可換代数の用語集

これは可換代数の用語集です。

代数幾何学のトピックのリスト、古典代数幾何学の用語集、代数幾何学の用語集、環理論の用語集、およびモジュール理論の用語集も参照してください。

この記事では、すべての環は恒等式 1 で可換であると仮定します。

（）

1.   k ( x , y ,...) は、 x、y、...によって生成されるkの 体拡大です。

2. ( x , y ,...) はx、y、...によって生成されるイデアルです。

3. ( I : J ) はIをJで割った理想的な商であり、 xJ ⊆ Iとなるすべての要素xで構成されます。

[]

R [ x , y ,...] はR上の多項式環です。

[[]]

R [[ x , y ,...]] はR上の形式的な冪級数環です。

{}

R { x , y ,...} は、ある収束条件を満たすR上の形式的な冪級数の環です。

^

 はAの完成です。

絶対積分閉包

絶対積分閉包とは、領域の分数の体の代数閉包における積分領域の積分閉包です。

絶対に

「絶対的に」という語は通常「相対的ではない」、つまりある意味で基本体から独立していることを意味します。これはしばしば「幾何学的に」と同義です。

1.絶対平坦環とは、その環上のすべての加群が平坦である環のことである。(この性質を持つ非可換環はフォン・ノイマン正則環と呼ばれる。)

2. 体上の多項式環のイデアルは、その拡大が体のあらゆる拡大に対して素のままである場合に絶対素であると呼ばれます。

3. 体上の多項式環のイデアルは、体のすべての拡大に対して不分岐である場合に絶対不分岐であると呼ばれます。

4.   「絶対正規」は「幾何学的に正規」の別名です。

5.  絶対的に規則的であることは、幾何学的に規則的であることの別名です。

6.絶対的に単純な点とは、幾何学的に正則な局所環を持つ点である。

許容できる指輪

受容環は、定義における正則環に関する条件をゴレンスタイン環に関する条件に置き換えた、優良環の一般化です。

アディック

環上のI進位相は、イデアルIの累乗によって与えられる 0 の近傍の基数を持ちます。

アフィンリング

別の環S (多くの場合体) 上のアフィン環R は、 S上に有限生成される環 (または整域の場合もある) です。

代数幾何学的局所環

体上の有限生成領域の局所化である局所環。

ほとんど

1.環の元x が部分環上でほぼ整列しているとは、その部分環の正則元aが存在し、すべての正の整数nに対してax ⁿがその部分環に含まれる場合をいう。

2. 整域S は、その商体がSの商体の有限拡大である場合に、部分環R上でほぼ有限であるという。

高度

1.リングの高度は、その寸法を表す古い名前です。

2. 理想の高度は、その高さの別名です。

分析的な

1. 局所環のイデアルの解析的広がりは、イデアルのリース代数の局所環の特殊点におけるファイバーのクルル次元です。

2. 理想の解析偏差は、その解析広がりからその高さを引いたものです。

3.解析環は、付値を持つ体上の有限個の変数の収束するべき級数の環の商です。

分析的に

これはしばしば局所環の完備化の性質を指す。cf. #formally

1. 局所環は、その完備化が整閉領域である場合に解析的に正規であると言われる。

2. 局所環の完備化に非零冪零元がない場合、その局所環は解析的に不分岐であると呼ばれます。

3. 局所環の完備化に零因子がない場合、その局所環は解析的に既約であるという。

4. 2 つの局所環は、その完備化が同型である場合に解析的に同型であるといわれる。

殲滅者

モジュールのサブセットの消滅子は、サブセットの任意の要素との積が 0 になる要素のイデアルです。

アルティン

アルティニアン

1.  エミール・アルティン

2.  マイケル・アーティン

3.アルティニアン加群は、サブ加群に対する降順連鎖条件を満たす加群です。

4.アルティン環はイデアル上の下降連鎖条件を満たす環です。

5. Artin-Rees の補題は、イデアルによる濾過の一定の安定性を確立します。

アメリカ手話

直線化法則を伴う代数の頭字語。

関連する

環R上の加群Mの付随素数は、M がR / pと同型な部分加群を持つような素イデアルpである。

ベースナンバー

Mが局所環R上の剰余体kを持つ加群である場合、Mのi番目のBass 数はExt のk次元である。_私^は
（k , M）。

ベズードメイン

ベズー整域は、 2 つの主イデアルの和が主イデアルとなる整域です。

大きい

モジュールに適用された「大きい」という単語は、モジュールが必ずしも有限生成ではないことを強調します。特に、大きい Cohen-Macaulay モジュールは、それが正規であるパラメータ システムを持つモジュールです。

ブールリング

ブール環とは、すべてのxに対してx ² = xとなる環です。

ブルバキ理想

捩れのない加群Mのブルバキ イデアルは、Mの自由部分加群による捩れのない商に同型なイデアル (加群として) です。

ブックスバウムリング

ブックスバウム環は、すべてのパラメータ系が弱いシーケンスであるようなネーター局所環です。

正統な

「標準モジュール」は、双対化モジュールの別名です。

カテナリー

2 つの素イデアル間のすべての最大鎖の長さが同じである場合、その環はカテナリーと呼ばれます。

中心

評価（または場所）の中心は、正の秩序の要素の理想です。

鎖

素イデアルの厳密に増加または減少するシーケンス。

特性

環の特性は、1 の倍数が 0 であるZイデアルを生成する非負の整数です。

クリーン

1.ネーター環R上の有限生成加群M は、有限フィルタリングが存在し、その商がすべてR / p の形式 ( pはMの関連素数)である場合にクリーンと呼ばれます。この定義のより強力なバリエーションでは、素数p はMの台の極小素数でなければならないとされています。

2. 環の元は、単位元とべき等元との和である場合はクリーンと呼ばれ、通常の元とべき等元との和である場合はほぼクリーンと呼ばれます。環は、そのすべての元がクリーンまたはほぼクリーンである場合にクリーンまたはほぼクリーンと呼ばれ、加群は、その自己準同型環がクリーンまたはほぼクリーンである場合にクリーンまたはほぼクリーンと呼ばれます。

CM

Cohen–Macaulayの略語。

ココア

可換代数の計算のためのCoCoAコンピュータ代数システム

深さ

ネーター局所環上の有限生成モジュールのコデプスは、その次元から深さを引いた値です。

余次元

素イデアルの余次元は、その #高さ の別名です。

係数環

1. 完全なネーター局所環

2. 有限剰余体を持つ完全なネーター局所環

3. コーエンリングの別名

コーエン

1.  アーヴィン・コーエン

2.コーエン環は、最大イデアルが p によって生成される混合特性 (0,p) の体または完全な離散値環です。

コーエン・マコーレー

1. 局所環は、それがネーター環であり、クルル次元が深さに等しい場合、コーエン・マコーレー環と呼ばれます。環は、それがネーター環であり、最大イデアルにおけるすべての局所化がコーエン・マコーレー環である場合、コーエン・マコーレー環と呼ばれます。

2.一般化されたコーエン・マコーレー環は、 i < 環のクルル次元に対して、最大イデアルに沿った環のi番目の局所コホモロジーの長さが有限であるようなノイザン局所環です。

筋の通った

1. モジュールが有限生成であり、有限生成モジュールからそのモジュールへのすべての準同型が有限生成カーネルを持つ場合、そのモジュールはコヒーレントであると呼ばれます。

コヒーレントリングは、それ自身に対してコヒーレントなモジュールであるリングです。

完了

1.局所完全交差環は、その完備化が正則局所環と正則列によって生成されるイデアルとの商であるネーター局所環である。

2.完全局所環とは、最大イデアルの冪が 0 における近傍の基底を形成する位相 (またはむしろ一様性) において完全な局所環です。

完全に一体的に閉じた

商体のある元xのすべての正のべき乗が有限生成R加群に含まれる場合、x はRに含まれるとき、領域R は完全に整閉であると呼ばれます。

完了

イデアルIにおけるモジュールまたはリングMの完備化は、モジュールM / I ⁿ Mの逆極限です。

複合

1. 素数ではない

2. 評価環Rとその剰余体の評価環Sの合成は、 RにおけるSの逆像である。

導体

整域Rの導体は、 R加群T / Rの消滅子です。ここで、T はRの商体における整閉包です。

合同理想

可換環の射影準同型f : B → Cの合同イデアルは、 fの核の消滅子のfによる像である。

接続された

体k上の次数付き代数は、その 0 次部分がkである場合に連結です。

共線的

環をイデアルIで割った商の共線加群は加群I / I ²である。

建設可能な

ネーター環の場合、スペクトルの構成可能な部分集合は、局所的に閉じた集合の有限和集合です。ネーター環でない環の場合、構成可能な部分集合の定義はより複雑です。

コンテンツ

多項式の内容はその係数の最大公約数です。

収縮

イデアルの縮約とは、環の準同型の下での何らかのイデアルの逆像によって与えられるイデアルである。

共同主

共主モジュールとは、正確に 1 つの関連する素数を持つモジュールです。  

互いに素である

1. 2 つのイデアルの和が環全体となる場合、それらのイデアルは互いに素であると呼ばれます。

2. 環の 2 つの元は、それらが生成するイデアルが環全体である場合に互いに素であると呼ばれます。

余接

最大イデアルmを持つ局所環の余接空間は、留数体上のベクトル空間m / m ^{2である。}

コックスリング

コックス環は射影多様体の一種の普遍同次座標環です。

分解可能な

モジュールは、2 つのゼロ以外のサブモジュールの直和として記述できる場合、分解可能と呼ばれます。

分解グループ

分解群は、与えられた素イデアルを要素が固定する環の自己同型群です。

デデキントドメイン

デデキント領域は、最大 1 次元のネーター整閉領域です。

欠陥

欠乏

体Kの評価値の分岐欠陥または分岐不足 d は、[ L : K ] = defgで与えられます。ここで、eは分岐指数、fは慣性次数、gはより大きな体Lへの評価の拡張数です。数d は特性pの累乗p ^δであり、dではなく δ が分岐不足と呼ばれることもあります。

深さ

環R上の加群MのI深さ（グレードとも呼ばれる）は、Iがイデアルである場合、 Ext^nR
_​( R / I , M ) はゼロ以外です。I が局所環の最大イデアルである場合、これは単にMの深さと呼ばれ、さらにM が局所環Rである場合、これは環Rの深さと呼ばれます。

導出

ライプニッツの規則d ( ab )= ad ( b )+ bd ( a )を満たす環からモジュールへの加法準同型d。

派生

整域の導来正規環は、その商体における整閉包である。

行列式モジュール

モジュールの決定的モジュールは、モジュールの最上位の外部パワーです。

決定的な

これは、行列の小行列式の行列式によって生成されるイデアルの特性を指すことがよくあります。たとえば、行列式環は、ある固定サイズの小行列式の行列式によって与えられる関係を持つ行列の要素によって生成されます。

偏差

局所環の偏差は、環が正規環からどれだけ離れているかを測定する不変量です。

寸法

1.環のクルル次元は、単に次元と呼ばれることもあり、素イデアルの連鎖の最大長であり、加群のクルル次元は、その消滅子を含む素イデアルの連鎖の最大長です。

2.モジュールの 弱次元またはフラット次元は、フラット解像度の最短の長さです。

3.モジュールの 単射次元は、単射分解の最短の長さです。

4.モジュールの 射影次元は射影分解の最短の長さです。

5.体上のベクトル空間の 次元は生成元の最小数です。これは、体上の加群としての次元の他のほとんどの定義とは無関係です。

6.モジュールの ホモロジー次元は、弱次元、入射次元、射影次元など、他のさまざまな次元のほとんどを参照できます。

7.環の 全体次元はその環の加群の射影次元の最大値である。

8.環の弱大域次元は、環のモジュールの平面次元の最大値です。

9.局所環の埋め込み次元は、そのザリスキ接空間の次元である。

10. 体上の付値環の次元はその剰余体の超越次数である。これは通常、Krull 次元と同じではない。

離散評価環

離散評価環は、次元 1 の整閉ネーター局所環です。

分割可能

可分な加群とは、環の任意の正則元による乗算が射影的となる加群です。

除数

1. 整域の因子は非ゼロ分数イデアルの同値類であり、2 つのそのようなイデアルが同じ主分数イデアルに含まれる場合、それらは同値であると呼ばれます。

2.環のヴェイユ因子は、余次元 1 の素イデアルによって生成される自由アーベル群の要素です。

3.  カルティエ除数

除数理想

整域の分数イデアルは、主分数イデアルの交差である非ゼロ分数イデアルです。

ドメイン

領域または積分領域は、零因子を持たず、1≠0 である環です。

支配する

局所環B が局所環Aを支配しているとは、局所環 B が局所環Aを含み、かつBの極大イデアルがAの極大イデアルを含む場合をいう。

デュアル

二重性

二重化

1.  グロタンディーク局所双対性は、局所環上の加群のコホモロジーに対する双対性です。

2.  マトリス双対性は、完全な局所環上のアルティン加群とノイザン加群の間の双対性です。

3.  マコーレー双対性は、体上に有限生成される完全な局所環上のアルティン加群とノイザン加群の間の双対性です。

4.ネーター環Rの双対化加群（標準加群とも呼ばれる）は、任意の極大イデアルmに対してR / mベクトル空間 Extが成り立つような有限生成加群Mである。^nR
_​( R / m、M )はn ≠height( m )の場合にはゼロとなり、 n =height( m )の場合には1次元となる。

5.双対化複体とは、双対化加群の多くの性質を、双対化加群を持たない環に一般化した複体です。

ビデオ

離散評価環の略語。

イーキン

イーキン・ナガタの定理は、有限の環拡大 が与えられたとき、がネーター環となるのは、がネーター環となる場合のみである、と述べています。${\displaystyle A\subset B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

エイゼンシュタイン

ゴットホルト・エイゼンシュタインにちなんで命名

1.アイゼンシュタイン整数環は、1 の原始立方根によって生成される環です。

2.アイゼンシュタイン多項式は、その主要項が 1 であり、他のすべての係数が素数で割り切れ、定数項が素数の 2 乗で割り切れない多項式です。

3.アイゼンシュタイン基準は、アイゼンシュタイン多項式が既約であることを述べています。

4. アイゼンシュタイン拡張は、アイゼンシュタイン多項式の根によって生成される拡張です。

^[1]

埋め込み

モジュールの埋め込み素数は、非最小の関連素数です。

埋め込み次元

寸法を参照してください。

封筒

モジュールの入射的なエンベロープ(またはハル) は、それを含む最小の入射的なモジュールです。

等特性

局所環は、その剰余体と同じ特性を持つ場合、等特性であると呼ばれます。

不可欠

1. NのサブモジュールM は、 Nのすべての非ゼロサブモジュールと交差する場合、必須サブモジュールと呼ばれます。

2.モジュールMの本質的な拡張とは、すべての非ゼロサブモジュールがM と交差するようなMを含むモジュールNのことです。

本質的に有限型

ある代数が有限生成代数の局所化である場合、その代数は他の代数に対して本質的に有限型であると言われます。

エタール

1. 環の射は、 形式的にエタールであり、局所的に有限に提示される場合、エタールと呼ばれます。

2.体上のエタール代数は有限の可分拡大の有限積である。

ユークリッド領域

ユークリッド領域は、ユークリッドの互除法の形式を持つ整域です。

正確なゼロ除数

零因子は、その消滅因子が主イデアルであり、その消滅因子が および である場合 に、正確な零因子であると言われます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(x)=\{r\in R\mid rx=0\}}$${\displaystyle yR}$${\displaystyle xR}$${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(x)=\{r\in R\mid rx=0\}=yR}$${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(y)=\{r\in R\mid ry=0\}=xR}$

素晴らしい

優れた環とは、すべての有限生成代数に​​対してスペクトルの特異点が閉じた部分集合を形成するような普遍カテナリーグロタンディーク環のことです。

内線

Ext関数、Hom 関数の派生関数。

拡大

1.イデアルの拡張とは、環の準同型による像によって生成されるイデアルです。

2. モジュールの拡張とは、そのモジュールをサブモジュールとして含むモジュール、または商モジュールとしてそのモジュールにマッピングするモジュールのいずれかを意味します。

3.モジュールMの本質的な拡張とは、すべての非ゼロサブモジュールがM と交差するようなMを含むモジュールのことです。

フェイスリング

スタンレー・ライスナー環の別名。

階乗

階乗環は、一意の因数分解領域の別名です。

忠実な

1.忠実なモジュールとは、消滅係数が 0 であるモジュールです。

忠実に

1.環R上の忠実に平坦な加群とは、任意の非ゼロ加群とのテンソル積が非ゼロとなる平坦加群のことである。

2.環R上の忠実平坦代数は、加群として忠実平坦な代数です。

分野

1. 可換環であって、すべての非零元に逆元が存在するもの

2.整域の分数体、または分数体とは、それを含む最小の体です。

3. 剰余体は環を極大イデアルで割った商である。

4. 商体とは、分数体または剰余体のいずれかを意味します。

有限

環上の有限モジュール（または代数）は、通常、モジュールとして有限生成されるものを意味します。また、特に有限体という用語では、有限個の要素を持つものを意味することもあります。

有限型

環上の代数は、代数として有限生成される場合、有限型であると言われます。

有限生成

1. 環上のモジュールは、すべての要素が固定された有限個の要素の線形結合である場合に有限生成と呼ばれます。モジュールがたまたま代数である場合、これは代数として有限生成であると言うよりもはるかに強力です。

2. 環上の代数は、代数として有限生成である場合に有限生成と呼ばれますが、これは、加群として有限生成であると言うよりもはるかに弱い意味です。

3. 体の拡大は、より大きな体の要素がすべて有限生成集合の有理関数として表現できる場合、有限生成と呼ばれます。

理想的なフィッティング

g個の要素によって生成されるモジュールMのフィッティングイデアル I _n ( M ) は、モジュールを定義する関係の行列の サイズg – nのマイナーの行列式によって生成されるイデアルです。

フラット

1.フラット モジュールとは、テンソル化によって正確さが保持されるモジュールです。

2.フラット解像度はフラットモジュールによる解像度です。

3. 平面寸法については寸法を参照してください。

4.環R上の加群Mは、 R / I加群⊕I n M / I ^{n +1} Mが平坦であるとき、イデアルI^に沿って正規平坦であるという。

5.モジュールMの平坦被覆は、平坦モジュールから余分な核を持つMへの写像です。

正式に

1. 環の準同型f : A → Bは、冪零イデアルIを持つ任意のA代数Rに対して、 Hom _A ( R / I , B ) から Hom _A ( R , B ) への自然写像が全射、単射、または全単射である場合、形式的に滑らか、形式的に非分岐、または形式的にエタールと呼ばれる。このとき、代数Bは形式的に滑らか、形式的に非分岐、または形式的にエタールA代数と呼ばれる。

2. ネーター局所環は、その完備化が等次元である場合に、形式的に等次元（または準非混合）であると呼ばれます。

3. 形式的にカテナリー環とは、素イデアルによるすべての商が形式的に等次元である環のことである。ネーター局所環の場合、これは環が普遍的にカテナリーであることと同値である。

分数理想

K が整域Rの分数環である場合、Rの分数イデアルは、 K内のあるkに対してkRに含まれるR加群Kのサブ加群です。

分数理想

分数イデアルの別名

Gリング

グロタンディーク環の別名。

ガウス

ガウス環はガウス整数 m + niの環です。

最大公約数

1.最大公約数の略語

2. GCD ドメインは、任意の 2 つの要素が最大公約数 (GCD) を持つような整数ドメインです。

幾何学的に

「幾何学的に」という言葉は通常、有限体拡大をとった後も保持され続ける性質を指します。たとえば、体k上の環Rは、 kのすべての有限拡大体Kに対してR ⊗ _k Kが正規、正則、または簡約である場合、幾何学的に正規、幾何学的に正則、または幾何学的に簡約と呼ばれます。

下がる

1.可換環の拡大R ⊆ Sは、 p ₁ ⊆ p _{2 が}Rの素イデアルの連鎖であり、q _{2 が}q ₂ ∩ R = p ₂となるSの素イデアルであるときはいつでも、q ₁ ⊆ q _2かつq ₁ ∩ R = p ₁となるSの素イデアルq ₁が存在するとき、下降特性を持つという。

2.下降定理は、Sが定義域であり、Rが整閉であるような 整拡大R ⊆ S には下降特性があることを述べています。

上がる

1.可換環の拡大R ⊆ Sは、p ₁ ⊆ p _{2 が}Rの素イデアルの連鎖であり、q _{1 が}Sの素イデアルでq ₁ ∩ R = p ₁である場合に、 q ₁ ⊆ q _2かつq ₂ ∩ R = p ₂となるSの素イデアルq ₂が存在するとき、上昇特性を持つという。

2.上昇定理は、整式拡張R ⊆ S が上昇特性を持つことを述べています。

ゴレンシュタイン

1.  ダニエル・ゴレンスタイン

2.ゴレンシュタイン局所環は、それ自身の加群として有限の入射次元を持つノイザン局所環です。

3.ゴレンシュタイン環とは、素イデアルにおけるすべての局所化がゴレンシュタイン局所環である環である。

学年

「グレード」という用語のさまざまな用法は、互いに矛盾したり互換性がなかったりする場合があります。

1.ネーター環上の有限生成加群M上のイデアルIの等級 grade( I , M ) は、 Iにおける最大M -正則列の長さである。これは、 M上のIの深さとも呼ばれる。

2.環R上の加群Mの等級grade( M )はgrade(AnnM,R)であり、これはネーター環上の有限生成加群に対して、Extを満たす最小のnである。^nR
_​( M , R ) はゼロ以外です。

3. 最大イデアルIを持つノイザン局所環上の加群Mの次数は、I上のmの次数である。これはMの深さとも呼ばれる。これは、上で示した加群の次数の他の定義とは一致しない。

4. イデアルのグレードgrade( I )には、モジュールR / Iのグレードgrade( R / I )が与えられます。そのため、イデアルIのグレードは通常、モジュールIのグレードと同じではありません。

段階的

次数付き代数またはモジュールは、アーベル群 (多くの場合、整数のグループ) によってインデックス付けされた部分の直和です。

グレブナー基底

グレブナー基底は、特定の条件を満たす多項式環のイデアルの生成元の集合です。

グロタンディーク

アレクサンダー・グロタンディークにちなんで名付けられた

1.グロタンディーク環は、形式繊維が幾何学的に規則的なネーター環です。

2.  グロタンディークの局所双対性は、局所環上の加群の双対性定理です。

HCF

最大公約数の略語

身長

1.素イデアルの高さは、その余次元、階数、高度とも呼ばれ、そこから派生する素イデアルの連鎖の長さの上限です。

2. 評価または場所の高さはその評価グループの高さであり、その評価グループの適切な凸部分群の数です。

ヘンゼル

ヘンゼリアン

ヘンゼル化

クルト・ヘンゼルにちなんで名付けられた

1.  ヘンゼルの補題は、Rが最大イデアルmを持つ完全な局所環であり、PがR [ x ]のモニック多項式である場合、その像Pの( R / m )[ x ]の互いに素なモニック多項式の積への因数分解は、R [ x ]の因数分解に持ち上げられることができることを述べています。

2.ヘンゼル環はヘンゼルの補題が成り立つ局所環である。

3.局所環のヘンゼル化は、局所環から構成されるヘンゼル環である。

ヒルベルト

ダヴィド・ヒルベルトにちなんで名付けられた

1.  ヒルベルト環はヤコブソン環の別名です。

2.ヒルベルト多項式は、次数環または局所環上のモジュールの成長率を測定します。

3.  ヒルベルトの零点定理は、アフィン空間の既約部分集合を座標環の根基イデアルと同一視する。

4.  ヒルベルトの朔望定理は多項式環上の加群の有限自由分解を与える。

5.ヒルベルト基底定理は、体上の多項式環がネーターであること、またはより一般的にはネーター環上の任意の有限生成代数はネーターであることを述べています。

6.ヒルベルト・バーチの定理は、射影次元が 2 である局所環の商の自由分解を記述します。

7.ヒルベルト・クンツ関数は、正の特性における特異性の重大度を測定します。

弘中

1.弘中平祐にちなんで命名

2.広中分解は、多項式環または正則局所環上の有限自由加群としての環の表現です。

3.  広中の基準によれば、正則局所環または多項式代数上の有限加群である環は、自由加群であるときのみコーエン・マコーレー環となる。

。

ホッジ

1. WVDホッジにちなんで名付けられました

2.ホッジ代数は、標準的な単項式の基底に似た特殊な基底を持つ代数です。

船体

モジュールの入射包(またはエンベロープ) は、それを含む最小の入射モジュールです。

理想的

リングのサブモジュール。特殊なケースとしては次のようなものがあります:

1.最大イデアルmを持つ局所環R上の加群Mの定義のイデアルは、あるnに対してm ⁿ M がIMに含まれるような適切なイデアルIです。

理想的には分離

加群がイデアルIに対してイデアル的に分離しているとは、任意のイデアル に対して である場合 である（例えば、Aがネーター局所環で、I がその最大イデアルであり、M が有限生成である場合がこれに該当する）。^[2]${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle \bigcap _{n\geq 1}I^{n}({\mathfrak {a}}\otimes M)=0}$

べき等性

x ² = xとなる要素x。

比較不可能性

拡大A ⊆ Bは、 QとQ' がA内の素数Pの上にあるBの異なる素数であるときはいつでも、Q ⊈ Q' かつQ' ⊈ Qであるとき、比較不可能性を満たすと言われます。

分解できない

モジュールが 2 つの適切なサブモジュールの直和でない場合、そのモジュールは分解不可能であると呼ばれます。

慣性グループ

慣性群は、その要素が与えられた素イデアルを固定し、対応する剰余類環に自明に作用する環の自己同型群です。

無限に生成される

有限に生成されません。

当初の理想

1.次数付き環において、イデアルIの初期イデアルは、Iの元の最小次数の同次成分すべての集合である（これは同次元の乗法モノイドのイデアルである）。

2.グレブナー基底の文脈では、与えられた単項式順序に対するイデアルIの初期イデアルは、 Iの元の主要な単項式すべての集合です(これは単項式の乗法モノイドのイデアルです)。

単射的

1.注入モジュールとは、サブモジュールからそれにマッピングされ、より大きなモジュールに拡張できるという特性を持つモジュールです。

2.モジュールの入射包または入射包は、それを含む最小の入射モジュールです。

3.単射解決は単射モジュールによる解決です。

4. モジュールの単射次元は、単射分解の最小の長さです。

積分

積分の 2 つの異なる意味 (ゼロ約数がないこと、またはすべての要素が単数多項式の根であること) は混同されることがあります。

1.整域または整環は、零因子を持たない非自明な環です。

2. ある要素が部分環上の積分であるとは、その要素が部分環内の係数を持つ単項多項式の根である場合に言う。

3.環の元x が部分環上でほぼ整列しているとは、その部分環の正則元aが存在し、すべての正の整数nに対してax ⁿがその部分環に含まれる場合をいう。

4.環の部分環の整閉包は、その部分環上で整であるすべての要素の環である。

5. 環上の代数は、そのすべての要素が環上で整列している場合、整列代数と呼ばれます。

6. 環が簡約され、すべての素イデアルにおける局所化が整列している場合、その環は局所整列であると呼ばれます。

7. ある領域が分数体においてそれ自身の整閉包である場合、その領域は整閉であると言われる。

反転可能な

可逆な分数イデアルとは、乗算の下で分数イデアルのモノイドに逆を持つ分数イデアルです。

還元不可能な

1. 環の元は、2 つの非単位元の積として表すことができない場合は既約であるといいます。

2.既約環とは、零イデアルが 2 つの非零イデアルの交差ではない環であり、より一般的には、既約加群とは、零加群を非零部分加群の交差として記述できない加群である。

3. イデアルまたはサブモジュールは、2 つのより大きなイデアルまたはサブモジュールの積として記述できない場合、既約と呼ばれます。イデアルまたはサブモジュールがリングまたはモジュール全体である場合、これは既約リングまたはモジュールの定義と矛盾します。

無関係

次数付き代数の無関係なイデアルは、正の次数を持つすべての要素によって生成されます。

孤立した

モジュールの孤立した素数は、最小の関連素数です。

J-0リング

J-0 環は、スペクトルの正則点の集合に空でない開集合が含まれる環です。

J-1リング

J-1 環は、スペクトルの正則点の集合が開集合となる環です。

J-2リング

J-2 環は、任意の有限生成代数が J-1 環となるような環です。

ヤコビアン

1.ヤコビ行列は、その要素がいくつかの多項式の偏微分である行列です。

2.多項式環を純余次元nのイデアルで割った商のヤコビアン イデアルは、ヤコビアン行列のサイズn の小行列式によって生成されるイデアルです。

3. ヤコビアン基準は、対応するヤコビ行列の階数が可能な限り最大である場合にのみ、局所環が幾何学的に正則であるという基準です。

ジェイコブソン

ネイサン・ジェイコブソンにちなんで名付けられました

1.環のヤコブソン根号は、その環の最大イデアルの交差です。

2.ヤコブソン環とは、すべての素イデアルが極大イデアルの交差となるような環です。

日本の指輪

環（N-2 環とも呼ばれる）は、その商体Kのすべての有限拡大Lに対して、 LにおけるRの整閉包が有限生成 R加群となるような 整域 Rです。

ケーラー微分

環のケーラー微分加群は、環からそれへの導出を持つ普遍加群です。

クライン整数

クラインの整数は判別式が−7の虚数二次体の整数です。

コズルコンプレックス

Koszul 複合体は、規則的なシーケンスから構築された自由解像度です。

クルルリング

クルル環（またはクルル領域）は、素因数分解の理論が適切に適用される環です。

クルル次元

寸法を参照してください。

ラスケリアンリング

ラスカー環は、任意のイデアルが一次分解を持つ環です。

長さ

モジュールの長さは、任意の構成シリーズの長さです。

線形分離

体 k 上の体拡大Kの 2 つの部分体は、 k上のテンソル積からそれらが生成するKの部分体への自然写像が同型である場合に、線型的に互いに素であると呼ばれます。

リンクされた

リンケージ

ゴレンシュタイン環におけるイデアル間の関係。

地元

ローカリゼーション

地元で

1.局所環は、ただ 1 つの極大イデアルを持つ環です。古い書籍では、局所環がネーター環であると想定されることもあります。

2.モジュールMの局所コホモロジーは、直接限界_k Hom _R ( R / I ^k、M )の導来関手によって与えられる。

3.環の（乗法的な）部分集合への局所化とは、乗法的な部分集合のすべての要素を逆集合に強制することによって形成される環のことである。

4. 素イデアルにおける環の局所化は、素イデアルの補集合によって与えられる乗法部分集合の局所化である。

5. 環が簡約され、すべての素イデアルにおける局所化が整列している場合、その環は局所整列であると呼ばれます。

6. 環のスペクトルが、その性質を持つ局在R [1/ a ]のスペクトルで覆われている場合、環は局所的に何らかの性質を持ちます。

財産を横領する

環の拡張は、それらの素スペクトル間の対応する写像が射影的である場合に、その上にあるという性質を持ちます。

マコーレー

フランシス・サワービー・マコーレーにちなんで名付けられた

1.マコーレー環はコーエン・マコーレー環の別名です。

2.マコーレー数式処理システム。

3.  マコーレー双対性は、体上の有限生成代数である局所環に対するマトリス双対性の特殊なケースです。

マトリス

エベン・マトリスにちなんで名付けられました

1.  マトリス双対性は、完全なネーター局所環上のアルティン加群とネーター加群の間の双対性です。

2. Matlis モジュールは、局所環の剰余体の入射的なエンベロープです。

最大限

1.極大イデアルは、環の真イデアルの集合の極大元である。

2. ノイザン局所環R上の最大コーエン・マコーレー加群は、その次元がRの次元と同じであるコーエン・マコーレー加群である。

最小限

1.イデアルの極小素数は、それを含む素イデアルの集合の極小元である。

2. モジュールの最小解像度は、他の解像度に含まれる解像度です。

3. 最小一次分解は、項の数が可能な限り少ない一次分解です。

4. 定義域の最小素数は、非ゼロの素イデアルの集合の最小元です。

奇跡

1. 奇跡平坦性は、広中の基準の別名であり、正規局所環上の有限局所環が平坦加群である場合に限り、その局所環はコーエン・マコーレーであるというものである。

ミッタク・レフラー条件

ミッタク＝レフラー条件は、逆極限の最初の導出関数が消滅することを保証する、逆モジュール系上の条件です。

モジュラーシステム

理想を表す古風な言葉

単項式

代数の生成子の累乗の積

森藩

森整域は、整分イデアル上の上昇連鎖条件を満たす整域です。

乗法部分集合

乗法に関して閉じた環の部分集合

多重性

素イデアルpまたは環Rにおける加群Mの多重度は、 M内でR / pが出現する回数、より正確にはR _p上の加群としての局所化M _pの長さです。

N-1

N-1 環は、その商体における整閉包が有限生成加群である整域です。

N-2

N -2 環は日本の環と同じであり、言い換えれば、その商体の任意の有限拡大における積分閉包が有限生成加群である積分領域です。

永田リング

永田環はネーター普遍日本環である。これらは擬幾何学環とも呼ばれる。

中山の補題

中山の補題は、有限生成モジュールMがIMに等しい場合( Iはヤコブソン根号)、Mはゼロになることを述べています。

きちんとした

「分岐していない」という意味で使われることもあります。

無力な

いくつかのべき乗はゼロです。環の元または環のイデアルに適用できます。nilpotent を参照してください。

ニルラジカル

環の冪根基は冪零元のイデアルです。

ネーター

ネーター派

エミー・ネーターにちなんで名付けられました

1.ネーター加群は、すべてのサブ加群が有限生成される加群です。

2.ネーター環は、それ自身のネーター加群である環であり、言い換えれば、すべてのイデアルは有限生成です。

3.  ノイマン正規化は、体上の有限生成代数を多項式環上の有限モジュールとして表します。

普通

正規領域は、その商体において整閉である整領域です。

正規環とは、素イデアルにおける局所化が正規領域である環である。

通常は平ら

環R上の加群M は、 R / I加群 ⊕ I ⁿ M / I ^{n +1} Mが平坦であるとき、イデアルIに沿って正規平坦と呼ばれる。

必須項目

「ゼロ軌跡定理」のドイツ語。

代数的に閉じた体上では、弱い零点定理は、アフィン空間の点がその座標環の極大イデアルに対応することを述べ、強い零点定理は、多様体の閉部分集合がその座標環の根基イデアルに対応することを述べます。

オリエンテーション

環R上の加群の向き付けは、加群の最大の非ゼロ外冪からRへの同型写像です。

パラファクタル

ネーター局所環Rは、深さが少なくとも2で、閉点mを除いたスペクトルのピカール群Pic(Spec( R )−m  )が自明である場合に、パラファクタル環と呼ばれます。

パラメータ

#パラメータシステムを参照してください。

完璧

非可換環論では、完全環は無関係な意味を持ちます。

1. 射影次元がその次数に等しい場合、モジュールは完全であると呼ばれます。

2.環RのイデアルI は、 R / Iが完全加群である場合に完全と呼ばれます。

3. すべての有限拡大体が可分である場合、その体は完全体と呼ばれます。

写真

ピカードグループ

環Rのピカール群Pic( R )は、階数 1 の有限射影加群の同型類の群です。

ピジョン

主イデアル領域の略語。

場所

体 Kの、体L内の値を持つ場所は、加算と乗算および 1 を保存するK ∪∞からL ∪∞ への写像です。

見栄えのよい

見栄えの良い指輪とは、普通の指輪の商である指輪です。

プライム

1.素イデアルとは、その補集合が乗算に関して閉じている真イデアルである。

2.環の素元は素イデアルを生成する元です。

3.素局所環は素イデアルにおける整数の局所化です。

4. 「プライムシーケンス」は、通常のシーケンスの別名です。

主要な

1.主イデアルとは、環Rの適切なイデアルpで、 rm がpに含まれる場合、m がpに含まれるか、 rの何らかの冪がpに含まれるかのいずれかです。より一般的には、モジュールMの主サブモジュールとは、 MのサブモジュールNで、 rmがNに含まれる場合、mがNに含まれるか、 rの何らかの冪がN を消滅させるかのいずれかです。

2.イデアルまたはサブモジュールの主分解は、主イデアルまたはサブモジュールの有限積として表現されます。

主要

1.主イデアルは、1 つの要素によって生成されるイデアルです。

2.主イデアル環とは、すべてのイデアルが主である環のことである。

3.主イデアル領域は、すべてのイデアルが主である整域です。

射影的

1.射影加群とは、それに対するあらゆる同型が分解する加群である。

2.射影分解は射影モジュールによる分解です。

3.モジュールの射影次元は射影分解の最小の長さです。

プリューファードメイン

プリューファードメインは、半遺伝的な統合ドメインです。

擬似

1. 有限生成加群M は、高さ のすべての素イデアルに対して となるとき、擬零と呼ばれます。${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}=0}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \leq 1}$

2.カーネルが擬ゼロの場合、モジュールの射は擬単射である。

3.余核が擬零であれば、加群の射影は擬射である。

「擬幾何環」は永田環の別名です。

純粋な

1.モジュールNの純粋なサブモジュール Mとは、すべてのモジュールAに対してM ⊗ AがN ⊗ Aのサブモジュールとなるようなサブモジュールです。

2.環Rの純粋な部分環Rとは、すべてのS加群Mに対してM = M ⊗ SがM ⊗ _S Rの部分加群となるような部分環のことである。

3.環R上の純粋加群Mは、 Mの任意の関連する素数pに対してdim( M ) = dim( R / p )となる加群である。

純粋に

1. 体の特性が 0 でxが体内にある場合、または体が特性p を持ち、何らかのrに対して体内にある場合、元x は体上で純粋に不可分です。${\displaystyle x^{p^{r}}}$

2. フィールド拡張は、純粋に分離不可能な要素で構成されている場合、純粋に分離不可能です。

疑似

1.準優秀環とは、すべての有限生成代数に​​対してスペクトルの特異点が閉じた部分集合を形成するグロタンディーク環である。

2.準同型とは、ホモロジー上の同型を誘導する複体間の同型である。

3.  準局所環は、局所環がネーター環であると仮定する書籍で、(おそらく非ネーター環の)局所環を表す古い用語でした。

4.  準非混合。形式的に等次元を参照。

商

1. 環をイデアルで割った商、または加群を部分加群で割った商。

2.積分領域の商体（または分数体）は素イデアル零点における局所化である。これは最初の意味と混同されることがある。

Rn_​

環（非負の整数n ）上の条件R _{n は}、「余次元nにおいて正則」であり、高さが最大でnである任意の素イデアルにおける局所化は正則であることを意味します。（正規性に関するセールの基準を参照）

ラジカル

1.環のヤコブソン根号。

2.環のnilradical 。

3.環の元xの根号とは、ある正のべきがxである元のことである。

4.イデアルの根号は、その要素の根号のイデアルです。

5.加群Nのサブ加群Mの根基は、xの何らかのべき乗がN をMに写像するような元xのイデアルです。

6.環の根基拡張は、要素の根基によって生成される拡張です。

分岐グループ

分岐群は、ある与えられた素イデアルpを固定し、ある整数n >1に対してR / p ⁿに自明に作用する環Rの自己同型群です。( n =1 のときは慣性群と呼ばれます。)

ランク

1. 素イデアルの高さの別の古い名前。

2. 評価のランクまたは高さは、対応する評価リングの Krull 次元です。

3. 評価または場所の有理数または実数ランクは、その評価グループの有理数または実数ランクであり、評価グループを有理数または実数でテンソル化することによって構築された、対応する有理数または実数ベクトル空間の次元です。

3. フリーモジュールのジェネレータの最小数。

4.整域R上の加群Mの階数は、Rの商体K上のベクトル空間M ⊗ Kの次元です。

減少した

1.被約環とは、非ゼロの冪零元を持たない環のことである。

2. 特性p > 0の環上で、多変数多項式が各変数の次数がp未満である場合、その多項式は既約であると呼ばれます。

還元可能な

「irreducible」を参照してください。

削減

モジュールMに関するイデアルIの縮小イデアルは、ある正の整数nに対してJI ⁿ M = I ^{n +1} MとなるイデアルJです。

リース

1.デビッド・リースにちなんで名付けられた

2.イデアルIのリース代数は${\displaystyle \oplus _{n=0}^{\infty }t^{n}I^{n}=R[It]\subset R[t].}$

3.代数のリース分解は、代数を多項式部分代数で表す方法です。

反射的な

標準写像が同型である場合、モジュールMは反射的です。${\displaystyle M\to M^{**},m\mapsto \langle \cdot ,m\rangle }$

通常

1.正則局所環は、その次元が接空間の次元に等しいネーター局所環です。

2.正則環とは、すべての素イデアルにおける局所化が正則である環である。

3. 環の正則元は零因子ではない元です。

4.ある加群Mの環のM正則元とは、 Mのゼロでない元を消滅させないRの元である。

5.あるモジュールMに関する正則シーケンスとは、 Rの要素a ₁、a ₂、...、a _nのシーケンスであり、各a _{m +1}はモジュールM /( a ₁、a ₂、...、a _m ) Mに対して正則です。

6. 非可換環論では、フォン・ノイマン正則環は、すべての元xに対してxyx = xとなる元yが存在する環です。これは、可換環論における正則環の概念とは無関係です。可換代数では、この性質を持つ可換環は絶対平坦と呼ばれます。

規則性

カステルヌオーヴォ・マンフォード正則性は、さまざまなコホモロジー群の消失に関連する、次数付き環上の次数付きモジュールの不変量です。

残余フィールド

環、特に局所環を極大イデアルで割った商。

解決

モジュールの分解とは、そのモジュールのみがゼロでないホモロジー グループである連鎖複合体です。

S _n

環上の条件S _n (非負の整数n ) は、任意の素イデアルにおける局所化の深さは、深さがnより小さいときはいつでも、その素イデアルの高さである、というものです。 (正規性に関するセールの基準を参照)

飽和した

環または加群の部分集合X が乗法部分集合Sに関して飽和しているとは、xs がXに属し、s がSに属することからxがXに属することを意味するという。

飽和

環またはモジュールの部分集合の飽和は、それを含む最小の飽和部分集合です。

半局所的

準ローカル

1.半局所環とは、有限個の極大イデアルのみを持つ環である。

2. 「半局所環」はザリスキ環の古い用語です。

半正規分布

半正規環は、x、y がを満たすときはいつでも、および を満たすsが存在するような可換な被約環です。${\displaystyle x^{3}=y^{2}}$${\displaystyle s^{2}=x}$${\displaystyle s^{3}=y}$

分離可能な

体上の代数は、任意の有限な純粋に分離不可能な拡大による拡大が簡約される場合、分離可能と呼ばれます。

分離された

ハウスドルフの別名。通常はリングまたはモジュール上のトポロジーに適用されます。

単純

単純体とは、整数環が一意の因数分解領域である代数体を表す古い用語です。

特異

1. 定期的ではない

2. 何らかの点で特別である

3.可換代数のための特異なコンピュータ代数システム

スムーズ

環の滑らかな射は、形式的に滑らかで有限に表現される準同型です。これらは微分位相幾何学における沈み込みに類似しています。環上の代数は、対応する射が滑らかな場合、滑らかであると呼ばれます。

ソクル

モジュールの基底は、その単純なサブモジュールの合計です。

スペクトラム

1.環の素スペクトルは、単にスペクトルと呼ばれることが多く、その基礎となる位相空間がザリスキー位相を持つ素イデアルの集合である局所環空間です。

2. 環の最大スペクトルは、ザリスキー位相を持つ最大イデアルの集合です。

安定した

十分に大きいnに対してM _{n +1} = IM _nが成り立つ場合、モジュールの減少濾過は（理想的なIに関して）安定していると呼ばれます。

安定的に無料

環R上の加群M は、ある自然数nに対してM ⊕ R ^{n が}自由である場合に、安定的に自由であるといいます。

スタンリー

1.リチャード・P・スタンレーにちなんで名づけられた

2.スタンレー・ライスナー環は、多項式代数を平方のない単項式イデアルで割った商です。

3.スタンレー分解は、多項式部分環を用いて環を記述する方法です。

厳密にローカル

環が局所ヘンゼル環であり、その剰余体が可分的に閉じている場合、その環は厳密に局所的であると呼ばれます。

余分な

NのサブモジュールM は、 M + X = N がX = Nを意味する場合(サブモジュールXの場合) 、不要であると呼ばれます。

超高身長

イデアルのスーパー高さは、環準同型によるイデアルの適切な拡大の非ゼロ余次元の最大値です。

サポート

モジュール Mのサポートは、 pにおけるMの局所化がゼロでないような素イデアルpの集合です。

象徴的な力

素イデアルpのシンボリック冪 p ^{( n )は、} pに含まれないyに対してxyがp ⁿに含まれるような元xの集合です。これは、 p ^{n を}含む最小のp素イデアルです。

パラメータのシステム

最大イデアルmを持つ局所環Rの、次元R (有限の場合)の元の集合で、 m一次イデアルを生成します。実際にm を生成する場合、これは正規のパラメータ システムです。

朔望

モジュールの自由解像度におけるマップの 1 つのカーネルの要素。

正接

局所環のザリスキ接空間は余接空間の双対である。

しっかりと閉じる

正の標数p >0を持つ環のイデアルIの緊密閉包 I * は、 pの十分に大きいすべてのべきqに対してcz ^qがI ^{[ q ]}に含まれるような、任意の極小素イデアルに含まれないcが存在するような元zで構成されます。ここで、I ^{[ q ]は}Iの元のすべてのq乗によって生成されるイデアルです。

トル

テンソル積の導出関数であるTorsion関数。

ねじれ

1.環上の加群のねじれ元は、環の何らかの正則元によって消滅する元である。

2. モジュールのねじれサブモジュールは、ねじれ要素のサブモジュールです。

3.ねじれのないモジュールとは、ゼロ以外のねじれ要素を持たないモジュールです。

4. ねじりモジュールとは、すべての要素がねじり要素であるモジュールです。

5.捩れ関数Tor はテンソル積の導出関数です。

6.捩れのない加群は自由加群のサブ加群と同型な加群である。

合計

分数の全環または環の全商環は、すべての非ゼロの約数に逆数を強制することによって形成されます。

些細な

自明な環とは、要素が 1 つだけの環です。

タイプ

剰余体kを持つノイザン局所環R上の深さdの有限生成加群Mの型は、Extの次元（k上）である。^dR
_​（k , M）。

非FD

一意因数分解領域の略語。

ユニブランチ

被約局所環が整列しており、その整閉包が局所環である場合、その被約局所環は単枝環と呼ばれます。対応する被約局所環が単枝環である場合、局所環は単枝環と呼ばれます。

ユニモジュラー行

単位イデアルを生成する環内の要素のシーケンス。${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$

一意因数分解領域

階乗領域とも呼ばれます。一意の因数分解領域は、すべての要素が、順序と単位の乗算まで一意に素数の積として表される整数領域です。

普遍的に

ある特性が、さまざまな基底の変更に対して成り立つ場合、その特性は普遍的に成り立つと言われます。たとえば、環上のすべての有限生成代数がカテナリーである場合、その環は普遍カテナリーです。

普遍的な

普遍体とは、その素体上の無数の超越次数を持つ代数的に閉じた体です。

混ざっていない

環RのイデアルI は、 R / Iのすべての関連する素数の高さが同じである場合、非混合であると呼ばれます。

分岐していない

1.環の非分岐射は、形式的に非分岐で有限に提示される準同型です。これらは微分位相幾何学における浸漬に類似しています。環上の代数は、対応する射が非分岐である場合に非分岐と呼ばれます。

2. 体上の多項式環のイデアルは、対応するイデアルの拡大が素イデアルの交差である場合、体の何らかの拡大に対して非分岐であると呼ばれます。

評価

1.評価は、体の非ゼロ元から全順序アーベル群への準同型写像であり、有理数のp進評価に似た特性を持ちます。

2.評価環とは、 x がその商体に含まれ、かつそれがゼロでない場合、xまたはその逆数がRに含まれるような整域Rです。

3.付値群は全順序アーベル群です。付値環の付値群は、付値環の単位群を法とする商体の非ゼロ元の群です。

弱い

1. 弱次元はモジュールのフラット次元の別名です。

2.最大イデアルの要素の列は、すべての に対して である場合、弱い列と呼ばれます。${\displaystyle (a_{1},\cdots ,a_{r})}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m\cdot ((a_{1},\cdots ,a_{i-1})\colon a_{i})\subset (a_{1},\cdots ,a_{i-1})}$${\displaystyle i}$

ワイエルシュトラスリング

ワイエルシュトラス環はヘンゼル環、擬幾何学環であり、素イデアルによる任意の商環が正則局所環の有限拡大となるような局所環である。

ザリスキ

1.オスカー・ザリスキにちなんで名づけられた

2.ザリスキ環は、ヤコブソン根号のイデアルの冪によって与えられる 0 近傍の基底を持つ完全なノイザン位相環です (以前は半局所環と呼ばれていました)。

3.ザリスキ位相は、与えられたイデアルを含む素イデアルの集合が閉集合となる環のスペクトル上の位相である。

4.  ザリスキの補題によれば、ある体が別の体上の有限生成代数である場合、その体はその体上の有限次元ベクトル空間になります。

5. 正則関数に関するザリスキの主補題によれば、多項式環における素イデアルのn次記号冪は、その素イデアルを含む極大イデアルのn次冪の積である。

6.最大イデアルmを持つ局所環のザリスキ接空間はベクトル空間m / m ²の双対である。

ゼロ除数

環の零因子とは、零でない元との積が 0 になる元です。

• 環理論の用語集

• ブルバキ、ニコラス（1998）、可換代数。第1章から第7章、数学の要素（ベルリン）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-64239-8
• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993)、Cohen-Macaulay 環、Cambridge Studies in Advanced Mathematics、第 39 巻、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-41068-7、MR  1251956
• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）、可換代数、Graduate Texts in Mathematics、第150巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-4612-5350-1、ISBN 978-0-387-94268-1、MR  1322960
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1961)。 「幾何学的計算手法: II. 射影クラスの世界的手法の練習」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。８．土井：10.1007/bf02699291。MR  0217084。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1961)。 「幾何学的要素の要素: III. 顔合わせのコホモロジーの練習、初演パーティー」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。１１．土井：10.1007/bf02684274。MR  0217085。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1963)。 "Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents、Seconde party"。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。１７．土井：10.1007/bf02684890。MR  0163911。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1964)。 「幾何学的計算の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、プレミア パーティー」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。２０．土井：10.1007/bf02684747。MR  0173675。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1965)。 「幾何学計算の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、第 2 部」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。２４．土井：10.1007/bf02684322。MR  0199181。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1966)。 「幾何学的手法の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、トロワジエム パーティー」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。２８．土井：10.1007/bf02684343。MR  0217086。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1967)。 「幾何学計算の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、Quatrième party」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。３２．土井：10.1007/bf02732123。MR  0238860。
• 永田 正義(1962) 「局所環」 インターサイエンス純粋応用数学論文集、第 13 巻、ニューヨーク・ロンドン: インターサイエンス出版社、ISBN 978-0470628652