パラメトリック方程式

放物線の最も単純な方程式は、 $$\displaystyle y=x^{2}}$$

自由パラメータtを使用し、 を設定する ことで、（簡単に）パラメータ化できます。$${\displaystyle x=t,y=t^{2}\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .}$$

より一般的には、明示的な方程式で与えられる曲線 $${\displaystyle y=f(x)}$$

自由パラメータtを使用し、 を設定する ことで、（簡単に）パラメータ化できます。$${\displaystyle x=t,y=f(t)\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .}$$

より高度な例は次のとおりです。通常の（デカルト）方程式で記述される単位円を考えてみましょう。 $${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$$

この方程式は、以下のようにパラメータ化できます。 $${\displaystyle (x,y)=(\cos(t),\;\sin(t))\quad {\text{ for }}0\leq t<2\pi .}$$

デカルト座標系を用いた方程式では、点が円上にあるかどうかを簡単に確認できます。一方、パラメトリック座標系を用いた方程式では、グラフ上に点を簡単に取得できます。

場合によっては、有理関数（つまり、2つの多項式の分数）のみを含む媒介変数方程式が存在する場合、それが好ましい。円の場合、そのような有理パラメータ化は次のようになる 。$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\[6pt]y&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$

この一対の媒介変数方程式では、点（−1, 0）はtの実数値ではなく、tが無限大に近づくときのxとyの極限によって表されます。

標準位置にある楕円（中心が原点、長軸がx軸に沿う）で、半軸がaとbのものは、パラメトリックに次のように表すことができます 。$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos t\\y&=b\,\sin t\,.\end{aligned}}}$$

一般位置にある楕円は次のように表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}x={}&&X_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\cos \varphi {}&&-b\,\sin t\,\sin \varphi \\y={}&&Y_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\sin \varphi {}&&+b\,\sin t\,\cos \varphi \end{alignedat}}}$$

パラメータt が0から2πまで変化するとき。ここで( X _c , Y _c )は楕円の中心であり、φはx軸と楕円の長軸の間の角度です。

両方のパラメータ化は、正接半角公式を使用し、設定することで合理的にすることができます。$\tan t/2=u.$

リサジュー曲線は楕円に似ていますが、x軸とy軸の正弦波は同位相ではありません。標準位置では、リサジュー曲線は次のように表されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos(k_{x}t)\\y&=b\,\sin(k_{y}t)\end{aligned}}}$$ ここで、k _xとk _{y は}、図形の葉の数を表す定数である。

東西に開く双曲線は、次のようにパラメトリックに表すことができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sec t+h\\y&=b\tan t+k\,,\end{aligned}}}$$

あるいは、合理的に

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+h\\y&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}}$$

南北に開く双曲線は、次のようにパラメトリックに表すことができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b\tan t+h\\y&=a\sec t+k\,,\end{aligned}}}$$

あるいは、合理的に

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+h\\y&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}}$$

これらの式すべてにおいて、( h , k )は双曲線の中心座標、aは長半径、b は短半径です。これらの式の有理式では、点( −a , 0)と(0, −a )はそれぞれtの実数値ではなく、 t が無限大に近づくときのxとyの極限値であることに注意してください。

ハイポトロコイドとは、半径rの円に取り付けられた点が、半径Rの固定された円の内側を転がる際に描く曲線であり、その点は内側の円の中心から距離dの位置にある。

• 
  r = dとなるハイポトロコイド
• 
  R = 5、r = 3、d = 5のハイポトロコイド

ハイポトロコイドの媒介変数表示は以下のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta )&=(Rr)\cos \theta +d\cos \left({Rr \over r}\theta \right)\\y(\theta )&=(Rr)\sin \theta -d\sin \left({Rr \over r}\theta \right)\,.\end{aligned}}}$$

いくつかの例を挙げます。

• 
  R = 6 r = 4 d = 1
• 
  R = 7 r = 4 d = 1
• 
  R = 8 r = 3 d = 2
• 
  R = 7 r = 4 d = 2
• 
  R = 15 r = 14 d = 1

媒介変数表示は、高次元空間における曲線を記述するのに便利です。例えば、次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\\z&=bt\,\end{aligned}}}$$

これは、半径がaで、1 回転あたり2πb単位ずつ上昇する3 次元曲線、らせんを記述します。平面上では、方程式は円の方程式と同一です。上記のような式は、一般的に次のように記述されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&=(x(t),y(t),z(t))\\&=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,,\end{aligned}}}$$

ここで、rは3次元ベクトルである。

主半径Rおよび副半径rのトーラスは、次のようにパラメトリックに定義できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\y&=\sin(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\z&=r\sin(u)\,.\end{aligned}}}$$

ここで、2つのパラメータtとuは両方とも0から2πの間で変化します。

• 
  R = 2、 r = 1/2

uが0から2πまで変化すると、表面上の点はトーラスの穴を通る短い円周上を移動する。tが0から2πまで変化すると、表面上の点はトーラスの穴の周りの長い円周上を移動する。

点を通る直線の媒介変数表示${\displaystyle \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}$そしてベクトルに平行${\displaystyle a{\hat {\mathbf {i} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}}$[ ^{7 ]​}

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}}$$

運動学では、物体の空間における軌跡は一般的にパラメトリック曲線として記述され、各空間座標は独立したパラメータ（通常は時間）に明示的に依存します。このように使用されると、物体の座標に関する一連のパラメトリック方程式は、位置に関するベクトル値関数を構成します。このようなパラメトリック曲線は、項ごとに積分および微分することができます。したがって、粒子の位置がパラメトリックに記述される場合、 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))\,,}$$

すると、その速度は次のように求められる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&=\mathbf {r} '(t)\\&=(x'(t),y'(t),z'(t))\,,\end{aligned}}}$$

そしてその加速は $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&=\mathbf {v} '(t)=\mathbf {r} ''(t)\\&=(x''(t),y''(t),z''(t))\,.\end{aligned}}}$$

パラメトリック方程式のもう1つの重要な用途は、コンピュータ支援設計（CAD）の分野です。 ^{[ 8 ]}例えば、平面曲線を記述するために一般的に使用される次の3つの表現を考えてみましょう。

それぞれの表現方法には、CADアプリケーションにおける利点と欠点がある。

明示的な表現は非常に複雑になる場合があり、場合によっては存在しないこともあります。さらに、幾何学的変換、特に回転に対してはうまく機能しません。一方、明示的な表現からはパラメトリック方程式と陰関数方程式を容易に導出できるため、単純な明示的な表現が存在する場合は、他の2つの表現の利点を兼ね備えています。

暗黙的な表現を用いると、曲線上の点を生成すること、さらには実点が存在するかどうかを判断することさえ困難になる場合がある。一方で、与えられた点が曲線上にあるかどうか、あるいは閉曲線の内側か外側かを判断するには非常に適している。

パラメトリック表現ではそのような決定は難しいかもしれないが、パラメトリック表現は曲線上の点を生成し、それをプロットするのに最適である。^{[ 9 ]}

整数幾何学における多くの問題は、媒介変数表示を用いて解くことができる。古典的な例としては、直角三角形の辺の長さa、bと斜辺cが互いに素な整数となるようにするユークリッドの媒介変数表示がある。aとb は両方とも偶数ではない（そうでなければ a 、b 、 cは互いに素ではない）ので、a と b を入れ替えて a を偶数にすると、媒介変数表示は次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2mn\\b&=m^{2}-n^{2}\\c&=m^{2}+n^{2}\,,\end{aligned}}}$$

ここで、パラメータmとnは互いに素な正の整数であり、両方とも奇数ではない。

a、b、cに任意の正の整数を掛けることで 、3辺の長さが整数であるすべての直角三角形のパラメータ表示が得られる。