スムーズな完了

代数幾何学において、滑らかなアフィン代数曲線Xの滑らかな完備化（または滑らかなコンパクト化）は、 Xを開集合として含む完全な滑らかな代数曲線である。 ^[1] 滑らかな完備化は存在し、完全体上で一意である。

超楕円曲線のアフィン形式は、 と表すことができます。ここで、およびP ( x ) は異なる根を持ち、次数は少なくとも 5 です。 におけるアフィン曲線のザリスキ閉包は、追加された唯一の無限点で特異です。 それにもかかわらず、アフィン曲線は、滑らかな完成と呼ばれる唯一のコンパクトなリーマン面に埋め込むことができます。 へのリーマン面の射影は、が偶数次である場合は無限大の特異点に対して 2 対 1 であり、そうでない場合は 1 対 1 (ただし分岐) です。 ${\displaystyle y^{2}=P(x)}$${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle P(x)}$

この滑らかな完成は、次のようにして得ることもできます。 x座標を使用して、アフィン曲線をアフィン直線に投影します。 アフィン直線を射影直線に埋め込み、次に、アフィン曲線の関数体で射影直線の正規化を行います。

代数的に閉じた体上の滑らかな連結曲線は、g が滑らかな完備化の種数であり、r が追加された点の数である 場合に、双曲的と呼ばれます。${\displaystyle 2g-2+r>0}$

特性 0 の代数的に閉じた体上で、r >0 であれば、 Xの基本群は生成元に対して自由です。 ${\displaystyle 2g+r-1}$

(ディリクレの単位定理に類似) X を有限体上の滑らかな連結曲線とします。このとき、 X上の正則関数の環O(X)の単位は、階数r -1の有限生成アーベル群です。

基底体が完全であると仮定します。任意のアフィン曲線Xは、積分射影曲線 (したがって完全曲線) の開部分集合に同型です。射影曲線の正規化 (または特異点の拡大) を行うと、 Xの滑らかな完成が得られます。それらの点は、基底体上で自明な関数体の離散値に対応します。

構築により、滑らかな完備化は、与えられた曲線を至る所に稠密な開集合として含み、追加された新しい点が滑らかな射影曲線です。このような (射影) 完備化は常に存在し、一意です。

基底体が完全でない場合、滑らかなアフィン曲線の滑らかな完備化は常に存在するとは限りません。しかし、上記のプロセスは、正則アフィン曲線から開始する場合、常に正則完備化を生成します (滑らかな多様体は正則であり、逆は完全体上でも当てはまります)。正則完備化は一意であり、適切性の評価基準により、アフィン曲線から完全な代数多様体への任意の射は、正則完備化に一意に拡張されます。

X が分離代数多様体である場合、永田の定理^[2]によれば、X は完全な代数多様体の開集合として埋め込むことができる。さらにXが滑らかで、基底体の標数が 0 である場合、弘中の定理により、境界が正規交差因子である完全な滑らかな代数多様体の開集合として Xを埋め込むことさえできる。X が準射影的である場合、滑らかな完備化は射影的になるように選択できる。

しかし、1 次元の場合とは異なり、滑らかな完了には一意性はなく、標準でもありません。

• 超楕円曲線
• ボルツァ表面

• グリフィス、フィリップ A. ( 1972)。 「代数多様体上の有限順序の関数理論。I(A)」。微分幾何学ジャーナル。6 (3): 285–306。MR  0325999。Zbl 0269.14003  。
• ハーツホーン、ロビン(1977)。代数幾何学。Graduate Texts in Mathematics。第52巻。ニューヨーク、ハイデルベルグ：Springer- Verlag。ISBN 0387902449。（第4章を参照）。