同次座標

数学において、アウグスト・フェルディナント・メビウスが1827年の著作『重心計算』^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}で導入した同次座標または射影座標は、ユークリッド幾何学でデカルト座標が使われるのと同様に、射影幾何学で使用される座標系です。同次座標の利点は、無限遠点を含む点の座標を有限座標で表現できることです。同次座標を含む式は、デカルト座標の式よりも単純で対称的であることが多いです。同次座標は、コンピュータグラフィックスや3Dコンピュータビジョンなど、さまざまな分野で応用されており、アフィン変換や一般に射影変換を行列で簡単に表現できます。また、基本的な楕円曲線暗号アルゴリズムでも使用されています。^{[ 4 ]}

点の同次座標にゼロ以外のスカラーを乗じると、結果として得られる座標は同じ点を表します。同次座標は無限遠点にも与えられるため、この拡張を可能にするために必要な座標の数は、対象となる射影空間の次元より1つ多くなります。例えば、射影直線上の点を指定するには2つの同次座標が必要であり、射影平面上の点を指定するには3つの同次座標が必要です。

実射影平面は、無限遠点と呼ばれる追加の点が加えられたユークリッド平面と考えることができ、これらの点は新しい直線、すなわち無限遠直線上にあるとみなされます。各方向（数値的には直線の傾きで与えられる）に対応する無限遠点が存在し、これは非公式には、原点からその方向に移動する点の極限として定義されます。ユークリッド平面上の平行線は、共通の方向に対応する無限遠点で交わると言われます。${\displaystyle (x,y)}$ユークリッド平面上で、ゼロでない任意の実数に対して${\displaystyle Z}$トリプル${\displaystyle (xZ,yZ,Z)}$は、その点の同次座標の集合と呼ばれます。この定義によれば、3 つの同次座標に共通のゼロでない係数を掛けると、同じ点の新しい同次座標の集合が得られます。特に、${\displaystyle (x,y,1)}$点に対する同次座標系は${\displaystyle (x,y)}$例えば、デカルト座標${\displaystyle (1,2)}$同次座標では次のように表すことができます。${\displaystyle (1,2,1)}$または${\displaystyle (2,4,2)}$元のデカルト座標は、最初の2つの位置を3番目の位置で割ることによって復元されます。したがって、デカルト座標とは異なり、1つの点は無限に多くの同次座標で表現できます。

原点を通る直線の式${\displaystyle (0,0)}$書くことができる${\displaystyle nx+my=0}$どこ${\displaystyle n}$そして${\displaystyle m}$両方ではない${\displaystyle 0}$パラメトリック形式では、これは次のように記述できます。${\displaystyle x=mt,y=-nt}$。 させて${\displaystyle Z=1/t}$線上の点の座標は次のように表すことができます。${\displaystyle (m/Z,-n/Z)}$同次座標では、これは次のようになる。${\displaystyle (m,-n,Z)}$極限では、${\displaystyle t}$無限大に近づく、つまり、点が原点から遠ざかるにつれて、${\displaystyle Z}$アプローチ${\displaystyle 0}$そして、その点の同次座標は次のようになる。${\displaystyle (m,-n,0)}$。したがって、次のように定義します。${\displaystyle (m,-n,0)}$無限遠点の同次座標は、直線の方向に対応する。${\displaystyle nx+my=0}$ユークリッド平面上の任意の直線は原点を通る直線と平行であり、平行線は無限遠点で同じ点を持つため、ユークリッド平面上のすべての直線上の無限遠点には同次座標が与えられています。

要約すると：

• 射影平面上の任意の点は、3つの要素によって表される。${\displaystyle (X,Y,Z)}$点の「同次座標」または「射影座標」と呼ばれるもので、${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$そして${\displaystyle Z}$すべてではない${\displaystyle 0}$。
• 同次座標の与えられた集合によって表される点は、その座標に共通の係数を掛けても変化しない。
• 逆に、2組の同次座標が同じ点を表すのは、一方の座標に同じゼロでない定数を掛けることによって他方の座標から得られる場合に限る。
• いつ${\displaystyle Z}$ではない${\displaystyle 0}$表現されている点は点です${\displaystyle (X/Z,Y/Z)}$ユークリッド平面において。
• いつ${\displaystyle Z}$は${\displaystyle 0}$表現されている点は無限遠点である。

トリプル${\displaystyle (0,0,0)}$は省略されており、どの点も表していません。ユークリッド平面の原点は、で表されます。${\displaystyle (0,0,1)}$[ ^{5 ]​}

前節の議論は、平面以外の射影空間にも同様に適用される。したがって、射影直線上の点は座標のペアで表すことができる。${\displaystyle (x,y)}$両方ともゼロではない。この場合、無限遠点は${\displaystyle (1,0)}$同様に、射影の点${\displaystyle n}$-空間は次のように表されます${\displaystyle (n+1)}$-タプル。^{[ 9 ]}

実数を用いると、古典的な実射影空間の場合、点の座標は同次になりますが、任意の体を用いることができ、特に複素射影空間では複素数を用いることができます。例えば、複素射影直線は2つの同次複素座標を用い、リーマン球面として知られています。有限体を含む他の体も使用できます。

射影空間の同次座標は、除法環（斜体）の要素を用いて作成することもできます。ただし、この場合、乗法が可換でない可能性があることに注意する必要があります。^{[ 10 ]}

一般環Aに対して、A上の射影直線は、左側に作用する同次因子と右側に作用する射影線形群によって定義できる。

実射影平面の別の定義は、同値類を用いて与えることができる。 の非ゼロ要素については、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$、 定義する${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})\sim (x_{2},y_{2},z_{2})}$ゼロでない値が存在することを意味する${\displaystyle \lambda }$となることによって${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})=(\lambda x_{2},\lambda y_{2},\lambda z_{2})}$。 それから${\displaystyle \sim }$は同値関係であり、射影平面は同値類として定義できる。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \left\{0\right\}.}$もし${\displaystyle (x,y,z)}$同値類の要素の1つである${\displaystyle p}$次に、これらは同次座標とみなされる。${\displaystyle p}$。

この空間における直線は、次の形式の方程式の解の集合として定義される。${\displaystyle ax+by+cz=0}$すべてではない${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$そして${\displaystyle c}$ゼロです。条件の充足${\displaystyle ax+by+cz=0}$同値類のみに依存する${\displaystyle (x,y,z),}$つまり、この方程式は射影平面上の点の集合を定義する。${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,y,1)}$はユークリッド平面から射影平面への包含関係を定義し、画像の補集合は、${\displaystyle z=0}$方程式${\displaystyle z=0}$は射影平面上の直線の式であり（射影平面上の直線の定義を参照）、無限遠直線と呼ばれます。

同値類、${\displaystyle p}$は、原点を除いた原点を通る直線です。原点は前の議論において実際には重要な役割を果たしていないため、射影平面の性質を変えることなく原点を再び追加することができます。これにより、定義の変形が生じ、すなわち射影平面は、の直線の集合として定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$原点と非ゼロ要素の座標を通る${\displaystyle (x,y,z)}$ 直線の座標は、その直線の同次座標とみなされる。これらの直線は、射影平面上の点として解釈される。

繰り返しますが、この議論は他の次元にも同様に当てはまります。したがって、n 次元の射影空間は、原点を通る直線の集合として定義できます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$[ ^{11 ]​}

同次座標は点によって一意に決定されないため、例えば座標上で定義された関数は ${\displaystyle f(x,y,z)}$、デカルト座標のように点上で定義された関数を決定するものではありません。しかし条件${\displaystyle f(x,y,z)=0}$座標上で定義され、曲線を記述するために使用される場合、関数が同次であれば、点に関する条件を決定します。具体的には、${\displaystyle k}$そのため

$${\displaystyle f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{k}f(x,y,z).}$$

座標のセットが同じ点を表す場合${\displaystyle (x,y,z)}$すると、次のように書ける ${\displaystyle (\lambda x,\lambda y,\lambda z)}$ゼロでない値の場合${\displaystyle \lambda }$。 それから

$${\displaystyle f(x,y,z)=0\iff f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{k}f(x,y,z)=0.}$$

多項式​${\displaystyle g(x,y)}$学位${\displaystyle k}$を置き換えることで同次多項式に変換できます${\displaystyle x}$と${\displaystyle x/z}$、${\displaystyle y}$と${\displaystyle y/z}$そして掛け合わせる${\displaystyle z^{k}}$言い換えれば、定義することによって

$${\displaystyle f(x,y,z)=z^{k}g(x/z,y/z).}$$

結果として得られる関数${\displaystyle f}$は多項式なので、その定義域を次の3つに拡張するのが妥当です。${\displaystyle z=0}$. 設定することでプロセスを逆転させることができます${\displaystyle z=1}$、 または

$${\displaystyle g(x,y)=f(x,y,1).}$$

方程式${\displaystyle f(x,y,z)=0}$は、 ${\displaystyle g(x,y)=0}$そして、ユークリッド平面に制限した場合も同じ曲線を定義します。例えば、直線の方程式の同次形式は${\displaystyle ax+by+c=0}$は${\displaystyle ax+by+cz=0.}$^{[ 12 ]}

射影平面上の直線の式は次のように表される。${\displaystyle sx+ty+uz=0}$どこ${\displaystyle s}$、 ${\displaystyle t}$そして${\displaystyle u}$は定数です。各3つ組${\displaystyle (s,t,u)}$直線を決定し、決定された直線はゼロ以外のスカラーを乗算しても変化せず、少なくとも以下のいずれかが満たされる。${\displaystyle s}$、${\displaystyle t}$そして${\displaystyle u}$ゼロ以外でなければならない。したがって、トリプル${\displaystyle (s,t,u)}$射影平面上の直線の同次座標、つまり点座標ではなく直線座標とみなすことができます。${\displaystyle sx+ty+uz=0}$手紙${\displaystyle s}$、${\displaystyle t}$そして${\displaystyle u}$は変数として扱われ、 ${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$そして${\displaystyle z}$これらを定数とすると、この方程式は平面上のすべての直線の空間における直線の集合を表す方程式になります。幾何学的には、これは点を通る直線の集合を表します。${\displaystyle (x,y,z)}$そして、線座標における点の方程式として解釈できる。同様に、3次元空間の平面には4つの同次座標のセットを与えることができ、より高次元の場合も同様である。^{[ 13 ]}

同じ関係、${\displaystyle sx+ty+uz=0}$は、直線の式または点の式とみなすことができます。一般に、点と直線の同次座標の間には、代数的にも論理的にも違いはありません。したがって、点を基本要素とする平面幾何学と直線を基本要素とする平面幾何学は、解釈を除いて同等です。これは、射影幾何学における双対性の概念、すなわち、射影幾何学の定理において点と直線の役割を入れ替えることができ、その結果もまた定理になるという原理につながります。同様に、射影3次元空間における点の理論は、射影3次元空間における平面の理論と双対であり、より高次元の場合も同様です。^{[ 14 ]}

射影3次元空間における直線に座標を割り当てることは、直線上にある2点の座標、あるいは直線との交点となる2つの平面の座標、合計8つの座標が必要となるため、より複雑である。ユリウス・プリュッカーによる有用な手法では、行列式として6つの座標のセットを作成する。 ${\displaystyle x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}(1\leq i<j\leq 4)}$2点の同次座標から${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}$そして${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})}$線上。プリュッカー埋め込みは、これを一般化して任意の次元の要素の同次座標を作成するものです。${\displaystyle m}$次元の射影空間において${\displaystyle n}$[ ^{15 ] [ 16 ]​}

実平面または複素射影平面における円の方程式の同次形式は ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+2axz+2byz+cz^{2}=0}$この曲線と無限遠の直線との交点は、次のように設定することで求めることができます。${\displaystyle z=0}$これにより、次の式が得られます。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$これは複素数上で2つの解を持ち、同次座標を持つ点を生み出す。${\displaystyle (1,i,0)}$そして${\displaystyle (1,-i,0)}$複素射影平面において、これらの点は無限遠の円点と呼ばれ、すべての円の共通交点とみなすことができる。これは、円代数曲線として高次の曲線に一般化することができる。^{[ 17 ]}

デカルト座標系における軸の選択がやや恣意的であるのと同様に、考えられるすべての座標系の中から単一の同次座標系を選択することもやや恣意的である。したがって、異なる座標系同士の関係性を理解しておくことは有益である。

させて${\displaystyle (x,y,z}$)は射影平面上の点の同次座標である。固定行列 $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}},}$$ 非ゼロの行列式を持つ場合、新しい座標系を定義する。${\displaystyle (X,Y,Z)}$方程式により $${\displaystyle {\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$$ 乗算${\displaystyle (x,y,z)}$スカラーによる乗算は、${\displaystyle (X,Y,Z)}$同じスカラーで、${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$そして${\displaystyle Z}$全てではない${\displaystyle 0}$ない限り${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$そして${\displaystyle z}$すべてゼロなので${\displaystyle A}$は非単数です。したがって${\displaystyle (X,Y,Z)}$これらは、射影平面上の同一点に対する新しい同次座標系である。

メビウスによる同次座標の原定式化では、点の位置は、固定された三角形の頂点に配置された3つの質点の系の重心（または重心）として定義されました。三角形の内側の点は正の質量で表され、三角形の外側の点は負の質量で表されます。この系の質量にスカラーを乗じても重心は変化しないため、これは同次座標系の特殊なケースと言えます。

させて${\displaystyle l}$、${\displaystyle m}$そして${\displaystyle n}$平面上の3本の直線であり、座標系を定義する。${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$そして${\displaystyle Z}$ある点の ${\displaystyle p}$符号付き距離から${\displaystyle p}$これら３つの線に。これらは、${\displaystyle p}$ 頂点が直線のペアごとの交点である三角形に関して。厳密に言えば、これらは同次ではない。なぜなら、${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$そして${\displaystyle Z}$は比例関係だけでなく、正確に決定されます。ただし、それらの間には線形関係があるため、これらの座標は、の倍数を許可することで同質にすることができます。 ${\displaystyle (X,Y,Z)}$同じ点を表す。より一般的には、${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$そして${\displaystyle Z}$定数として定義できる${\displaystyle p}$、${\displaystyle r}$そして${\displaystyle q}$距離の倍数${\displaystyle l}$、${\displaystyle m}$そして${\displaystyle n}$その結果、同じ基準三角形を持つ異なる同次座標系が得られる。実際、これは、どの直線も無限遠直線でない場合、平面上の点に対する最も一般的な同次座標系のタイプである。^{[ 18 ]}

同次座標行列変換のデモンストレーション。行列内の数値を調整して、その変換を画像に適用してください。

同次座標は、並進、回転、拡大縮小、透視投影などの一般的なベクトル演算を、ベクトルに乗算される行列として表現できるため、コンピュータグラフィックスで広く使用されています。連鎖律により、このような演算の任意のシーケンスを単一の行列に乗算できるため、シンプルで効率的な処理が可能になります。対照的に、デカルト座標を使用すると、並進と透視投影は行列乗算として表現できませんが、他の演算は表現できます。最新のOpenGLおよびDirect3Dグラフィックス カードは、同次座標を利用して、4 要素レジスタを持つベクトルプロセッサを使用して頂点シェーダーを効率的に実装しています。 ^{[ 19 ] [ 20 ]}

例えば、透視投影では、空間内の位置は、その位置から投影中心と呼ばれる固定点までの線と関連付けられます。そして、その点と線との交点を求めることで、その点が平面上にマッピングされます。これにより、3次元物体が目にどのように見えるかを正確に表現することができます。最も単純な場合、投影中心は原点であり、点は平面上にマッピングされます。${\displaystyle z=1}$今のところはデカルト座標で作業しています。空間内の特定の点に対して、${\displaystyle (x,y,z)}$直線と平面が交わる点は${\displaystyle (x/z,y/z,1)}$不要になったものを捨てる${\displaystyle z}$座標、これは${\displaystyle (x/z,y/z)}$同次座標では、点${\displaystyle (x,y,z)}$は${\displaystyle (xw,yw,zw,w)}$そして、平面上のその点に対応する点は、${\displaystyle (xw,yw,zw)}$したがって、射影は行列形式で次のように表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}$$他の幾何学的変換を表す行列は、行列乗算 によってこれや他の行列と組み合わせることができます。その結果、空間の任意の透視投影を単一の行列として表現できます。^{[ 21 ] [ 22 ]}

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• Ching-Kuang Shene、『同次座標』
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