

音楽理論において、倍音化の自然な類似物はオクターブ（音の周波数を倍にすることによって生じる音程）であり、立方体の自然な類似物はオクターブを3つの部分に分割し、それぞれを同じ音程にすることです。この意味で、立方体を倍にする問題は、平均律の長3度によって解決されます。これはオクターブのちょうど3分の1である音程です。音の周波数を倍にすることで、${\displaystyle 2^{4/12}=2^{1/3}={\sqrt[{3}]{2}}}$デロスキューブの一辺の長さ。^{[ 15 ]}

• Frédéric Beatrix、Peter Katzlinger:デロス問題に対するかなり正確な解法。Parabola第59巻（2023年）第1号、ニューサウスウェールズ大学数学統計学部発行のオンライン雑誌（ISSN 1446-9723）
• 立方体を倍増し、近接構築をアニメーションとして表現（一辺の長さ＝1.259921049894873） —ウィキメディア・コモンズ
• 「立方体の複製」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• 立方体の倍数化。JJ オコナーとEF ロバートソンによる論文（MacTutor 数学史アーカイブ所蔵）。
• 立方体の倍数を求める―アルキタスの解法。サー・トーマス・ヒース著『ギリシア数学史』からの抜粋。
• デロス島問題は解決した。いや、本当に解決したのだろうか？ （ cut-the-knotにて）
• Mathologerの動画：「2000年間未解決：なぜ立方体の倍数計算と円積計算は不可能なのか？」