一次分解

数学において、ラスカー・ノイマン定理は、すべてのノイマン環はラスカー環であると述べており、これはすべてのイデアルが有限個の基本イデアル（基本イデアルの冪に関連があるが、まったく同じではない）の共通部分（基本分解と呼ばれる）として分解できることを意味します。この定理は、多項式環と収束冪級数環 の特殊なケースについてエマニュエル・ラスカー（1905年）によって最初に証明され、エミー・ノイマン （1921年） によってその完全な一般性が証明されました。

ラスカー・ノイマン定理は、算術の基本定理、より一般的には有限生成アーベル群の基本定理をすべてのノイマン環に拡張したものです。この定理は、すべての代数集合が既約成分の有限和に一意に分解できると主張することで、代数幾何学において重要な役割を果たします。

これは、ネーター環上の有限生成加群のすべての部分加群は、主部分加群の有限共通集合であると述べる、加群への直接的な拡張を持つ。これには、環をそれ自身の加群と見なす特別なケースとしての環の場合が含まれるため、イデアルは部分加群となる。これはまた、主イデアル領域上の有限生成加群に対する構造定理の主分解形式を一般化し、体上の多項式環の特別なケースについては、代数集合を（既約）多様体の有限和に分解することを一般化する。

特性 0 の体上の多項式環の一次分解を計算する最初のアルゴリズム^{[注 1]}は、ノイマンの弟子であるグレーテ・ヘルマン (1926) によって発表されました。^{[1] [2]}この分解は、一般には非可換ノイマン環には成立しません。ノイマンは、右イデアルが一次イデアルの交差ではない非可換ノイマン環の例を示しました。

をネーター可換環とします。 のイデアルは、それが適切なイデアルであり、 と の各元対で が に属する場合、 のいずれかまたはいずれかの冪がに属するとき、一次イデアルと呼ばれます。同様に、商のすべての零因子は冪零です。一次イデアルの根号は素イデアルであり、 に対して-一次であると言われます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle I}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {Q}}}$

を のイデアルとします。すると は、一次イデアルへの 冗長でない一次分解を持ちます。${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{n}\ }$。

非冗長性とは、次のことを意味します。

• いずれかを削除すると、共通部分が変更されます。つまり、 それぞれについて次のようになります。${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \cap _{j\neq i}Q_{j}\not \subset Q_{i}}$
• 主要な理想は すべて異なります。${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}}$

さらに、この分解は次の 2 つの点で独特です。

• 集合はによって一意に決定され、${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$${\displaystyle I}$
• が上記の集合の最小要素である場合、 はによって一意に決定されます。実際、 は、局所化マップの下での の原像です。${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {Q_{i}}}}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle IR_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R\to R_{\mathfrak {p}}}$

上の非極小素イデアルに対応する主イデアルは、一般に一意ではありません (以下の例を参照)。分解の存在については、以下の #関連する素数からの主分解を参照してください。 ${\displaystyle I}$

の元はの素因数またはに属する素数と呼ばれる。以下で説明するように、モジュール理論の言語では、集合は-モジュールの関連する素数の集合でもある。明示的には、 には次のような 元が存在することを意味する。${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}=\{f\in R\mid fg_{i}\in I\}.}$^[3]

省略の方法として、一部の著者は の関連素数を単に の関連素数と呼んでいます(この方法はモジュール理論での使用法と矛盾することに注意してください)。 ${\displaystyle R/I}$${\displaystyle I}$

• の極小元は、および を含む極小素イデアルと同じであり、孤立素数と呼ばれます。${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$${\displaystyle I}$
• 一方、非最小元は埋め込み素数と呼ばれます。

整数環の場合、ラスカー・ノイマン定理は算術の基本定理と同値である。整数が素因数分解される場合、で生成されるイデアルの一次分解は、 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=\pm p_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}}}$${\displaystyle \langle n\rangle }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \langle n\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .}$

同様に、一意の因数分解領域において、元が素因数分解を持ち、ここでが単位である場合、によって生成される主イデアルの一次分解は ${\displaystyle f=up_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}},}$${\displaystyle u}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \langle f\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .}$

このセクションの例は、驚くような、あるいは直感に反するように見えるかもしれない、一次分解のいくつかの特性を説明するために設計されています。すべての例は、体k上の多項式環のイデアルです。

理想の主な分解は ${\displaystyle k[x,y,z]}$${\displaystyle I=\langle x,yz\rangle }$

${\displaystyle I=\langle x,yz\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,z\rangle .}$

1次の生成子のため、Iは2つのより大きなイデアルの積ではない。同様の例が、2つの不定値で示されている。

${\displaystyle I=\langle x,y(y+1)\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,y+1\rangle .}$

において、イデアルは、関連する素数 を持つ一次イデアルです。これは、関連する素数のべき乗ではありません。 ${\displaystyle k[x,y]}$${\displaystyle \langle x,y^{2}\rangle }$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

任意の正の整数nに対して、イデアルの一次分解は ${\displaystyle k[x,y]}$${\displaystyle I=\langle x^{2},xy\rangle }$

${\displaystyle I=\langle x^{2},xy\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},xy,y^{n}\rangle .}$

関連する素数は

${\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle .}$

例:ある体kに対してN  =  R  =  k [ x ,  y ] とし、M をイデアル ( xy ,  y ² ) とします。このとき、M には 2 つの異なる極小素分解 M = ( y ) ∩ ( x , y ² ) = ( y ) ∩ ( x  +  y ,  y ² ) が存在します。極小素数は ( y ) であり、埋め込まれた素数は ( x ,  y ) です。

理想では（一意でない）一次分解がある ${\displaystyle k[x,y,z],}$${\displaystyle I=\langle x^{2},xy,xz\rangle }$

${\displaystyle I=\langle x^{2},xy,xz\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},y^{2},z^{2},xy,xz,yz\rangle .}$

関連する素イデアルはであり、は関連する素イデアルではないため、 ${\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y,z\rangle ,}$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

${\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle \subset \langle x,y,z\rangle .}$

非常に単純な例でない限り、一次分解は計算が難しく、出力が非常に複雑になる可能性があります。次の例は、そのような複雑な出力を提供しながらも、手書きの計算でアクセス可能なように設計されています。

させて

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}y+\cdots +a_{m}y^{m}\\Q&=b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}y+\cdots +b_{n}y^{n}\end{aligned}}}$

をx、yの２つの同次多項式とし、その係数は体k上の他の不定量の多項式とする。つまり、PとQ はに属し、この環内でイデアルの一次分解が探索される。一次分解を計算するために、まず 1 がPとQの最大公約数であると仮定する。 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m},b_{0},\ldots ,b_{n}}$${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{h}}$${\displaystyle R=k[x,y,z_{1},\ldots ,z_{h}],}$${\displaystyle I=\langle P,Q\rangle }$

この条件は、I に高さ1の主成分がないことを意味します。I は2 つの要素によって生成されるため、これは完全な交差であることを意味します(より正確には、完全な交差である代数集合を定義します)。したがって、すべての主成分の高さは 2 です。したがって、 Iの関連する素数は、I を含む高さ 2 の素イデアルとまったく同じです。

したがって、 はIの関連する素数であることがわかります。 ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

をPとQのx、yにおける同次終結式とする。 PとQの最大公約数は定数なので、終結式D はゼロではなく、終結式理論によれば、I にはDとx、yにおける次数m + n – 1の単項式との積がすべて含まれる。これらの単項式はすべてに含まれる主成分に属するので、この主成分にはPとQ が含まれ、局所化による主分解の挙動から、この主成分は ${\displaystyle D\in k[z_{1},\ldots ,z_{h}]}$${\displaystyle D\not \in \langle x,y\rangle ,}$${\displaystyle \langle x,y\rangle .}$

${\displaystyle \{t|\exists e,D^{e}t\in I\}.}$

つまり、主要なコンポーネントがあり、そのすべての生成セットにすべての不定値が含まれるような非常に単純な関連素数があります。 ${\displaystyle \langle x,y\rangle ,}$

他の主成分にはDが含まれます。PとQが十分に一般的な場合(たとえば、PとQの係数が異なる不定値である場合)、もう 1 つの主成分のみが存在し、それが素イデアルであり、P、Q 、およびDによって生成されることが証明できます。

代数幾何学において、アフィン代数集合 V ( I )は、多項式環のイデアルIの共通零点の集合として定義される。 ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$

冗長性のない一次分解

${\displaystyle I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{r}}$

Iは、V ( I )を、 2 つのより小さな代数集合の和集合ではない、既約な 代数集合V ( Q _i )の和集合に分解することを定義します。

が の付随素数である場合、ラスカー・ノイマン定理は、V ( I )が既約代数多様体への一意の非冗長分解を持つことを示している。${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle V(P_{i})=V(Q_{i}),}$

${\displaystyle V(I)=\bigcup V(P_{i}),}$

ここで、和集合は最小の連想素数に制限されます。これらの最小の連想素数は、 Iの根号の主成分です。このため、Iの根号の主分解は、 Iの素分解と呼ばれることもあります。

最小素数に対応する一次分解（および代数集合分解）の成分は孤立していると言われ、その他は埋め込まれました。

代数多様体の分解では極小素数のみが興味深いが、交差理論、さらに一般的にはスキーム理論では、完全な一次分解は幾何学的な意味を持つ。

現在では、連想素数の理論の中でイデアルと加群の一次分解を行うのが一般的です。特に、 ブルバキの影響力のある教科書『可換代数』ではこのアプローチを採用しています。

R を環とし、Mをその加群とする。定義により、随伴素数は、 Mの非ゼロ元の消滅子となる素イデアルである。つまり、ある に対して となる（これは を意味する）。同様に、 R加群の注入がある場合、素イデアルはMの随伴素数である。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} (m)}$${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle m\neq 0}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}\hookrightarrow M}$

Mの非ゼロ元の消滅集合の最大元は素イデアルであることが示され、したがって、R がネーター環である場合、Mが非ゼロである場合にのみ、Mの関連する素数が存在する。

Mの関連する素数の集合はまたはで表されます。定義から直接、 ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$

• もしならば。${\displaystyle M=\bigoplus _{i}M_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)=\bigcup _{i}\operatorname {Ass} (M_{i})}$
• 正確な数列については、. ^[4]${\displaystyle 0\to N\to M\to L\to 0}$${\displaystyle \operatorname {Ass} (N)\subset \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Ass} (N)\cup \operatorname {Ass} (L)}$
• Rがネーター環であれば、はサポートを参照します。^[5]また、 の最小元の集合はの最小元の集合と同じです。^[5]${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Supp} (M)}$${\displaystyle \operatorname {Supp} }$${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)}$

M がR上の有限生成加群である場合、部分加群の有限の昇順列が存在する。

${\displaystyle 0=M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1}\subsetneq M_{n}=M\,}$

となる。各商M _i / M _i−1は、いくつかの素イデアル に対してと同型であり、そのそれぞれは必ずMのサポートに含まれる。^{[6]さらに、} Mの関連するすべての素数は素数の集合の中に存在する。つまり、 ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}\subset \operatorname {Supp} (M)}$^[7 ]

(一般に、これらの包含は等式ではありません。) 特に、Mが有限生成である場合、は有限集合です。 ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$

をネーター環R上の有限生成加群とし、NをMの部分加群とする。の関連する素数の集合が与えられたとき、および となる部分 加群が存在する。${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}}$${\displaystyle M/N}$${\displaystyle Q_{i}\subset M}$${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/Q_{i})=\{{\mathfrak {p}}_{i}\}}$

${\displaystyle N=\bigcap _{i=1}^{n}Q_{i}.}$^{[8] [9]}

MのサブモジュールNは、のとき-主と呼ばれます。RモジュールRのサブモジュールがサブモジュールとして -主であるための必要条件は、それが -主イデアルである場合に限ります。したがって、 のとき、上記の分解はまさにイデアルの主分解です。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}\}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle M=R}$

をとると、上記の分解は、有限生成モジュールMの関連する素数の集合がのときと同じであることを示しています(有限生成がなければ、関連する素数の数は無限に存在します。) ${\displaystyle N=0}$${\displaystyle \{\operatorname {Ass} (M/Q_{i})|i\}}$${\displaystyle 0=\cap _{1}^{n}Q_{i}}$

をネーター環と する。すると${\displaystyle R}$

• R上の零因子の集合はRの関連する素数の和集合と同じである（これはRの零因子の集合が、その最大元が関連する素数である非零元の消滅集合の和集合であるためである）。^[10]
• 同じ理由で、 R加群Mの関連する素数の和集合は、 M上の零因子の集合、つまり自己準同型が単射ではないような元rとまったく同じである。 ^[11]${\displaystyle m\mapsto rm,M\to M}$
• 部分集合MがR-加群であるとすると、かつとなるような部分加群が存在する。^[12]${\displaystyle \Phi \subset \operatorname {Ass} (M)}$${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle \operatorname {Ass} (N)=\operatorname {Ass} (M)-\Phi }$${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\Phi }$
• を乗法部分集合、を -加群、を交わらない のすべての素イデアルの集合とします。するとは一対一です。[ ^13]また、です。^[14]${\displaystyle S\subset R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto S^{-1}{\mathfrak {p}},\,\operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi \to \operatorname {Ass} _{S^{-1}R}(S^{-1}M)}$$${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi =\operatorname {Ass} _{R}(S^{-1}M)}$
• イデアルJ を含むことに関して最小の任意の素イデアルは、これらの素数とはまさに孤立した素数です。${\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(R/J).}$
• R上の加群Mが有限長を持つのは、 Mが有限生成であり、最大イデアルから構成される場合のみである。 ^[15]${\displaystyle \mathrm {Ass} (M)}$
• をノイザン環とF の間の環準同型とし、 A上で平坦なB加群とする。すると、各A加群Eに対して、${\displaystyle A\to B}$

${\displaystyle \operatorname {Ass} _{B}(E\otimes _{A}F)=\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} (E)}\operatorname {Ass} _{B}(F/{\mathfrak {p}}F)}$^[16 ]

次の定理は、環がそのイデアルに対して一次分解を持つための必要十分条件を与えます。

この証明はアティヤ・マクドナルドの第4章に一連の演習問題として与えられている。^[17]

一次分解を持つイデアルには次の一意性定理が存在します。

さて、任意の可換環R、イデアルI 、 I上の極小素数Pに対して、局所化写像によるI R _Pの原像は、I を含む最小のP主イデアルである。^[18]したがって、前の定理の設定では、極小素数Pに対応する主イデアルQ は、 I を含む最小のP主イデアルでもあり、 IのP主成分と呼ばれる。

たとえば、素数Pのべき乗P ^{n に}一次分解がある場合、そのP一次成分はPのn番目の記号べき乗になります。

この結果は、現在イデアルの加法理論として知られている分野における最初のものであり、イデアルを特別なイデアルのクラスの交差として表現する方法を研究するものである。「特別なクラス」、たとえば一次イデアルの決定は、それ自体が問題である。非可換環の場合、三次イデアルのクラスは一次イデアルのクラスの便利な代替となる。

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• 「一次分解はまだ重要ですか?」MathOverflow 2012 年 8 月 21 日。