クロージャ演算子

数学において、集合S上の閉包作用素とは、 Sの冪集合からそれ自身への関数であり、すべての集合に対して以下の条件を満たす。 ${\displaystyle \operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(S)\rightarrow {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle X,Y\subseteq S}$

閉包演算子は、その閉集合、すなわち cl( X )の形式の集合によって決定されます。これは、集合Xの閉包cl( X ) が、 X を含む最小の閉集合であるためです。このような「閉集合」の族は、閉包システムまたは「ムーア族」と呼ばれることがあります。^[1]閉包演算子を伴う集合は、閉包空間と呼ばれることがあります。閉包演算子は「包演算子」とも呼ばれ、位相幾何学で研究される「閉包演算子」との混同を防ぎます。

EH ムーアは1910年に著した『一般解析学入門』で閉包作用素について研究したが、部分集合の閉包の概念は位相空間に関連したフリジェシュ・リースの研究に端を発している。 ^[2]当時は定式化されていなかったものの、閉包の考え方は19世紀後半にエルンスト・シュレーダー、リヒャルト・デデキント、ゲオルク・カントールの顕著な貢献によって生まれた。^[3]

位相幾何学からの通常の集合閉包は閉包演算子です。他の例としては、ベクトル空間のサブセットの線型範囲、ベクトル空間のサブセットの凸包またはアフィン包、関数 の下半連続包などがあります。ここで は、たとえば暗黙的に定義されたノルム空間で、関数 のエピグラフです。 ${\displaystyle {\overline {f}}}$${\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \operatorname {epi} ({\overline {f}})={\overline {\operatorname {epi} (f)}}}$${\displaystyle \operatorname {epi} (f)}$${\displaystyle f}$

相対内部は閉包演算子ではありません。相対内部 は冪等ではありますが、増加しません。また、が の立方体でがその面の1つである場合、 となりますが、 であり、であるため、増加しません。^[4]${\displaystyle \operatorname {ri} }$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle C_{2}\subset C_{1}}$${\displaystyle \operatorname {ri} (C_{1})\neq \emptyset \neq \operatorname {ri} (C_{2})}$${\displaystyle \operatorname {ri} (C_{1})\cap \operatorname {ri} (C_{2})=\emptyset }$

位相幾何学において、閉包演算子は位相閉包演算子であり、次の式を満たす必要がある。

${\displaystyle \operatorname {cl} (X_{1}\cup \dots \cup X_{n})=\operatorname {cl} (X_{1})\cup \dots \cup \operatorname {cl} (X_{n})}$

すべてに対して(この場合、 となることに注意してください)。 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle \operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing }$

代数学と論理学では、多くの閉包演算子は有限閉包演算子である。つまり、それらは

${\displaystyle \operatorname {cl} (X)=\bigcup \left\{\operatorname {cl} (Y):Y\subseteq X{\text{ and }}Y{\text{ finite}}\right\}.}$

理論計算機科学において重要な半順序集合の理論では、閉包演算子はを に置き換えるより一般的な定義を持ちます。(§ 半順序集合の閉包演算子を参照してください。) ${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \leq }$

位相空間の部分集合Xの位相閉包は、空間のすべての点yから構成され、 yのすべての近傍にはXの点が含まれます。すべての部分集合Xにその閉包を関連付ける関数は、位相閉包演算子です。逆に、集合上のすべての位相閉包演算子は、その閉集合が閉包演算子に関してまさにその閉集合である位相空間を生み出します。

有限閉包演算子は普遍代数において比較的重要な役割を果たしており、この文脈では伝統的に代数閉包演算子と呼ばれています。代数 のすべての部分集合は部分代数、つまりその集合を含む最小の部分代数を生成します。これにより有限閉包演算子が生成されます。

おそらく、この最もよく知られている例は、与えられたベクトル空間のすべての部分集合にその線型範囲を関連付ける関数です。同様に、与えられた群のすべての部分集合にそれによって生成される部分群を関連付ける関数、および体やその他のすべてのタイプの代数構造についても同様です。

ベクトル空間の線型範囲と、体における同様の代数的閉包は、どちらも交換特性を満たします。つまり、x がAと { y }の和集合の閉包に含まれるが、 Aの閉包には含まれない場合、y はAと { x }の和集合の閉包に含まれます。この特性を持つ有限閉包演算子はマトロイドと呼ばれます。ベクトル空間の次元、または体 (その素体上) の超越次数は、対応するマトロイドの階数とまったく同じです。

与えられた体のすべての部分集合をその代数的閉包に写像する関数も有限閉包演算子であり、一般には前述の演算子とは異なります。これら 2 つの演算子を一般化する有限閉包演算子は、モデル理論ではdcl (定義可能閉包) および acl (代数的閉包) として研究されています。

n次元ユークリッド空間の凸包は、有限閉包演算子の別の例です。これは、反交換特性を満たします。つまり、x が{ y } とAの和集合の閉包に含まれるが、 { y } とAの和集合の閉包には含まれない場合、y は{ x } とAの和集合の閉包には含まれません。この特性を持つ有限閉包演算子は、反マトロイドを生じます。

代数で使用される閉包演算子の別の例として、ある代数が宇宙Aを持ち、XがAのペアの集合である場合、 Xを含む最小の合同をXに割り当てる演算子はA x A上の有限閉包演算子です。^[5]

与えられた式から新しい式を導出できる規則を含む論理形式があるとします。すべての可能な式の集合F を考え、P をFのべき集合で、⊆ で順序付けられているとします。式の集合Xについて、 cl( X ) をXから導出できるすべての式の集合とします。この場合、 cl はP上の閉包演算子です。より正確には、 cl は次のようにして得られます。すべての有向クラスTに対して、 次の式が成り立つ演算子J を「連続」と呼びます。

J (lim T ) = lim J ( T ) です。

この連続条件は、 Jの不動点定理に基づいています。単調論理のワンステップ演算子J を考えてみましょう。これは、任意の式の集合X を、論理公理であるか、 X内の式からの推論規則によって得られるか、 X内にある式の集合J ( X ) に関連付ける演算子です。この場合、このような演算子は連続しており、 cl( X ) をJがX以上の場合の最小の不動点として定義できます。このような観点に従って、Tarski、Brown、Suszko およびその他の著者は、閉包演算子理論に基づく論理への一般的なアプローチを提案しました。また、このようなアイデアは、プログラミング論理 (Lloyd 1987 を参照) およびファジー論理(Gerla 2000 を参照) でも提案されています。

1930 年頃、アルフレッド タルスキは、論理計算のいくつかの特性をモデル化する論理演繹の抽象理論を展開しました。数学的には、彼が記述したのは、集合 (文の集合) 上の有限閉包演算子にすぎません。抽象代数論理では、有限閉包演算子は、タルスキが考案した結果演算子という名前で今でも研究されています。集合Sは文の集合、SのサブセットTは理論、cl( T ) は理論から導かれるすべての文の集合です。今日では、この用語は有限である必要のない閉包演算子を指すこともあり、有限閉包演算子は有限結果演算子と呼ばれることもあります。

S上の閉包作用素に関する閉集合は、冪集合P ( S )の部分集合C を形成する。 C内の集合の任意の交差は、再びCに含まれる。言い換えれば、C はP ( S )の完全な交わり部分集合である。逆に、C ⊆ P ( S ) が任意の交差に関して閉じている場合、 Sのすべての部分集合Xに、 X ⊆ Yとなる最小の集合Y ∈ Cを関連付ける関数は閉包作用素である。

与えられた閉包演算子のすべての閉集合を生成するためのシンプルで高速なアルゴリズムがある。^[6]

集合上の閉包作用素が位相的であるためには、閉集合の集合が有限和に関して閉じている必要がある。つまり、C はP ( S )のmeet-complete部分格子である。位相的でない閉包作用素の場合でも、C は格子の構造を持つとみなすことができる。(2 つの集合X , Y ⊆ P ( S )の結合はcl( X Y ) である。) しかし、その場合、C は格子P ( S ) の部分格子ではない。 ${\displaystyle \cup }$

集合上の有限閉包作用素が与えられた場合、有限集合の閉包は閉集合の集合Cのコンパクト要素とまったく同じです。したがって、 C は代数的半集合になります。Cは格子でもあるため、この文脈では代数的格子と呼ばれることがよくあります。逆に、C が代数的半集合である場合、閉包作用素は有限です。

有限集合S上の各閉包作用素は、その擬似閉集合の像によって一意に決定される。^[7] これらは再帰的に定義される。集合が擬似閉集合であるとは、その集合が閉じておらず、その擬似閉集合のそれぞれの閉包を含む場合である。形式的には、P  ⊆  Sが擬似閉集合であるための必要条件は次の通りで ある。

• P  ≠ cl( P ) であり、
• Q  ⊂  P が擬似閉包であれば、 cl( Q ) ⊆  Pとなる。

半順序集合（poset）は、半順序≤、つまり反射的（a ≤ a）、推移的（a ≤ b ≤ cならばa ≤ c）、反対称的（a ≤ b ≤ aならばa  =  b ）な二項関係を伴う集合です。包含 ⊆ を伴うすべての冪集合P ( S ) は半順序集合です。

半順序Pからそれ自身への関数 cl: P → Pは、 P内のすべての要素x、yに対して次の公理を満たす場合、閉包演算子と呼ばれます。

より簡潔な代替案も存在する。上記の定義は、単一の公理と同等である。

x ≤ cl( y ) であるのは、cl( x ) ≤ cl( y )の場合のみである。

P内のすべてのx、yについて。

半集合間の関数の点ごとの順序を使用すると、拡がり性プロパティを id _P ≤ cl と書くこともできます。ここで id は恒等関数です。増加かつ冪等であるが、拡がり性の双対、つまりk ≤ id _Pを満たす自己写像kは、カーネル演算子^[8]、内部演算子^[9]、または双対閉包^[10]と呼ばれます。例として、A が集合Bのサブセットである場合、 μ _A ( X ) = A ∪ Xで与えられるBの冪集合上の自己写像は閉包演算子であり、λ _A ( X ) = A ∩ Xはカーネル演算子です。実数から実数への天井関数は、すべての実数xにxより小さくない最小の整数を割り当てますが、これは閉包演算子の別の例です。

関数 cl の不動点、つまり cl( c ) =  c を満たすPの要素c は、閉要素と呼ばれます。半順序集合上の閉包演算子は、その閉要素によって決定されます。c が閉要素である場合、 x ≤ cとcl( x ) ≤ cは同等の条件です。

すべてのガロア接続（または剰余写像）は、閉包演算子を生じます（その記事で説明されているように）。実際、すべての閉包演算子は、適切なガロア接続からこのように生じます。^[11]ガロア接続は、閉包演算子によって一意に決定されるわけではありません。閉包演算子 cl を生じる 1 つのガロア接続は、次のように記述できます。A がclに関して閉じた要素の集合である場合、cl: P → A は、 PとA の間のガロア接続の下側随伴であり、上側随伴はAのPへの埋め込みです。さらに、何らかの部分集合のPへの埋め込みのすべての下側随伴は、閉包演算子です。「閉包演算子は埋め込みの下側随伴です。」ただし、すべての埋め込みに下側随伴があるわけではないことに注意してください。

任意の半順序集合P は、 x ≤ yの場合にのみxからyへの単一の射を持つカテゴリと見なすことができます。半順序集合P上の閉包演算子は、カテゴリP上のモナドに他なりません。同様に、閉包演算子は、追加の冪等性と拡張性を持つ半順序集合のカテゴリ上の自己関数子と見なすことができます。

P が完全格子である場合、 Pの部分集合AがP上のある閉包作用素に対する閉じた元の集合となるのは、 A がP上のムーア族である場合、すなわち、 Pの最大の要素がAに含まれ、Aの空でない部分集合の最小値（交わり）もAに含まれる場合に限られます。このような集合A は、それ自体がPから順序を継承した完全格子です（ただし、最大値（結合）演算はPとは異なる場合があります）。P が集合Xの冪集合ブール代数である場合、 P上のムーア族はX上の閉包システムと呼ばれます。

P上の閉包演算子はそれ自体が完全な格子を形成します。閉包演算子の順序は、P内のすべてのxに対してcl ₁ ( x ) ≤ cl ₂ ( x )が成立する場合に限り、 cl ₁ ≤ cl ₂ によって定義されます。

• Čech 閉包演算子 – 閉包演算子Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 閉包（位相）  - 位相空間の部分集合内のすべての点と極限点
• ガロア接続 – 2つの半順序集合間の特定の対応
• 内部代数 – 代数構造
• 内部（位相）  – 与えられた集合の最大の開集合
• クラトフスキー閉包公理 – 数学的概念Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 前閉包演算子 – 閉包演算子

• ギャレット・バーコフ. 1967 (1940).格子理論、第3版. アメリカ数学会.
• Burris, Stanley N.、および HP Sankappanavar (1981) A Course in Universal Algebra Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2無料オンライン版。 
• Brown, DJ および Suszko, R. (1973) 「抽象論理」、Dissertationes Mathematicae 102-9-42。
• Castellini, G. (2003) 「カテゴリカル閉包演算子」ボストン MA: Birkhaeuser。
• エデルマン、ポール H. (1980)ミート分配格子と反交換閉包、 Algebra Universalis 10: 290-299。
• ガンター、ベルンハルトおよびオビエドコフ、セルゲイ (2016)概念の探求。 Springer、ISBN 978-3-662-49290-1。 
• Gerla, G. (2000)ファジー論理：近似推論のための数学的ツール。Kluwer Academic Publishers。
• Lloyd, JW (1987)論理プログラミングの基礎. Springer-Verlag .
• Tarski, Alfred (1983)「演繹科学の方法論の基本概念」『論理学、意味論、メタ数学』、Hackett (1956 版、Oxford University Press )。
• アルフレッド・タルスキ（1956）『論理、意味論およびメタ数学』オックスフォード大学出版局。
• Ward, Morgan (1942)「格子の閉包演算子」Annals of Mathematics 43: 191-96。
• G. Gierz、KH Hofmann、K. Keimel、JD Lawson、M. Mislove、DS Scott:連続格子とドメイン、ケンブリッジ大学出版局、2003
• TS Blyth、「Lattices and Ordered Algebraic Structures」、Springer、2005年、ISBN 1-85233-905-5。 
• M. Erné、J. Koslowski、A. Melton、GE Strecker、「ガロア接続の入門」、1991 年夏季一般位相幾何学および応用会議の議事録、メアリー・エレン・ルーディンとその業績を記念して、ニューヨーク科学アカデミー紀要、第 704 巻、1993 年、pp. 103–125。さまざまなファイル形式でオンラインで入手可能: PS.GZ PS

• スタンフォード哲学百科事典：「代数命題論理」—Ramon Jansana 著。