カッシーニオーバル

幾何学において、カシニの楕円は、2 つの固定点 (焦点) までの距離の積が一定であるような平面上の点の軌跡として定義される4 次平面曲線です。これは、距離の積ではなく合計が一定である楕円と対照的です。カシニの楕円は、使用される多項式の次数が2 の場合の多項式レムニスケートの特殊なケースです。

カッシーニの楕円は、17世紀後半に研究した天文学者ジョヴァンニ・ドメニコ・カッシーニにちなんで名付けられました。 ^{[1]カッシーニは、別の天体の周りを}公転する 惑星はこれらの楕円のいずれかの上を移動し、公転する天体は楕円の1つの焦点にあると信じていました。^[2] 他の名前には、カッシーニの楕円、カッシーニ曲線、カッシーニの楕円などがあります。

カシニの楕円は、点の集合であり、その集合の任意の点について、2 つの固定点までの距離の積は定数であり、通常は次のように表されます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle |PP_{1}|,\,|PP_{2}|}$${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle b^{2}}$${\displaystyle b>0}$

${\displaystyle \{P:|PP_{1}|\!\!\;\times \!\!\;|PP_{2}|=b^{2}\}\ .}$

楕円の場合と同様に、固定点はカッシーニ楕円の 焦点と呼ばれます。${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

焦点が( a ,0)と(−a , 0)のとき、曲線の方程式は

${\displaystyle ((xa)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}.}$

これを拡張すると

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}.}$

同等の極方程式は

${\displaystyle r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}.\,}$

曲線は、相似性を除いて、e = b / aに依存する。e < 1の場合、曲線は 2 つの分離したループで構成され、それぞれのループに焦点が含まれる。e = 1の場合、曲線は横向きの 8 の字の形をしたベルヌーイのレムニスケートで、原点に2 つの点（具体的には、クルノード）がある。 ^{[3] [4]} e > 1の場合、曲線は両方の焦点を囲む単一の連結されたループである。 の場合、曲線はピーナッツ型で、 の場合、凸型である。 ^[5]焦点が互いに一致するa → 0（したがってe → ∞ ）の極限ケースは円である。 ${\displaystyle 1<e<{\sqrt {2}}}$${\displaystyle e\geq {\sqrt {2}}\,.}$

曲線は常に±  cでx切片を持ち、 c ² = a ² + b ²となる。e < 1のときは2つの実数x切片が追加され、 e > 1のときは2つの実数y切片が追加され、その他のx切片とy切片はすべて虚数となる。^[6]

曲線は無限遠点の円点で二重点を持ち、言い換えれば曲線は双円である。これらの点は双屈曲節点であり、曲線はこれらの点で2つの異なる接線を持ち、曲線の各枝にはそこに変曲点があることを意味する。この情報とプルッカーの公式から、 e ≠ 1の場合のプルッカー数を推定することができる：次数 = 4、類 = 8、節点数 = 2、尖点数 = 0、二重接線数 = 8、変曲点数 = 12、種数 = 1。^[7]

円点における接線はx ± iy = ±  aで与えられ、実際の交点は(±  a , 0)にあります。したがって、焦点は、実際には、Plücker によって定義された意味での焦点です。^[8]円点は変曲点であるため、これらは三重焦点です。e ≠ 1の場合、曲線はクラス 8 になり、合計 8 つの実際の焦点があるはずです。これらのうち 6 つは 2 つの三重焦点で説明され、残りの 2 つは にあります。 したがって、曲線に 2 つのループがある場合は追加の焦点がx軸上にあり、曲線に 1 つのループがある場合はy軸上にあります。^[9]$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm a{\sqrt {1-e^{4}}},0\right)&\quad (e<1),\\\left(0,\pm a{\sqrt {e^{4}-1}}\right)&\quad (e>1).\end{aligned}}}$$

与えられた曲線束の直交軌道は、与えられたすべての曲線と直交する曲線です。たとえば、共焦点楕円束の直交軌道は、同じ焦点を持つ 共焦点双曲線です。カッシーニの楕円の場合、次のようになります。

• 焦点を持つカッシーニ曲線の直交軌道は、カッシーニの楕円と同じ中心を持つ正双曲線です(図を参照)。${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

証明:
簡単にするために、 を選択します。 ${\displaystyle P_{1}=(1,0),\,P_{2}=(-1,0)}$

カッシーニの楕円形は次の式で表される。$${\displaystyle f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}-y^{2})+1-b^{4}=0.}$$

を含む正三角形の双曲線（漸近線は長方形）は、次の式で表すことができます。${\displaystyle (1,0),(-1,0)}$${\displaystyle (0,0)}$$${\displaystyle x^{2}-y^{2}-\lambda xy-1=0,\ \ \ \lambda \in \mathbb {R} .}$$

これらの円錐曲線は、 y軸を共有する点を持たず、 でx軸と交差します。判別式から、これらの曲線は双曲線であることがわかります。さらに詳しく調査すると、双曲線は直角であることがわかります。パラメータに依存しない法線を取得するには、次の暗黙的な表現の方が便利です 。 簡単な計算により、すべての に対して であることがわかります。したがって、カッシーニの楕円と双曲線は直交します。 ${\displaystyle (\pm 1,0)}$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle g(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}-1}{xy}}-\lambda ={\frac {x}{y}}-{\frac {y}{x}}-{\frac {1}{xy}}-\lambda =0\;.}$$${\displaystyle \operatorname {grad} f(x,y)\cdot \operatorname {grad} g(x,y)=0}$${\displaystyle (x,y),\,x\neq 0\neq y}$

注:
カッシーニの楕円と双曲線を描いた画像は、 2 つの等しい点電荷の等電位曲線と、生成された電界の線を組み合わせたもののように見えます。しかし、2 つの等しい点電荷の電位は です。(暗黙の曲線を参照してください。) 代わりに、これらの曲線は、等しい一定の線電荷密度を持つ 2 本の無限ワイヤの等電位セット (の平面セクション) に対応しています。または、代わりに、焦点を中心とした 2 次元のラプラシアンのグリーン関数の合計のレベルの集合に対応しています。 ${\displaystyle 1/|PP_{1}|+1/|PP_{2}|={\text{constant}}}$

シングルループとダブルループのカッシーニ曲線は、各族が共軸ではあるが共焦点ではない場合、互いの直交軌道として表すことができます。シングルループが で記述される場合、、 の場合、焦点は 軸上で可変です。ダブルループが で記述される場合、軸はそれぞれ、および です。相似を除いて、各曲線は画像に 2 回現れ、これは、および に位置する 4 つの等しい点電荷のフィールド線とポテンシャル曲線に似ています。さらに、この画像の上半平面の部分は、次の状況を示しています。ダブルループは、直接共線化によって生成された双曲面の中心シュタイナー円錐の合同類の縮小セットです。^[10]各シングルループは、角度が一定である点の軌跡です。ここで、および は、で記述される線上の を通る垂線の足です。 ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})-1=axy}$${\displaystyle y=x}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle y=-x}$${\displaystyle a<0}$${\displaystyle (x^{2}+y^{2})+1=b(x^{2}-y^{2})}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle (\pm 1,0)}$${\displaystyle (0,\pm 1)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle OPQ}$${\displaystyle O=(0,1)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

マンデルブロ集合の 2 番目のレムニスケートは、次の式で定義されるカシニの楕円です。その焦点は、複素平面上の 点cにあり、その軌道ではzの 2 番目の値ごとに 0 (つまり、0 と -1) になります。 ${\displaystyle L_{2}=\{c:\operatorname {abs} (c^{2}+c)=ER\}.}$

カッシーニの楕円はトーラスの平面断面として現れますが、切断面がトーラスの軸に平行で、軸からの距離が生成円の半径に等しい場合のみです (図を参照)。

トーラスと方程式の交差

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\!\left(x^{2}+y^{2}\right)}$

そして飛行機は降伏する ${\displaystyle y=r}$

${\displaystyle \left(x^{2}+z^{2}+R^{2}\right)^{2}=4R^{2}\!\left(x^{2}+r^{2}\right).}$

最初の括弧を部分的に解くと次の式が得られる。

${\displaystyle \left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}-2R^{2}(x^{2}-z^{2})=4R^{2}r^{2}-R^{4},}$

これは、パラメータおよびを持つカッシーニ楕円の方程式です。 ${\displaystyle b^{2}=2Rr}$${\displaystyle a=R}$

カッシーニ法は、任意の数の定義点を持つ曲線や曲面に簡単に一般化できます。

• ${\displaystyle |PP_{1}|\times |PP_{2}|\times \cdots \times |PP_{n}|=b^{n}}$

平面の場合は暗黙の曲線を記述し、3次元空間の場合は暗黙の曲面を記述します。

• 
  3つの定義点を持つ曲線
• 
  6つの定義点を持つ表面

• 2中心双極座標

• J.-D.カッシーニ (1693)。地理とナビゲーションの起源と天文学の進歩を説明します。ランプリメ・ロワイヤル。 36ページ。
• コーエン、I. バーナード (1962)。 「楕円軌道に関するライプニッツ：1700 年の王立科学アカデミーとの書簡に見られるように」。医学および関連科学史ジャーナル。17 (1): 72–82。doi :10.1093/ jhmas /xvii.1.72。JSTOR  24620858。
• J. Dennis Lawrence (1972)。特殊平面曲線のカタログ。Dover Publications。pp . 5、153-155。ISBN 0-486-60288-5。
• AB Basset (1901)。『三次曲線と四次曲線に関する初等論文』ロンドン: Deighton Bell and Co.、pp. 162 ff.
• Lawden, DF、「楕円の族とその直交軌道」、Mathematical Gazette 83、1999 年 11 月、410-420 ページ。

ウィキメディア・コモンズには、カッシーニ・オーバルに関連するメディアがあります。

• 「カッシーニの楕円」。数学百科事典。EMS Press。2001 [1994]。
• MacTutorの説明
• Weisstein、Eric W.「カッシーニの楕円」。MathWorld。
• 2Dcurves.com の説明
• 「MacTutor 数学の歴史」有名な曲線