レギュラーチェーン

数学、より具体的にはコンピュータ代数と消去法において、正則連鎖とは、体上の多変数多項式の特別な種類の三角集合であり、三角集合とは、それぞれが前の多項式よりも少なくとも 1 つ多い不定値を含む多項式の有限列である。三角集合が正則連鎖となるために満たさなければならない条件は、任意のkについて、最初のk個の多項式のすべての共通零点 (代数的に閉じた体内) が、( k + 1)番目の多項式の共通零点に延長できることである。言い換えれば、正則連鎖により、異なるケースを考慮せずに連続する一変数方程式を解くことで 多項式方程式系を解くことができる。

正規チェーンは、同様の計算方法でより良い結果を提供するという意味で、 Wu の特性セットの概念を強化します。

線形システムが与えられた場合、ガウスの消去法によってそれを三角システムに変換できます。非線形の場合、体上の多項式システムF が与えられた場合、代数多様体V (F) がこれらの三角集合によって記述されるという意味で、それを三角集合の有限集合に変換 (分解または三角化) できます。

三角集合は単に空集合を記述するだけかもしれない。この退化したケースを修正するために、正則連鎖の概念が、Kalkbrener (1993)、Yang および Zhang (1994) によって独立に導入された。正則連鎖は Chou および Gao (1992) にも登場する。正則連鎖は、代数多様体の非混合次元分解を計算するためのさまざまなアルゴリズムで使用される特殊な三角集合である。因数分解を使用しない場合、これらの分解はWu のアルゴリズムによって生成される分解よりも優れた特性を持つ。Kalkbrener の元の定義は、次の観察に基づいていた。すべての既約多様体は、その一般点の 1 つによって一意に決定され、多様体はその既約成分の一般点を記述することによって表現できる。これらの一般点は、正則連鎖によって与えられる。

Qを有理数体と表記する。変数順序がx ₁ < x ₂ < x ₃であるQ [ x ₁ , x ₂ , x ₃ ]において、

${\displaystyle T=\{x_{2}^{2}-x_{1}^{2},x_{2}(x_{3}-x_{1})\}}$

は三角集合であり、また正則連鎖でもある。Tによって与えられる２つの一般点は( a , a , a ) と ( a , − a , a ) であり、ここでa はQに対して超越的である。したがって、２つの既約成分があり、それぞれ{ x ₂ − x ₁ , x ₃ − x ₁ }と{ x ₂ + x ₁ , x ₃ − x ₁ }で与えられる。次の点に注意する: (1) ２番目の多項式の内容はx ₂であり、これは表される一般点には寄与しないので削除できる。 (2)各成分の次元は1 であり、これは正則連鎖内の自由変数の数である。

多項式環の変数

${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots,x_{n}]}$

は常にx ₁ < ⋯ < x _nとしてソートされます。 の非定数多項式fは、 その最大変数における一変数多項式として見ることができます。fの最大変数は主変数と呼ばれ、mvar ( f ) と表記されます。u をfの主変数とし、次のように書きます 。${\displaystyle R}$

${\displaystyle f=a_{e}u^{e}+\cdots +a_{0},}$

ここで、e はuに関するfの次数であり 、 はuに関するfの主係数です。 fの始値はであり、e はその主次数です。 ${\displaystyle a_{e}}$${\displaystyle a_{e}}$

• 三角形セット

Tの空でない部分集合Tは、 T内の多項式が定数でなく、主変数が異なる場合、三角集合になります。したがって、三角集合は有限であり、濃度は最大でnです。 ${\displaystyle R}$

• レギュラーチェーン

T = { t ₁ , ..., t _s } を三角集合とし、mvar ( t 1 ₎ < ⋯ < mvar ( t _s )、 t _iの始点、hをh _iの積とします。Tが正則連鎖となるのは、 ${\displaystyle h_{i}}$

${\displaystyle \mathrm {resultant} (h,T)=\mathrm {resultant} (\cdots (\mathrm {resultant} (h,t_{s}),\ldots ,t_{i})\cdots )\neq 0,}$

ここで、各結果はそれぞれt _iの主変数に関して計算されます。この定義は Yang と Zhang によるもので、アルゴリズム的な特徴が強くあります。

• 正則鎖の準成分と飽和イデアル

正規鎖Tによって記述される準成分 W ( T )は

${\displaystyle W(T)=V(T)\setminus V(h)}$つまり、

多様体V ( T ) とV ( h )の集合差。正則鎖に付随する代数的対象はその飽和イデアルである。

${\displaystyle \mathrm {sat} (T)=(T):h^{\infty }.}$

古典的な結果は、W ( T )のザリスキ閉包がsat( T )によって定義される多様体に等しいということである。つまり、

${\displaystyle {\overline {W(T)}}=V(\mathrm {sat} (T)),}$

その次元はn − | T | であり、これはT内の変数の数と多項式の数の差です。

• 三角分解

一般に、多項式系Fを分解する方法は2つある。1つ目は遅延分解、つまり（カルクブレンナーの）意味での 一般点のみを表現する方法である。

${\displaystyle {\sqrt {(F)}}=\bigcap _{i=1}^{e}{\sqrt {\mathrm {sat} (T_{i})}}.}$

2つ目は、すべてのゼロをラザードの意味で記述することです。

${\displaystyle V(F)=\bigcup _{i=1}^{e}W(T_{i}).}$

どちらの意味でも、三角形分解にはさまざまなアルゴリズムが利用できます。

T を多項式環Rの正則鎖とします。

• 飽和イデアルsat( T )は次元n− | T |の非混合イデアルである。
• 正規連鎖は、次のような意味で強い消去特性を持ちます。

${\displaystyle \mathrm {sat} (T\cap k[x_{1},\ldots ,x_{i}])=\mathrm {sat} (T)\cap k[x_{1},\ldots ,x_{i}].}$

• 多項式pが sat( T )に属するのは、 p がTによって擬似的にゼロになる場合、つまり、

${\displaystyle p\in \mathrm {sat} (T)\iff \mathrm {prem} (p,T)=0.}$

したがって、sat( T )のメンバーシップテストはアルゴリズム的です。

• 多項式p がsat( T ) を法とする零因子となるのは、かつ の場合に限ります。${\displaystyle \mathrm {prem} (p,T)\neq 0}$${\displaystyle \mathrm {結果} (p,T)=0}$

したがって、sat( T )の正則性テストはアルゴリズム的です。

• 素イデアルPが与えられたとき、 P = sat( C )となる正則連鎖C が存在する。
• 正則連鎖Cの最初の要素が既約多項式であり、その他が主変数に関して線形である場合、 sat( C ) は素イデアルです。
• 逆に、Pが素イデアルである場合、ほとんどすべての変数の線形変換の後、P = sat( C )となるような前述の形状の正規連鎖Cが存在する。
• 三角集合が正則連鎖となるのは、それがその飽和イデアルのRitt 特性集合である場合に限ります。

• ウーの特性集合法
• グレブナー基底
• 正規半代数システム
• 三角分解

• P. Aubry、D. Lazard、M. Moreno Maza。三角集合の理論について。Journal of Symbolic Computation、28(1–2):105–124、1999年。
• F. Boulier、F. Lemaire、M. Moreno Maza。三角システムに関するよく知られた定理と D5 原理。Transgressive Computing 2006、グラナダ、スペイン。
• E. Hubert. 三角集合と三角分割アルゴリズムに関するノート I: 多項式システム。LNCS、第 2630 巻、Springer-Verlag Heidelberg。
• F. Lemaire、M. Moreno Maza、Y. Xie。RegularChains ライブラリ。Maple Conference 2005。
• M. Kalkbrener: 多項式環のアルゴリズム的性質. J. Symb. Comput. 26(5): 525–581 (1998).
• M. Kalkbrener: 代数多様体の三角形表現を計算するための一般化ユークリッドアルゴリズム。J. Symb. Comput. 15(2): 143–167 (1993)。
• D. Wang. 三角システムと正則システムの計算。シンボリック計算ジャーナル30(2) (2000) 221–236。
• Yang, L., Zhang, J. (1994)。代数方程式間の依存関係の検索：自動推論に適用されるアルゴリズム。数学における人工知能、pp. 14715、オックスフォード大学出版局。